第04讲 二次根式的运算（第1课时 二次根式的乘除）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第04讲 二次根式的运算（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的乘法法则 1.法则 (a≥0,b≥0)。 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 注意： (1)二次根式的乘法法则实际上是积的算术平方根的性质(a≥0,b≥0)的逆用。 (2)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘的法则，如,即系数a,c相乘，被开方数b,d相乘。 (3)因为是两个二次根式相乘，所以被开方数a,b一定是非负数。 (4)当多个二次根式相乘时，可以将所有的二次根式的被开方数相乘，用它们的积作为积的被开方数。 知识点2：二次根式的除法法则 1.法则 （a≥0，b＞0）。 即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2.二次根式的乘除混合运算 要按照运算顺序从左到右依次进行，有括号的先算括号里的。 注意： (1)二次根式的除法法则实际上是商的算术平方根的性质（a≥0，b＞0）的逆用。 (2)因为是两个二次根式，所以被开方数必须是非负数。又因为分母不能是0,所以分子的被开方数要大于或等于0,分母的被开方数要大于0,即公式中a≥0,b>0。 （3）二次根式运算的结果，应使所含的二次根式为最简二次根式，且分母中不含二次根式。 【题型1 二次根式的乘法或除法运算】 例1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 例2．化简下列各式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：由题意得a＞0，因为≥0，所以b≤0，所以原式. （2）. 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式2.化简下列各式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1）. （2）. 【题型2 二次根式乘除法运算的简单运用】 例3．比较大小： （1）与 （2）与 【答案】（1）＜ （2）＞ 【详解】解：（1），， ∵，∴＜。 （2），， ∵＞，∴。 例4．解方程： 【答案】 【详解】解： A B C D E 例5．如图等腰三角形ABC中，AD与BE分别是△ABC的高，已知AD=,BC=, （1）求△ABC的面积 （2）求BE的长。 【答案】（1） （2） 【详解】（1） （2）在等腰三角形ABC中，AD是底边BC的高， ∴AD平分BC， ∴CD=； 在直角三角形ADC中，AC=； ， 解得 变式1．比较大小： 【答案】＜ 【详解】，。 ∵＜，∴＜. 变式2．解方程。 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1） （2） 变式3.如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”。 （1）已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”。 ① ② （2）“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由。 【答案】（1）①和②都是 （2）是，理由见详解 【详解】（1）①3=，，所以构成“阶梯根式三角形”； ②；。所以，所以构成“阶梯根式三角形”。 （2）如果三角形是“阶梯根式三角形”，那么这个三角形的三边比例为，不妨设这三边分别为。 ∵，，所以有，所以三角形是直角三角形。 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∵ ， ，且 ， ∴， 因此在到之间. 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： . 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝ ． 【答案】60 【详解】原式 = = ． 故答案为：． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的值是整数，则整数的值为 ． 【答案】3或12 【详解】解：原式＝ = 设 （ 为正整数），则 ∴ ∵为整数， 为整数，即整除 的平方因数有和 ∴或 解得： （舍负） 或 （舍负） 当 时，；当 时， 经检验，均符合题意． 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． （4）解：； （5）解：要使有意义，必须且， 解得：， 所以． （6）解：原式． 12．（24-25九年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】见解析 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上． (1)直接写出的长为_____，的面积为_____； (2)求点到的距离． 【答案】(1)， (2)点到的距离为 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，． （2）解：设点到的距离为， ， ， ∴点到的距离为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次根式的运算（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的乘法法则 1.法则 (a≥0,b≥0)。 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 注意： (1)二次根式的乘法法则实际上是积的算术平方根的性质(a≥0,b≥0)的逆用。 (2)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘的法则，如,即系数a,c相乘，被开方数b,d相乘。 (3)因为是两个二次根式相乘，所以被开方数a,b一定是非负数。 (4)当多个二次根式相乘时，可以将所有的二次根式的被开方数相乘，用它们的积作为积的被开方数。 知识点2：二次根式的除法法则 1.法则 （a≥0，b＞0）。 即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2.二次根式的乘除混合运算 要按照运算顺序从左到右依次进行，有括号的先算括号里的。 注意： (1)二次根式的除法法则实际上是商的算术平方根的性质（a≥0，b＞0）的逆用。 (2)因为是两个二次根式，所以被开方数必须是非负数。又因为分母不能是0,所以分子的被开方数要大于或等于0,分母的被开方数要大于0,即公式中a≥0,b>0。 （3）二次根式运算的结果，应使所含的二次根式为最简二次根式，且分母中不含二次根式。 【题型1 二次根式的乘法或除法运算】 例1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．化简下列各式： （1） （2） 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2.化简下列各式： （1） （2） 【题型2 二次根式乘除法运算的简单运用】 例3．比较大小： （1）与 （2）与 例4．解方程： 例5．如图等腰三角形ABC中，AD与BE分别是△ABC的高，已知AD=,BC=, （1）求△ABC的面积A B C D E （2）求BE的长。 变式1．比较大小： 变式2．解方程。 （1） （2） 变式3.如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”。 （1）已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”。 ① ② （2）“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由。 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简： ． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： . 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝ ． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的值是整数，则整数的值为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 12．（24-25九年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上． (1)直接写出的长为_____，的面积为_____； (2)求点到的距离． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $