第06讲 二次根式的运算（第3课时 二次根式的实际应用）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第06讲 二次根式的运算（第3课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：坡比 在修路、挖河、开渠和筑坝中，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图所示，斜坡上两点之间的高度差与水平距离的比叫作坡面的坡比(或坡度),坡面与水平面的夹角叫作坡角。 知识点2：二次根式的实际应用 在日常生活和生产实践中,我们在解决一些问题,经常用到二次根式及其运算。常见的题型如： （1）实际应用问题中，已知带字母参数的二次根式相关的计算公式，代入求值； （2）关于图形问题尤其是面积问题或勾股定理求边长的问题时，进行二次根式的化简与运算； （3）其他存在明确数量关系实际应用问题。 （4）海伦—秦九韶公式及相关问题的实际应用，公式如下： 如果三角形的三边长分别为a，b，c， ①秦九韶公式：三角形的面积. ②海伦公式：三角形的面积，其中. 【题型1 坡比相关的实际应用问题】 例1．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高，坝顶宽．求大坝横截面的面积和周长（周长精确到）． 变式1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，扶梯的坡比为，现保持高度不变，将其改造为坡比为的滑梯．已知点C，A，D三点共线，．求滑梯的高度（精确到0.1m）． 【题型2 二次根式的实际应用】 例2．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 例3．（25-26八年级上·全国·期中）站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们之间的关系可近似的表示为． (1)当时，求的值． (2)某登山者从海拔处登上海拔处的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 例4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为 ． 变式1．（22-23八年级上·福建泉州·月考）小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 变式2.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 变式3.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【题型3 海伦—秦九韶公式】 例5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 变式1．（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 1．（24-25八年级下·吉林白城·期中）在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为 ． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为 ． 8．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 10．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 11．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次根式的运算（第3课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：坡比 在修路、挖河、开渠和筑坝中，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图所示，斜坡上两点之间的高度差与水平距离的比叫作坡面的坡比(或坡度),坡面与水平面的夹角叫作坡角。 知识点2：二次根式的实际应用 在日常生活和生产实践中,我们在解决一些问题,经常用到二次根式及其运算。常见的题型如： （1）实际应用问题中，已知带字母参数的二次根式相关的计算公式，代入求值； （2）关于图形问题尤其是面积问题或勾股定理求边长的问题时，进行二次根式的化简与运算； （3）其他存在明确数量关系实际应用问题。 （4）海伦—秦九韶公式及相关问题的实际应用，公式如下： 如果三角形的三边长分别为a，b，c， ①秦九韶公式：三角形的面积. ②海伦公式：三角形的面积，其中. 【题型1 坡比相关的实际应用问题】 例1．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高，坝顶宽．求大坝横截面的面积和周长（周长精确到）． 【答案】横截面的面积为：，周长为 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知， 故， 则大坝横截面的面积：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则周长， 答：横截面的面积为：，周长为． 变式1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，扶梯的坡比为，现保持高度不变，将其改造为坡比为的滑梯．已知点C，A，D三点共线，．求滑梯的高度（精确到0.1m）． 【答案】滑梯高度约为 【详解】解：设滑梯的高度为． 滑梯的坡比为， ，即． 又滑梯的坡比为， ，即， ，， ． 解得：． 答：滑梯高度约为． 【题型2 二次根式的实际应用】 例2．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 例3．（25-26八年级上·全国·期中）站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们之间的关系可近似的表示为． (1)当时，求的值． (2)某登山者从海拔处登上海拔处的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【详解】（1）解：把代入，得， ∴的值为； （2）解：把代入，得； 把代入，得， ∵， ∴他看到的水平距离是原来的倍． 例4．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵当时，， ∴，， ∵当时，， ∴当时，， 如图，当时，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 变式1．（22-23八年级上·福建泉州·月考）小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 变式3.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 【题型3 海伦—秦九韶公式】 例5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 变式1．（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 1．（24-25八年级下·吉林白城·期中）在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的面积为，底边为， 底边上的高为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为 ， ∵ ， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为 ， 故选：D 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积 ． 故选：A． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为 ． 【答案】 【详解】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是， ， ， ， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为 ． 【答案】 【详解】解：由于，，： ，，： 所以，，， ， ， ， ， 故答案为． 8．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角， ∴线段线段， ∴， 由图可知， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 11．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $