第05讲 二次根式的运算（第2课时 二次根式的加减）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第05讲 二次根式的运算（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分母有理化 1.分母有理化 二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行，把分母的根号化去，叫作分母有理化。 2.有理化因式 分母有理化时，所乘的式子叫分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。 3.扩展 （1）的倒数是（a＞0）； （2）的倒数是（a＞0，b＞0，且a≠b）。 注意： （1）分母有理化的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的大小不变。 （2）的有理化因式是本身，的有理化因式是,的有理化因式是,的有理化因式是,通常情况下，一个二次根式的有理化因式不是唯一的，一般找最简的。 知识点2：二次根式的加减 1.二次根式的加减运算，通常应先将每个二次根式化成最简二次根式或整式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。 2.二次根式加减的一般步骤 (1)去括号，如果有括号，根据去括号法则去掉括号； (2)化简，把不是最简二次根式的进行化简； (3)合并，合并被开方数相同的二次根式。 注意： (1)二次根式的加减类似于合并同类项，把被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式的加减运算需要运用实数加法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。 知识点3 ：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 注意： (1)二次根式的混合运算可以按照整式的运算法则进行； (2)实数的运算律及多项式的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)运算结果如果是二次根式，必须化为最简二次根式或整式。 【题型1 分母有理化】 例1．化简： （1） （2） （3） （4） 例2．已知，求的值 变式1．化简： （1） （2） （3） （4） 变式2.先化简，再求值：，其中． 【题型2 二次根式的加减】 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 变式1．计算： (1) (2) 【题型3 二次根式的混合运算】 例4．计算： (1) (2) (3) (4) 例5．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 变式1．计算 (1) (2) (3) (4) 变式2.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 1．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北保定·月考）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（18-19八年级下·全国·课后作业）若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 7．（24-25八年级下·广东江门·月考） ； ． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 9．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 12．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次根式的运算（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分母有理化 1.分母有理化 二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行，把分母的根号化去，叫作分母有理化。 2.有理化因式 分母有理化时，所乘的式子叫分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。 3.扩展 （1）的倒数是（a＞0）； （2）的倒数是（a＞0，b＞0，且a≠b）。 注意： （1）分母有理化的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的大小不变。 （2）的有理化因式是本身，的有理化因式是,的有理化因式是,的有理化因式是,通常情况下，一个二次根式的有理化因式不是唯一的，一般找最简的。 知识点2：二次根式的加减 1.二次根式的加减运算，通常应先将每个二次根式化成最简二次根式或整式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。 2.二次根式加减的一般步骤 (1)去括号，如果有括号，根据去括号法则去掉括号； (2)化简，把不是最简二次根式的进行化简； (3)合并，合并被开方数相同的二次根式。 注意： (1)二次根式的加减类似于合并同类项，把被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式的加减运算需要运用实数加法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。 知识点3 ：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 注意： (1)二次根式的混合运算可以按照整式的运算法则进行； (2)实数的运算律及多项式的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)运算结果如果是二次根式，必须化为最简二次根式或整式。 【题型1 分母有理化】 例1．化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) （3） （4） 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 例2．已知，求的值 【答案】3 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 变式1．化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】(1) (2) （3） （4） 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 变式2.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型2 二次根式的加减】 例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【题型3 二次根式的混合运算】 例4．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 例5．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 变式1．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式2.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 1．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、∵不是同类二次根式的加法不能直接合并，， ∴A错误； B、∵， ∴B错误； C、∵， ∴C正确； D、∵，而，两者不相等， ∴D错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北保定·月考）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】解： ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 5．（18-19八年级下·全国·课后作业）若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【详解】解：原式 ． 7．（24-25八年级下·广东江门·月考） ； ． 【答案】 【详解】解：， . 故答案为 ；. 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则代数式 ． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 【答案】 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ； ， 原式， ， ． 12．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；1 (2)14 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $