精品解析：广东省广州市天河区广州中学2025-2026学年九年级上学期期末模拟练习数学问卷

广州中学2025学年初三年级第一学期期末模拟练习九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等； 2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效； 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效； 4.本次考试禁止使用计算器． 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B关于原点O对称，则（　　） A. 3 B. 2 C. －6 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为，点B的坐标是，点A与点B关于原点O对称， ∴a＝1，b＝-3， 则ab＝−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 5. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 6. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则：向右平移个单位，替换为；向上平移个单位，替换为或整个函数加． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是． 故选：A． 7. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，由圆周角定理可得，由作图可得，则，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知，， ∴， 故选：B． 8. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 9. 如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，探究变量之间的函数关系，准确地计算阴影部分面积之和并熟知二次函数图象特征是解题关键．先求出阴影部分的面积之和，再整理得到y与x之间函数关系式，最后根据二次函数图象性质以及x的取值范围得到答案． 【详解】解：∵3个全等的圆与等边三角形形成的阴影部分为三个全等的扇形， ∵圆的半径为x，阴影部分的面积之和为y， ∴， 即，， 故选：A． 10. 已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上，从而得到点离对称轴越远，函数值越大，再由点，也是该函数图象上的两动点，且总有，可得点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵点，是二次函数上的两点， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，也是该函数图象上的两动点，且总有， ∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离， 即， 解得：． 故选：A 二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，常数项，根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：6． 12. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：抛物线， 因此顶点坐标是， 故答案为． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据表格，估计该麦种的发芽概率为______.（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，解题的关键是理解题意；因此此题可根据利用频率估算概率的方法进行求解即可． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验种子数的不断增大，发芽频率的值在附近波动，并趋于稳定，故可估计该麦种的发芽概率约为． 故答案为0.95． 14. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 16. 如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质以及运用勾股定理求线段长度，理解圆的对称性并运用对称性作相关辅助线是解题关键．取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F．先求的长度，再证明，从而证明，最后运用矩形的判定及性质以及勾股定理求出的长． 【详解】解：取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F． ∵D为弦的中点，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵D为弦的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键． 利用配方法解答即可求解． 【详解】解∶ ， ， ， 即， ， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）求点B经过的路径弧的长（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）点B经过的路径的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． （1）将点、分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 所以点B经过的路径的长为． 19. 第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，正确列表或画出树状图法是解题的关键；先列表，即可得到所有事件的总数及抽出的两张卡片图案不同的总数，由概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 A B C A B C 由表知，所有等可能的结果为9种，其中抽出的两张卡片图案不同的可能结果有6种， 所以抽出的两张卡片图案不同的概率为：． 答：抽出的两张卡片图案不同的概率为． 20. 如图，是二次函数的图象． （1）求二次函数解析式； （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键． （1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解； （2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集． 【小问1详解】 解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过， 代入二次函数解析式得 解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知图象与的交点为， 不等式的解集为． 21. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含角直角三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到，继而解出，最后根据矩形的面积公式解答即可； （2）利用配方法得到，据此解答． 【小问1详解】 解：∵，，点E与点A点B均不重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则 ， ∴当时，矩形的面积最大， ∵ 即当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查二次函数的应用，矩形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，四边形内接于，并且是的直径，C是弧的中点，和的延长线交于外一点E， （1）求证：． （2）若的长是方程的两根，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到，从而根据等角对等边即可证明； （2）根据根的判别式为零，构建方程求出m的值，解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的直径， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的长是方程的两根，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴或8， 当时，方程为，解得， ∴． 当时，方程为，解得（不符合题意舍去）． 综上所述，． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 【答案】[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ， 【解析】 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解； 任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解； 任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点， ，， ， ， ，， ； 任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为 ； 任务三：解：如图 由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点， 由题意知，， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面积的求解，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； （3）在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设交y轴于点K，根据题意得：y轴右侧新函数的解析式为，点，设点，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，进而得到，再利用二次函数的性质解答即可； （3）根据题意可得当时，求出当直线与的图象有唯一公共点时，；再求出直线过点时，，然后求出当直线过点时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设交y轴于点K， 根据题意得：y轴右侧新函数的解析式为，点， 设点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 即点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为16，当时，随s的增大而增大，当时，随s的增大而减小， ∵，且， ∴当时，最小，为12， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，设当时，新函数图象与y轴交于点D，则点， 当直线与的图象有唯一公共点时， ，即， 此时， 解得：； 当直线过点时，； 此时直线过点， 当直线过点时，， ∵直线与新的函数图象有且只有两个交点， ∴m的取值范围为或． 【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数图象与二次函数图象交点问题，本题的关键是利用数形结合思想解答． 25. 如图，动点Q在等边的边上运动，连接，于点D，以为一边作等边． （1）如图①，连接，求的大小； （2）如图②，若边长，以B为原点，为x轴建立如图所示的直角坐标系，在点Q的运动过程中，直线是否过定点？如果过定点，请求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； （3）在（1）的条件下，若，求的最大值． 【答案】（1） （2）直线过定点，该定点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，结合即可求解； （2）过点A作于点F，连接，根据等腰三角形的性质可求出点，，得出点A，F，C，E四点共圆，点A，B，F，D四点共圆，根据圆周角定理得出，，结合（1）中，得出，则，得出点D，F，E三点共线，故直线过定点； （3）过C作于H，利用（1）中，得出，则可求，由（1）知：，，则可求，根据，得出点D在以为直径的圆上运动，取中点，连接，过D作于H，则，故当时，取最大值，为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：直线过定点， 由（1）得：， ∴， 如图，过点A作于点F，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∴点， ∵， ∴点A，F，C，E四点共圆，点A，B，F，D四点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，F，E三点共线， ∴直线过定点； 【小问3详解】 解：过C作于H， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴点D在以为直径的圆上运动， 取中点，连接，过D作于H， ∴， ∴当时，取最大值，为， ∵， ∴的最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，圆周角等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明点A，F，C，E四点共圆，点A，B，F，D四点共圆是第（2）问的解题关键；判断出是第（3）问的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2025学年初三年级第一学期期末模拟练习九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等； 2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效； 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效； 4.本次考试禁止使用计算器． 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B关于原点O对称，则（　　） A. 3 B. 2 C. －6 D. －3 5. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 12. 抛物线的顶点坐标是_______． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据表格，估计该麦种的发芽概率为______.（结果精确到0.01） 14. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 16. 如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）求点B经过的路径弧的长（结果保留）． 19. 第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 20. 如图，是二次函数的图象． （1）求二次函数解析式； （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 21. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 22. 如图，四边形内接于，并且是的直径，C是弧的中点，和的延长线交于外一点E， （1）求证：． （2）若的长是方程的两根，求的长． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 24. 已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； （3）在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 25. 如图，动点Q在等边的边上运动，连接，于点D，以为一边作等边． （1）如图①，连接，求的大小； （2）如图②，若边长，以B为原点，为x轴建立如图所示的直角坐标系，在点Q的运动过程中，直线是否过定点？如果过定点，请求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； （3）在（1）的条件下，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $