第24讲 平行四边形的判定（1知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第24讲 平行四边形的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 【题型01 判断能否构成平行四边形】 例1．（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 例2．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据平行四边形判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、由，，无法判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、若，，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若，，不能判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意． 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·山东日照·月考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵平行四边形， ∴，，，，， 若，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故①，能判定四边形是平行四边形； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①知四边形是平行四边形， 故③能判定四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由①知四边形是平行四边形， 故④能判定四边形是平行四边形； ②若，在与或在与中，“”不能判定两三角形全等，也就不能得出，故 ②不能证明对角线互相平分，就不能判定四边形是平行四边形． ∴能判定四边形是平行四边形的有①③④，共3个． 故选：D． 【题型02 添一个条件成为平行四边形】 例3．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 例4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型03 证明四边形是平行四边形】 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，且．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为平行四边形．理由见解析. 【分析】先利用已知的边和角，通过判定三角形全等，得到对应边相等；再结合题目中已有的边相等条件，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形的形状． 【详解】解：四边形为平行四边形．理由如下： 在和中： ， ． ， 四边形为平行四边形． 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，已知是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，得到，，根据旋转的性质，得到，证明是等边三角形，得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵ 将绕点 E 旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【题型04 利用平行四边形的判定和性质求解】 例7．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； （2）解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 例8．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的面积为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线的性质可得，然后证明，则有，再结合即可求证； （）由平行四边形性质得，，，然后由勾股定理求出，则，最后通过平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 变式1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）利用平行线的性质和中点定义得到，，进而证明得到，再利用平行四边形的判定可得结论； （2）过点E作于F，先利用勾股定理求得，再利用角平分线的性质得到，设，则，中，由勾股定理求得，再在中，由勾股定理求得，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点E作于F， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵平分，，， ∴，设， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 解得：， (也可以用等面积法) 在中，由勾股定理得： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 变式2．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【题型05 利用平行四边形的判定和性质证明】 例9．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，点A，D，C，B在同一条直线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，解题关键是根据题意，熟练运用全等三角形的判定和平行四边形的判定进行推理证明； （1）根据平行得出，再根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明一组对边平行且相等即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 例10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上的两个点，且．求证： (1) (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理． （1）利用可证得结论； （2）利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 变式1．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． (1)求证：． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据三线合一证明即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得，由此即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得出，证出，由平行四边形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵是等边三角形，， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型06 平行四边形的判定和性质的应用】 例11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 例12．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 变式2．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点B作于E，于F，由题意得，，，则可证明四边形是平行四边形，得到，由等面积法可得，则，求出，得到，由勾股定理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，于F， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴它们重叠部分的面积为， 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定方法、平行四边形的判定条件，及三角形面积的计算是解题的关键． 先利用和是中点的条件，证明与全等，得出；再结合是中点，得到，判定四边形是平行四边形；最后通过三角形面积的关系，将四边形面积转化为的面积，计算得出结果． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在和中： ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ，，， ， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 7．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质，掌握平行四边形的对边相等，及垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先根据且判定四边形是平行四边形，得到对边相等；再利用垂直平分线的性质得出；最后将的周长转化为，代入对应边长计算． 【详解】解：∵且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ 则的周长 ． 故答案为：10． 10．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是找出两组对边平行． 根据角度关系，结合，得出，即可证得，最终证出平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， 延长交于，连接， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 14．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证； （2）根据，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，则可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，则可得，最后根据平行四边形的判定即可得证； （3）先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得平分，，则可得，然后求出平行四边形的面积为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∵， ∴平分，， ∴（题（2）已证）， ∴， ∴平行四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 16．（2018·湖北随州·一模）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第24讲平行四边形的判定 Q风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD: (1)判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC,AB∥DC (2)判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC,AB=DC (3)判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC;AB∥DC且AB=DC. (4)判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC-∠ADC (5)判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行)： ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形若四边形中，一对边平行，另一对边 相等，是无法判定为平行四边形的 练题型强知识 【题型01判断能否构成平行四边形】 例1.(25-26九年级上四川达州开学考试)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加一个条件，能使四 边形ABCD成为平行四边形的是() 1/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.AD=BC B.∠BAC=∠ACDC.AB=AD D.∠B=∠D 例2.(25-26九年级上福建福州月考)如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列条件不 能判定这个四边形是平行四边形的是() D A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.A0=CO,BO=DO D.AB=DC,AD∥BC 变式1.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判 定这个四边形是平行四边形的是() A.AB∥DC,∠BAD+∠ABC=180 B.AB=DC,AD=BC C.AC⊥BD,OA=OC D.AB∥DC,∠ABC=∠ADC 变式2.(24-25八年级下山东日照·月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E 、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF;②DE=BF;③LADE=LCBF;④ LABE=∠CDF.其中能判定四边形DEBF是平行四边形的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【题型02添一个条件成为平行四边形】 例3.(25-26九年级上黑龙江大兴安岭地月考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 且BO=D0,请你添加的一个条件是」 使四边形ABCD是平行四边形 D 例4.(25-26九年级上·黑龙江七台河·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,在不添加任何辅助线的 前提下，若使四边形ABCD是平行四边形，则需添加的一个条件是 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(24-25八年级下·山东临沂·月考)如图，口ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，有下列条 件：①AE∥CF；②BE=FD;③∠I=∠2；④AE=CF,若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定 是平行四边形，则添加的条件可以是一， F D 27 E 变式2.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E,F在 对角线BD上，且OA=OC,BE=DF.要使四边形AECF为平行四边形，则应添加的条件是」 _(写 出一种情况即可). 【题型03证明四边形是平行四边形】 例5.(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，AB=DE,BC=EF,，AD=CF,且LABC=∠DEF.试 判断四边形ADFC的形状，并说明理由. A B 例6.(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，在口ABCD中，E,F分别是DC,AB上一点， LAEC=∠AFC,求证：四边形AECF是平行四边形. D E A 变式1.(2026八年级下·全国.专题练习)如下图，△ACD,△ABE,BCF均为直线BC同侧的等边三角形. 当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形 3/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(25-26九年级上山东临沂·期中)如图，已知ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连接BE.将 AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF,CF,求证： 四边形ABDF是平行四边形. E B 【题型04利用平行四边形的判定和性质求解】 例7.(24-25八年级下，湖南长沙期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=∠BCD,对角线 AC,BD相交于点O (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=5,AD=3,AC⊥BC,求AC的长和BD的长 例8.(24-25八年级下·浙江·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,B0=D0. D (1)求证：四边形ABCD是平行四边形. (②)若CD=12,BD=26,AC⊥AB,求四边形ABCD的面积. 变式1.(24-25八年级下·重庆期中)如图，在四边形ABCD中，AC=5cm,BC=3cm,LB=90°， CD∥AB,O是AC的中点，连接DO并延长，交AB于点E,连接CE, 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：四边形AECD是平行四边形. (②)若CE平分∠ACB,求AD的长， 变式2.(24-25八年级下·四川泸州阶段练习)如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接 CD,E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F,连接DF交AC于点G,连接CF. B (I)求证：四边形DBCF是平行四边形； (2)若∠A=30°，AC=4V3,CF=6,求AD的长. 【题型05利用平行四边形的判定和性质证明】 例9.（24-25八年级下新疆阿克苏期中)如图，点A,D,C,B在同一条直线上， AD=BC,AE=BF,AE‖BF.求证： O F (I)△ADE≌△BCF; (②)四边形DECF是平行四边形. 例10.(24-25八年级下·江苏南通阶段练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，P,Q是对角线BD上 的两个点，且BP=DQ.求证： B D (1)△ABP≌△CDQ 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)四边形AQCP为平行四边形， 变式1.(2025·广西桂林一模)如图，在△ABF中，AB=BF,BE⊥AF于点E,过点A作AD∥BF,连 接DE并延长，交BF于点C. (1)求证：AE=EF. (2)连接AC,DF,求证：四边形ACFD是平行四边形. 变式2.(2025八年级下·全国·专题练习)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD 、等边△ABE,已知∠BAC=30°，EF⊥AB,垂足为F,连接DF, (1)求证：BC=AF; (②)求证：四边形ADFE是平行四边形. 【题型06平行四边形的判定和性质的应用】 例11.(24-25八年级下·全国·课后作业)如图，在四边形池塘ABCD的四个顶点处各有一棵树.若要扩建 池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中，试画出扩建后 的池塘oA'B'C'D'. D B 例12.(23-24八年级下·贵州毕节·期末)如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘 制时会保证四边形停车位ABCD的边AD=BC=6m,边AB=CD=2.8m,且∠A=60°.求这个四边形停车 位的面积. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 图2 变式1.(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)数学实践小组开展测量篮球架篮板AB的高度的实践活动.测量 方案如下表： 课题 测量篮球架篮板AB的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 H 测量方案 示意图 DE (1)将竹竿HE垂直固定在地面CD上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点 B: (2)测量视线FB与竹竿HE的夹角，∠HFB; 测量步骤 (3)将观察点沿着竹竿向上移动到点G,测量从点G观察篮板顶部点A的 视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA; (4)测量GF的长 测量数据 ∠HFB=∠HGA=48°，GF=1m 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板AB的高度， 变式2.(24-25八年级下·全国期末)如图(1)所示是某校篮球架实物图，如图(2)所示是篮球架的侧面 示意图，篮板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活 动.在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图(3)所示，小组成员将竹竿HE垂直固 定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角 ∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与 竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为Im. 7/12 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由， D E 图(1) 图(2) 图(3) 03串知识识框架 ()判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形 (2)判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形 平行四边形 (3)判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形 的判定 4) 判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形 (5)判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形 04 过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC和BD交于点0， 要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是() D A.AB=CD B.AC=BD C.AO=DO D.A0=CO 2.(24-25八年级下·山西临汾·期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于 点O.若AC=6,则线段A0的长是() 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.6 3.(25-26九年级上河南平顶山期中)如图，小华剪了两条宽均为√3的纸条，交叉叠放在一起，且它们的 夹角为60，则它们重叠部分的面积为() 60 A.25-1 B.5+2 C.2 D.2W5 4.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=6,D,E分别是 BC,AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF,则四边形AFBD的面积为() A.10 B.12 C.14 D.15 5.(24-25八年级下·陕西汉中期末)如图，E是口ABCD的边AB上的点，连接DE、CE,Q是CE的中点， 连接BQ并延长交CD于点F,连接AF与DE相交于点P,若S。APo=5cm',Soc=9cm,则阴影部分的面积 为() A.23cm2 B.20cm2 C.17cm2 D.13cm2 二、填空题 6.(24-25八年级下·吉林期末)如图，己知ABC,分别以C,A为圆心，AB,BC的长为半径作弧， 两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形的依据是 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 7.(24-25八年级下陕西榆林·期末)如图，将直角ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，点A、B、 C的对应点分别为点D、E、F,连接BE,若CD=5,AF=I3,则BE的长为 8.(24-25八年级下·湖北黄冈·期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E, ∠CBD=90°，BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 D B 9.(25-26八年级下.全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,AB=4, BC=6.EF是AC的垂直平分线，分别交AD,AC于点E,F.连接CE,则△CDE的周长为」 B 10.(24-25八年级下·河南信阳·月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm, AD=10cm,P,Q分别从A、C两点同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以1cm/s的速度由 C向B运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止.经过秒，直线PQ将四边形ABCD截 出一个平行四边形. BO←-C 》P 三、解答题 10/12