3.4.3 课时1 空间中的角课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.4.3 课时1 空间中的角 异面直线所成角 线面角 二面角 线线所成角范围： 线面所成角范围： 二面角的平面角范围： 两条直线夹角的 定义 两条直线夹角的 取值范围 两条直线夹角的 向量求法 两条直线夹角问题的研究路径： 如何用空间向量求两条直线的夹角？ 从高维向低维转化 两条直线夹角的定义： 1. 平面内：两条直线 l1，l2 相交形成 4 个角，其中不大于 90° 的角称为两条直线 l1与 l2 所成的角（或夹角）； 2. 空间中：两条异面直线 l1，l2，经过空间任一点 O 分别作直线 l1´∥l1，l2´∥l2，我们把直线l1´与l2´所成的角叫做异面直线 l1与 l2 所成的角（或夹角）. 两条直线夹角 θ 的取值范围： 两条直线的夹角 与它们方向向量的夹角有什么关系？ 设直线 l1的方向向量为 ，直线 l2的方向向量为 ，则 或 例1：如图，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点， 求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值. A B C D N M 分析：直线 AM 和 CN 夹角的余弦值 直线、夹角的余弦值 a b c 解：设 以 为基底， 则 设向量 与 的夹角为 θ，则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于 |cos θ|. 所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为. A B C D N M a b c 用空间向量求两条直线 ， 夹角 的步骤与方法 化为向量问题 ① 转化为求两直线，的方向向量 的夹角 进行向量运算 ② 计算 的值 回到图形问题 ③两条直线，夹角 的 余弦值 类比两条直线夹角的研究路径，说说如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 直线与平面所成角的定义 直线与平面所成角的取值范围 直线与平面所成角的向量求法 直线与平面所成角问题的研究路径： 直线 l 与平面 α 所成的角 θ ： l⊂α ⇒ θ = 0° α l 直线与平面所成角 θ 的取值范围是什么？ A B C 斜线与平面所成的角的定义：平面 α 的一条斜线 AB 和它在平面内的投影 BC 所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角. l // α ⇒ θ = 0° α l l 是 α 的斜线 ⇒ θ = ？ α l 0°≤ θ ≤ 90° l⊥α ⇒ θ = 90° α l 直线与平面所成的角 和有什么关系？ 直线 l 的方向向量为 平面 α 的法向量为 A B C l 解：由正三棱柱知 AA'⊥平面 ABC，故以点 A 为原点，AC，AA' 所在直线分别为 y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量. 例2：如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 由△ABC是边长为2的正三角形，可得 设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ， 则 故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为 用空间向量求直线 l 与平面 所成角 的步骤与方法 化为向量问题 ① 转化为求直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量 的夹角 进行向量运算 ② 计算 的值 回到图形问题 ③直线 l 与平面 所成角 的 正弦值 n1 n2 平面与平面的夹角： 平面与平面所成的角，可以转化为法向量与法向量的夹角. 若平面 α、β 的法向量为 和 ，则平面 α 与平面 β 的夹角即为向量 和 的夹角或补角. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，则 例3：如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A 的平面角. 解：由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. ∵A'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， 设n2 = (x,y,z)是平面A'DC的一个法向量，则 即 ∴取n2=(0,1,1)，得 ∴平面角为 由图可知二面角A'-DC-A的平面角为锐角， 利用平面的法向量求二面角： 利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来. l1 l2 u v 1.直线与直线的夹角 2.直线与平面的夹角 3.平面与平面的夹角 $