第25讲 三角形的中位线（2知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第25讲三角形的中位线 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：三角形中位线的定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） ☑知识点2：三角形中位线定理 三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、 DE//BC AC的中点， DE=1BC 2 02 练题型强知识 【题型01与三角形中位线有关的求解问题】 例1.(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，点D、E是ABC的边AB、AC的中点，已知BC=6,则 DE= B 例2.(25-26八年级下·重庆江津·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAD的平分线 AE与BC交于点E,点F是AE的中点，连接0F,若AB=2,AD=4,则0F长为一， 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 变式1.(24-25八年级下.宁夏银川期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，4D=24B:4,点H ,G分别是边DC,BC上的动点，连接AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF,则 EF的最小值为 D E B 变式2.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，M为ABC的边BC的中点，AB=12,AC=18, BD⊥AD于点D,连接DM,若AD为∠BAC的平分线，则MD的长为 D 【题型02三角形中位线与三角形面积问题】 例3.(24-25八年级上浙江绍兴期中)如图，ABC的面积是10，点D,E,F,G分别是BC,AD,BE, CE的中点，则△EFG的面积是 G D 例4.(25-26九年级上四川达州期末)如图，ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,取BC边中点E,作 ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记作S,;取BE中点E,作E,D,∥FB,EF∥EF, 得到四边形E,D,F,它的面积记作S2,照此规律作下去，则So24=一 D E F F B 变式1.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，ABC中，AC=DC=2,AB∥DC,∠BAC的角平分线 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD上BD于D,E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为· B D 变式2.(24-25八年级下，福建福州阶段练习)如图，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边向上作等边 三角形ACD、BCE,连结DE,顺次连接AB、AD、DE、EB中点F、G、H、M得四边形FGHM,若 AC=4,BC=6,则四边形FGHM面积= D M CF B 【题型O3三角形中位线的实际应用】 例5.(24-25八年级下山东临沂·期中)如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取A0的中点C, BO的中点D,测得CD=4m,则A、B两点间的距离是· 例6.(2425八年级下·北京·期中)如图，小亮利用刻度直尺（单位：Cm)测量三角形纸片的尺寸.点B, C分别对应刻度尺上的刻度2和8.若点D和点E分别为AB、AC的中点，则DE的长为cm. B 中平 0123456789 变式1.(24-25八年级下·云南昆明·期中)如图，地面上A、B两处被池塘隔开，小明想测量A、B两处的距 离.他是这样做的：在岸边选一点C,并分别连接AC和BC后再取它们的中点D、E,然后测得DE=5米， 则A、B两处的距离是 米. 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(2025湖南长沙模拟预测)如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个ABC ,跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E,F分别为AB,AC的中点)，若EF=40cm,则点B距离地面的 高度BC为 cm. B E ◇ F 【题型04与三角形中位线有关的证明】 例7.(24-25八年级下江苏盐城期中)如图，ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点 F,使得EF=DE,连接CF,求证： D E B (I)△CEF≌△AED: aDE=号BC. 例8.(25-26八年级下江苏扬州期中)如图，已知ABC的中线BD、CE相交于点0，M、N分别为OB 、0C的中点。 A 0 (1)求证：MD和NE互相平分； (2)若BD⊥AC,OC2=32,OD+CD=8,求a0CB的面积. 变式1.(2025江西模拟预测)【课本再现】 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，线段AC,BD相交于点0,0A=OC,OB=OD.求证： ①AB=CD; ②AB∥CD; 【迁移应用】 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠C=90°，E,F分别是边AD,BC的中点，连接EF,猜想AB ,CD,EF三条线段的数量关系，并证明， B 图1 图2 变式2.(24-25八年级上山东青岛·期末)如图1，在ABC中，AB=AC=7,∠A=90°，点D,E分别在边 AB,AC上，且AD=AE=3.连接DC,点M,N,P分别为BC,DE,DC的中点. M 图1 图2 【猜想证明】 (1)观察图1，试判断aPMN的形状并证明你的结论. 【变式探究】 (2)将图1中的ADE绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时aPMN的形状并证明 你的结论. 【拓展应用】 (3)将图1中ADE绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中aPMN面积的最大值. 【题型05平行四边形与中位线综合问题】 例9.(24-25八年级下.浙江杭州·期中)如图，在。ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，BD=2AB, 点E,F,G分别为AO,DO,BC的中点，连结BE,EF,FG. D E B G (1)求证：BE⊥A0. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求证：四边形BEFG为平行四边形. 例10.(24-25八年级下.上海期中)如图，在。ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、 ∠ABC. D G B (1)求证：E为CD的中点； (2)如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G.写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由. 变式1.(24-25八年级下浙江湖州期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长 BC到点D,使BC=2CD,连结EF,CE,DF. D E B (1)求证：四边形CDFE是平行四边形 (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=9,求DE的长. 变式2.(2025八年级下.全国.专题练习)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD, 分别交BC,BD于点E,P. D D B E C (I)试说明△ABE是等腰三角形： 包连接OE,若B-8C=2,∠48C=60, ①求线段OE的长： ②求△A0E的面积. 6/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03 串知识识框架 连接三角形两边中点的线段称为中位线( 知识点1：三角形 三角形中有3条中位线) 中位线的定义 三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，且等于第 知识点2：三角形 三边的一半 中位线定理 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级下·湖南邵阳期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是 BC的中点，若CD=8,则OE的长为() A E A.4 B.3 C.5 D.6 2.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，为测量池塘边A,B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点 0,测得OA,OB的中点分别是C,D,且CD=12m,则A,B两点之间的距离是() B A.6m B.12m C.18m D.24m 3.(25-26九年级上山东淄博·月考)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,点D为AC上的 动点，点E,F分别为AB,AD的中点，则EF最小值为() D A 5-2 B. e D. 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上黑龙江大兴安岭地月考)如图，ABC中，BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E为AC的 中点，AD=6,BD=8,BC=16,则DE的长为( B A.6 B.3 c.1.5 D.5 5.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AB,且DB平分∠ADC，,连 接AC交BD于点O,且O为BD的中点，在AD上取一点G，,连接CG,使CG⊥BD于点E,取AC的中点 F,连接BF,EF,延长AB,DC相交于点H.下列四个结论：①AO=2BO;②EF∥AD;③BF是△AHC的 中位线；④FB=FE.其中所有正确的结论为() A G D B H A.①③④ B.③④ C.②④ D.②③④ 二、填空题 6.(25-26九年级上·江苏·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点O、E分别是AC、AD的中点，连接 OE,若AB=6,则OE的长为 F D 7.(25-26九年级上·吉林·期末)如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离： 先在AB外选一点C,然后步测出AC、BC的中点M、N,并步测出MV的长约为42米，由此可知A、B 间的距离约为」 米。 8.(2026陕西模拟预测)如图，在口ABCD中，AB=AD,∠A=60°，BC=4,点P是AB边上的一个动 点，点E,F分别是DP,BP的中点，则线段EF的长为一· 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C P 9.(25-26九年级上重庆月考)如图，点D、E分别是ABC边AC、BC的中点，在AC的延长线上取一点 F,使EF=BC,且LDEF=LACB,已知DF=8,DE=一 10.(25-26九年级上江苏泰州月考)如图，己知，在ABC中，AD是BC边上的中线，∠BAC=60°， 60<1C<120,4C=52,AB=7反，点0是边B上一动点，连接D0,若D0=AC,则 BO= 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏常州期中)如图，在ABC中，己知AB=AC=4,AD平分∠BAC,E为AC的 中点. E B (I)求DE的长； (2)求证：DE∥AB. 12.(23-24八年级下·贵州黔东南期中)如图，已知CD是RtFBE的中位线，A是EB延长线上一点， ADI BC. 9/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若BD=3cm,∠A=60°，求BE的长. 13.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中点， 延长BA到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,，AE,EF,AF与DE交于点O. A B E (I)求证：AF与DE互相平分. (②)若AB=8,BC=12,则D0的长为 14.(24-25八年级下·陕西渭南期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分 别交BC,BD于点E,P D (I)证明：△ABE是等腰三角形； ②连接0E,若ABBC=2,LABC=60°，求△40E的面积 15.(25-26九年级上山东淄博·月考)ABC中，D、E分别是AB,AC的中点，O是ABC内任意一点， 连接OB、OC. D 图1 图2 图3 (I)如图1，点G、F分别是OB、OC的中点，连接DG,GF,FE,DE,求证：四边形DEFG是平行四 边形； 10/11 第25讲 三角形的中位线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形中位线的定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 知识点2：三角形中位线定理 三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点D、E是的边的中点，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握此定理是关键；由题意知是的中位线，由中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点D、E是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 例2．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平行四边形中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，作于点Q，由平行四边形的性质得，而，则，求得，由，得，，则，所以，由三角形中位线定理得，因为，所以，则，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点Q，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 【题型02 三角形中位线与三角形面积问题】 例3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，中，，，取BC边中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取BE中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，探究规律．根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值． 【详解】解：由题意得． ∵E为的中点，， 是的中位线， ， ， 同理． ． ∵取中点，作，，得到四边形， ∴， ， 同理可得， ， ∴． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【详解】解：延长相交于点H，设交于点O． ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：2． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，C是线段上一点，分别以为边向上作等边三角形，连结，顺次连接中点F、G、H、M得四边形，若，则四边形面积 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理等知识，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，先求出四边形的面积，再根据三角形中位线定理求出，从而得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，且， ∴， 同理：， ∴， 同理：， ∴， ∴∴， 故答案为：． 【题型03 三角形中位线的实际应用】 例5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取的中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是 ． 【答案】8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，由点C，点D分别是和的中点可得出即可得出答案． 【详解】解：∵点C，点D分别是和的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 例6．（24-25八年级下·北京·期中）如图，小亮利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸．点，分别对应刻度尺上的刻度2和8．若点和点分别为、的中点，则的长为 cm． 【答案】3 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由题意可得：，再说明是的中位线，然后根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵点和点分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：3． 变式1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，地面上A、B两处被池塘隔开，小明想测量A、B两处的距离．他是这样做的：在岸边选一点C，并分别连接和后再取它们的中点D、E，然后测得米，则A、B两处的距离是 米． 【答案】10 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据中位线的定义，且结合点D、E分别是和的中点，得是的中位线，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵点D、E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：10 变式2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ． 【答案】80 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据题意可得为的中位线，则． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴点距离地面的高度为， 故答案为：80． 【题型04 与三角形中位线有关的证明】 例7．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，点D、E分别为、的中点，延长到点F，使得，连接，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查全等三角形判定，三角形中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）先根据点D、E分别为、的中点，证明是的中位线，再根据中位线性质，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 例8．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 变式1．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）①，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点． 【猜想证明】 （1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论． 【变式探究】 （2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值． 【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）12.5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质： （1）根据线段的和差关系得到，三角形的中位线定理得到，推出，即可得出结论； （2）连接，证明，得到，推出，再根据三角形的中位线定理推出，即可得出结论； （3）根据是等腰直角三角形，得到，根据，得到最大时，最大，此时的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接，延长交于点，交于点， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）由（2）知：是等腰直角三角形，， ∴， ∴当最大时，的面积最大， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∵， ∴的最大值为10， ∴的最大值为5， ∴面积的最大值为：． 【题型05 平行四边形与中位线综合问题】 例9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 例10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．    (1)求证：E为的中点； (2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据等角对等边证明边相等、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证； （2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． 同理得． ， ，即E为的中点． （2）解：． 取的中点H，联结．   、H分别是、的中点， 是的中位线， ∴，． 是CD中点， ， ， ． ∵，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点O，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，即可求证； （2）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）证明：分别为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 在中，， 在平行四边形中，， 在中，， ． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线相交于点O，平分，分别交于点． (1)试说明是等腰三角形； (2)连接，若，． ①求线段的长； ②求的面积． 【答案】(1)理由见解析 (2)①1；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）①依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可判断得解； ②由（1）是等腰三角形，又，从而是等边三角形，可得，结合，可得边上的高，又是的中位线，则，故的边上的高的边上的高，进而计算可以得解． 【详解】（1） 解：（1）平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） ①由题意， 由（1）， 又， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ， ②由（1）是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， 又 ， 边上的高， 是的中位线， ， ∴的边上的高的边上的高， 又， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（ ） A．6 B．3 C．1.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形中位线定理．构造全等三角形，将转化为中位线是解题关键． 延长交于F，可证明，进而证明，再由E为中点，可根据三角形中位线定理求得的长度． 【详解】解题：如图，延长交于F， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 8．（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，点分别是边的中点，在的延长线上取一点，使，且，已知， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的性质和判定， 先根据三角形中位线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：与互相平分． (2)若，，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质；掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明是的中位线，得且，再证明，，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先通过勾股定理求出，根据平行四边形的对角线互相平分，求出，根据求出，最后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：证明：，分别是，的中点， 是的中位线， 且． ， ， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）   在中，，，， ． 是的中点， ． 由（1）知， ． 在中，，，， ． 14．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 15．（25-26九年级上·山东淄博·月考）中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3）证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论 （2）先判断出，得出，同(1)的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论. 【详解】（1）解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ， ， ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，， ， 是等腰三角形， 同（1)的方法得，， ， 同(1)的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大，即：最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $