第03讲 二次根式的性质（第2课时）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第03讲 二次根式的性质（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：积的算术平方根的性质 当根号下是两个正数的积的形式时，可转化成两个正数的算术平方根的积，即二次根式有以下性质： 1.字母表示 (a≥0,b≥0)。 即：积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积。 2.推导过程 因为()2=()2×()2=ab,且≥0,≥0,所以是ab的算术平方根，即(a≥0,b≥0)。 注意：性质中的a,b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的，因为负数没有算术平方根。若原被开方数中各个因式是负数，则应先化成非负数，再运用性质求解。 知识点2：商的算术平方根的性质 当根号下是一个非负数和一个正数的商的形式时，可以转化成这两个数的算术平方根的商。 1.字母表示 （a≥0，b＞0） 即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 2.推导过程 因为，且≥0，＞0，所以是的算术平方根，即（a≥0，b＞0）。 注意：(1)商的算术平方根的性质的限制条件(a≥0,b>0)与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为0,所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立。 (2)当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数。 知识点3：最简二次根式 1.概念 像，，，，这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法方法 方法 举例 将被开方数(式)中能开得尽方的因数或因式求算术平方根 化去根号下的分母 若被开方数(式)中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数(式)中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数(式)是分式，应先将分式的分母化成偶数次因数(式)的形式，再求算术平方根 被开方数是多项式的要先进行因式分解，再求偶数次因数(式)的算术平方根 ，（其中y＞2） 【题型1 化简为最简二次根式】 例1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （5） （6）（其中a＞0，c＞0） 【答案】(1) (2) (3) (4) （5） （6） 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． （5） （6）因为≥0，且c＞0，所以b＜0，所以. 例2．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【详解】解：由题意，与可以合并， 先将化为最简二次根式，即 因此与是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 变式1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （5） （6） 【答案】(1) (2) (3) (4) （5） （6） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）； （6）因为＞0，n＜0，所以m＜0，所以． 变式2．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 【题型2 根据二次根式的性质进行化简并进行加减计算】 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 变式1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 变式2．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 【题型3 带参数的二次根式的化简并计算】 例5．已知，化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 变式1．化简 【答案】2x－4 【详解】. 1．（25-26八年级上·吉林·期末）的值是（　　） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、 ，故选项符合题意； B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意； C、∵ ，故选项不符合题意； D、∵ ，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 7．（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 【答案】/ 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知b>0，化简 ． 【答案】． 【详解】解：∵≥0，b＞0， ∴a≤0， 故答案为：． 10．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； 【答案】② 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； 故答案为：② 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 13．化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）==； （2） ==． 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的性质（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：积的算术平方根的性质 当根号下是两个正数的积的形式时，可转化成两个正数的算术平方根的积，即二次根式有以下性质： 1.字母表示 (a≥0,b≥0)。 即：积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积。 2.推导过程 因为()2=()2×()2=ab,且≥0,≥0,所以是ab的算术平方根，即(a≥0,b≥0)。 注意：性质中的a,b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的，因为负数没有算术平方根。若原被开方数中各个因式是负数，则应先化成非负数，再运用性质求解。 知识点2：商的算术平方根的性质 当根号下是一个非负数和一个正数的商的形式时，可以转化成这两个数的算术平方根的商。 1.字母表示 （a≥0，b＞0） 即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 2.推导过程 因为，且≥0，＞0，所以是的算术平方根，即（a≥0，b＞0）。 注意：(1)商的算术平方根的性质的限制条件(a≥0,b>0)与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为0,所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立。 (2)当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数。 知识点3：最简二次根式 1.概念 像，，，，这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法方法 方法 举例 将被开方数(式)中能开得尽方的因数或因式求算术平方根 化去根号下的分母 若被开方数(式)中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数(式)中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数(式)是分式，应先将分式的分母化成偶数次因数(式)的形式，再求算术平方根 被开方数是多项式的要先进行因式分解，再求偶数次因数(式)的算术平方根 ，（其中y＞2） 【题型1 化简为最简二次根式】 例1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （5） （6）（其中a＞0，c＞0） 例2．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 变式1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （5） （6） 变式2．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【题型2 根据二次根式的性质进行化简并进行加减计算】 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 例4．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 变式1．计算： (1) (2) 变式2．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【题型3 带参数的二次根式的化简并计算】 例5．已知，化简：． 变式1．化简 1．（25-26八年级上·吉林·期末）的值是（　　） A．5 B． C．25 D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 6．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知b>0，化简 ． 10．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．化简 （1） （2） 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $