3.2.2 课时2 空间向量的数量积课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，涵盖向量夹角、数量积定义、运算律及投影向量等核心知识点。通过物理力做功情境导入，结合思考问题衔接平面向量知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境探究和问题驱动为主线，如空间四边形、正四面体等实例，培养学生数学思维（推理、运算）与数学语言表达（向量分解）能力。方法总结清晰，助力学生掌握解题步骤，提升空间观念，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 课时2 空间向量的数量积 探究1：向量的夹角与数量积的概念 情境：如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W = F·S = |F||S|cos θ. 思考1： <mθ 是哪两个量的夹角？ 思考2：任意两个向量的数量积是向量吗？两个向量的数量积一定是非负数吗？ 是力与位移的夹角. 不是向量，两个向量的数量积是实数，不一定是非负数. 2 问题1：如图所示，空间四边形的各边和对角线长均等于，是的中点，则下列说法正确的是哪些？ （1）；（2）；（3）. 是的中点，，，即，错误； 由题意知与的夹角为，， 由题意知与的夹角为，，∴（2）错误； 是的中点，且是正三角形，，. ，∴（3）正确；综上，只有（3）正确. 3 1.向量的夹角定义：如图，已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则________叫作向量 ， 的夹角，记作_________. <m></m> <m></m> 2.空间向量的数量积 已知两个向量 和 ，则 叫作 ， 的数量积，记作 . 即 . 特别地，零向量与任意向量的数量积为 0. 4 例1：如图，已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 <m></m>，</m>，<m></m>，</m> ，，， 分别是 ，， 的中点. 求下列向量的数量积： （1）；（2）；（3）；（4）. 解：（1）在空间四边形中，，且，， ； （2），，，，. （3），，又，，，. （4），，，∴,=,，. 方法总结：要求 a 与 b 的数量积，需已知 |a|，|b| 和 <a，b>，a 与 b 的夹角与 a，b 的方向有关，正确判断夹角的大小，才能使 a·b 计算准确. 5 练习1：如图，已知正方体的棱长为1，则 ( @23@ ) A. B. C. D. C 分析： ，故选C. 6 探究2：空间向量数量积的性质与运算律 思考1：“若，则”，这种说法正确吗？ 不正确，向量不能约分. 思考2：数量积的运算满足除法吗？ 数量积的运算不满足除法，即对于向量 ，，若，不能得到 (或)；如：当非零向量，垂直时，，显然 没有意义. 思考3：数量积的运算不满足结合律吗？ 向量的数量积的运算不满足结合律，即不一定等于. 7 1.空间向量数量积的运算律： （1）交换律：； （2）分配律：； （3）. 2.空间向量数量积的有关结论： （1）； （2）； （3）. 8 例2：如图，已知正四面体的棱长为1，求： （1）； （2）. 解：（1）</m<m> . （2）</m> . 方法总结：在几何体中求空间向量的数量积的步骤： （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； （3）代入公式求解. 9 练习2：已知在长方体中，点是上的动点，点是上的动点，，. （1）求； （2）求的取值范围. 解：（1）</m><m> . 因为，，所以，，即，， 因此. 10 （2）</m><m> ， 因为，，，， 所以，，，， 因此. 设，，，，则， 因为，所以，故的取值范围为. （2）求的取值范围. 练习2：已知在长方体中，点是上的动点，点是上的动点，，. 11 探究3：投影向量 我们在测量树的高度时，常利用阳光下的影子测量其高度，如图所示. 若测得，如何求在上的投影？ 根据平面数量积的几何意义， <m>在上的投影为. 平面向量数量积的投影定义，在空间中还成立吗？ 根据空间向量数量积公式可知，依然成立. 12 1.如图（1），在空间中，向量向向量投影，先将它们平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， <m>·,， 向量称为向量在向量上的投影向量. 类似地，也可以将向量向直线投影，如图（2）. 13 2.如图（3），向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，得到向量_______，向量_______称为向量 在平面 上的投影向量.这时，向量____，_ ______的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角. <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 14 例3：如图，已知四棱柱 的底面 是矩形，， ， ， ， 为棱 的中点，则 _____； 在 上的投影向量是_ ______. <m></m> <m></m> 解析：由图可知，所以</m> =</m><m></m>， <m>. 故在上的投影是，<m>在上的投影向量是. 方法总结：根据投影的定义可得，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量. 15 练习3：如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.若，，，求向量在上的投影. 解析：由图可知<m></m><</m>m </m>＝</m>， 所以<. 因为 </m>；；； 所以，所以. 所以向量在上的投影是 16 空间向量的数量积 空间两个向量的夹角 定义 几何意义 运算律 性质 利用向量解决立体几何问题的应用 $