第15讲 解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含参数问题（3知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第15讲 解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含参数问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：基本解法与讨论 掌握不等式基本性质，含参时需按参数正负、零分类讨论不等号方向。解一元一次不等式组应先分别求解，再通过数轴取交集。 知识点2：参数范围的确定 根据解集特殊条件（如“有解”“无解”“整数解个数”）反向确定参数范围。常见题型包括比较解集端点与给定数值，需注意边界等号的取舍。 知识点3：综合应用与转化 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通过分类确保不重不漏，最终结果常以不等式或区间形式表示参数范围。 【题型1 根据一元一次不等式的定义求参数的值】 例1．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B． 例2．若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 变式1．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一元一次不等式的定义求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴， ∴原不等式化为：， 解得：． 故答案为：． 变式2．当 时，不等式是关于x的一元一次不等式． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不鞥与0列式求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式 ∴且， ∴． 故答案为：． 【题型2 根据一元一次不等式的解集求参数】 例3．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 例4．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 【题型3 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 例5．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 例6．若关于x的一元一次不等式只有1个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先解一元一次不等式可得，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵一元一次不等式只有1个正整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．根据关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解只能是、、，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式至少有三个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式至少有的三个负整数解是：、、， ∴ ∴解得：． 故答案为： 变式2．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，根据不等式的解集列出关于a的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型4 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 例7．若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为3、2、1， 则， 解得， 故答案为：． 例8．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 变式1．若关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是根据不等式组只有4个整数解确定的范围． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ， ∵原不等式组只有4个整数解， 解得：， 解得：． 变式2．若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【答案】1或4/4或1 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵关于x的不等式组所有整数解的和为9 ∴或者 则或者 ∴或 故答案为：1或4 【题型5 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 例9．若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解集得出答案． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 例10．不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴， 解得，， 故答案为：． 变式1．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集为建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 【答案】15 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值． 首先求出不等式组的解集为，然后根据，可以求得a的值，从而可以得到所有满足条件的a的值之和． 【详解】解：由不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∵a是正整数， ∴，，，，5 ∴所有满足条件的正整数a的值之和为：． 故答案为：15． 【题型6 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 例11．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 例12．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 变式1．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【详解】解：， ①+②得， 则，而， 根据题意得， 解得． 故答案是：． 变式2．若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到，再根据方程的解为非正数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 例13．若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【详解】解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 例14．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 变式1．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 变式2．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 4．（2025八年级上·重庆·专题练习）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 首先从方程解出关于的表达式，根据为自然数（包括0）确定的范围和奇偶性；然后解不等式组，根据无解条件得到的范围；最后综合得出不符合条件的整数的值． 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 15．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第15讲解题技巧专题：一元一次不等式（组）， 中含参数问题 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：基本解法与讨论 掌握不等式基本性质，含参时需按参数正负、零分类讨论不等号方向。解一元一次不等式组应先分别求解， 再通过数轴取交集。 ☑知识点2：参数范围的确定 根据解集特殊条件（如“有解”“无解”“整数解个数”）反向确定参数范围。常见题型包括比较解集端点与 给定数值，需注意边界等号的取舍。 ☑知识点3：综合应用与转化 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通过分类确保不重不漏，最终结果常 以不等式或区间形式表示参数范围。 02 练题型强知识 【题型1根据一元一次不等式的定义求参数的值】 例1.若(m+1)xm-3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.±1 B.1 C.-1 D.0 例2.若不等式2ax->5是关于x的一元一次不等式，则a= 变式1.若2m-3xm+3<2是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 变式2.当k=时，不等式(k-2023)2+2>0是关于x的一元一次不等式. 【题型2根据一元一次不等式的解集求参数】 例3.关于x的不等式3x+a≤0的解集如图所示，则a的值是一 1/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2- 102 例4.如果不等式a-x>5的解集是x<,?那么a的取值范围是 变式1.已知如图是关于x的不等式2x-a>-3的解集，则a的值为 -3-2-101231 【题型3利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 例5.若关于x的不等式5x-2m<3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 例6.若关于x的一元一次不等式x+1≤m只有1个正整数解，则m的取值范围是 变式1.己知关于x的不等式3a+2x>1至少有三个负整数解，则a的取值范围是」 变式2.若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1,2,3,4，则整数a的取值范围是 【题型4利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 3x-a2x+1 例7. 若关于x的不等式组3x-2<1+x 只有3个整数解，则a的取值范围为一· 2 5x-3 例8. 若不等式组 +3>x 的整数解有四个，则a的取值范围是_ x≤a x+15>2(x-3) 变式1.若关于x的不等式组 只有4个整数解，则a的取值范围为」 13x+a)>2x+21 3x+2<4x+m 变式2.若关于x的不等式组 4x-1sx+3 4 所有整数解的和为9，则整数m的值为。 3 【题型5根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 x+2≥3 例9.若不等式组 x-1<m-1的解集为1≤x<2,则m应满足的条件是」 x<3a+4 例10.不等式组 的解集是x<3a+4,则a的取值范围是 x<a-6 x-2(x+1>1 变式1.不等式组 的解集是x<-3,则m的取值范围是 x+m<2 3x+5 >x+a 2 变式2.己知关于x的不等式组 3-2x<-1 的解集为x≥6，那么所有满足条件的正整数α的值之和 9 2/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 【题型6整式方程细与一元一次不等式结合求参数的问题】 例11. 若关于x、y的二元一次方程组 X-y=8的解满足x+2y>14,则k的取值范围为 2x+y=k 例12.关于x的方程5k-4x=9+2x的解为非负数，则k的取值范围是 x-3y=2a+3 变式1.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y≤0，则a的取值范围是 x+5y=3 变式2.若关于x的方程x,3m=”-15的解是非正数，则m的取值范围是 24 【题型7整式方（细）与一元一次不等式组结合求参数的问题】 例13.若方程组 (2x-y=a 4x-a≥0 中未知数x、y满足x+y>0,关于x的不等式组 2y-x=6 3-2x>-1有且只有3个整数解， 则所有满足条件的整数a的和为」 6x-5≥m 2x+y=4 例14.若m使得关于x的不等式xx-1,1至少2个整数解，且关于x,y的方程组 462 x+2y=-3m+2的 解满足x-y>10,则满足条件的整数m之和是 3x-1 <x+1 x-ay=1 变式1.若关于x的不等式组 2 有且仅有4个整数解，且关于x、y的方程组 2(x+1≥-x+a x+2y=5的解 为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 4-2(x-1)23-x 变式2.若关于x的不等式 有且只有3个整数解，且关于x,y方程组 ax-4y=0 的解为 9x-a>0 x+2y=6 整数，则满足条件的整数α的值为■ 03 串知识识框架 3/6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 掌握不等式基本性质，含参时需按参数正负、零分类讨论不等号方 向。解一元一次不等式组应先分别求解，再通过数轴取交集。 知识点：基本解法与讨论 一元一次不等式（组） 根据解集特殊条件（如有解“无解"“整数解个数“）反向确定参数范 围。常见题型包括引比较解集端点与给定数值，露注意边界等号的取舍。 知识点2：参数范围的确定 中含参数问题 将文字条件转化为不等式关系，建立含参模型。注意结合数轴分析，通 知识点3：综合应用与转化 过分类确保不重不漏，最终结果常以不等式或区间形式表示参数范围。 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下.河南焦作·月考)关于x的一元一次不等式xm-+4>2中，m的值应为() A.0 B.1 C.2 D.0或2 2.(25-26八年级上浙江温州·期中)已知关于x,y的方程组 2x-y=1,若x-y>0,则m的取值范围 x-2y=m 是() A.m>1 B.m>-1 C.m<1 D.m<-1 x-1<2x-3 3.(25-26八年级上山东菏泽·月考)如果不等式组{ 的解集为x>2,那么m的取值范围是() x>m A.m<2 B.m≤2 C.m=2 D.m≥2 4.(2025八年级上重庆，专题练习)关于x的方程3-2x=3k-2)的解是自然数，且关于x的不等式 x-2(x-1)≥5 相2+到sx 无解，则不符合条件的整数k的值() A.-1 B.1 C.3 D.-3 3x-5<2 5.(25-26八年级上·浙江杭州期中)已知关于x的不等式组 2 ,下列四个结论：①若它的解集 2x-a≤-1 是1<x≤3，则a=7;②当a=3时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是 9≤a<11;④若不等式组有解，则a>3.其中正确的结论是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏苏州月考)己知关于x的不等式(m-1)xm<2025是一元一次不等式，那么 m= 7.(25-26八年级上·四川成都期中)己知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取值范 围是 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26七年级上·吉林期中)关于x的不等式 2(x-1)>0 的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范 x+1>2a 围 -3-2-10123 9.(24-25八年级上重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组 3x-4y=0 (mx+4y=8 的解为整数，且关于t的不等式 (m+2)t>m+2的解集为t<1,则所有满足条件的整数m的积为」 (3x-1<x+1 10.(25-26八年级上重庆铜梁期中)若关于x的不等式组{2 有且仅有4个整数解，则所有 2(x+1)≥-x+a 满足条件的整数a的值之和」 三、解答题 11.(24-25七年级下·广西梧州期中)已知关于x的不等式3x-m<4x+). (1)当m=2025时，该不等式的解集为； (2)若该不等式的负整数解有且只有3个，求m的取值范围。 x>m-1 12.(25-26七年级下·全国·课后作业)(1)己知关于x的不等式组 x>m+2的解集是x>-1.求m的值。 x-a>0 (2)已知关于x的不等式组 3 无解.求a的取值范围. 6-2x≥0 x+y=-7-m 13.(25-26八年级上浙江金华·月考)已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数. x-y=1+3m (1)求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1)x-2m<1的解为x>1.求整数m的值. 14.(24-25七年级下·湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1=a×0+2b×1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1=-6,T(4,2)=3. ①求a,b的值： T(2m,5-4m)≤1 ②若关于m的不等式组 T(m,3-2m>p 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围： (2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义)，则a,b应满足怎样的关系 式？ 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(2025八年级上·全国专题练习)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 x-1>1 称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组 的解集为 x-2<3 x-2<3的相依方程 x-1>1 2<x<5,不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组 2x+3≤x+11 (1)请判断4x-1)-1=3(x-2)是否是不等式组 2x+5-1>4- 的“相依方程”，并说明理由： 3 3x+1<m+2 ②诺关于x的方程4xm=2日 m-x 是关于x的不等式组{x18,, 的“相依方程”，且此时不等 -+121 1243 式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； x-4 >x 2 (3)若关于x的方程x+k=2x-1是关于的不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围. x+1、2x-1 -1 2 3 6/6