专题1.2 幂的乘方与积的乘方（4大考点+5大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2幂的乘方与积的乘方 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01幂的乘方法则 知识点02幂的乘方法则逆用公式 知识清单 知识点03积的乘方法测 知识点04积的乘方法则逆用公式 幂的乘方与积 的乘方 题型o1幂的乘方运算 题型02幂的乘方的逆用 题型03利用幂的乘方比较大小 题型精讲 题型04积的乘方运算 题型05积的乘方的逆用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解幂的乘方与积的乘方法则，掌握其推导过程，能够表达为(dmy=am和(aby”= a”*b”。 教学目标 2.熟练运用法则进行运算，能解决幂、积与乘方结合的混合计算问题。 3.体会从具体到抽象的归纳思想，提升符号意识和数学表达能力。 1.重点 (1)准确掌握幂的乘方和积的乘方的运算性质，并能独立推导。 (2)正确、灵活地运用法则进行计算，特别是涉及符号、系数的处理。 教学重难点 2.难点 (1)区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，避免指数运算混淆。 (2)在复杂算式中综合运用多个幂的运算法则，尤其是负号与括号的处理。 1/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01幂的乘方法则 幂的乘方法则：(a)”=a(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘， 要点诠释：公式的推广：(a")P=a(a≠0，m,n,P均为正整数) 【即学即练】1.(25-26八年级上吉林松原期末)计算：(x2)°x2-x2) 2.(25-26七年级下·全国·课后作业)计算： a2°a2+2a2a22: 2)3x2)x2-x-x2)3. 知识点02幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式：a0=(a）”=(a” 根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变 从而解决问题 【即学即练】3.(25-26八年级上江西上饶月考)(1)已知a"=3,a”=2,求a2m+3m (2)已知x+3y-2=0,求5125'的值. 4.(2025·黑龙江佳木斯·模拟预测)(1)若2”.4”=64，求n的值： (2)已知am=6,a”=2,求a2m+3m的值. 知识点03积的乘方法则 积的乘方法则：(ab)”=a”.b” (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘 要点诠释：公式的推广：(abc)”=a”·b”·c(n为正整数). 【即学即练】5.(25-26八年级上陕西延安月考)计算：aa-2a2)+-2a)2. 6.(25-26八年级上北京朝阳·期中)计算： x32x2-(x2)1: 2-2m2ml+-3mr2)3 知识点04积的乘方法则逆用公式 2/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 积的乘方法则逆用公式：a'=(b)”逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时， 计算更简便.如： 【即学即练】7.(25-26八年级上·湖北期中)求值： ()已知2+3×33=36，求x的值： (2)已知n是正整数，且x”=2,求(3x")3+(-2x2")的值. 8.(25-26八年级上·四川内江月考)在等式的运算中规定：若a=a'(a>0且a≠1，x,y是正整数)， 则x=y,利用上面结论解答下列问题： (1)已知：3×2+1×4-=96，求x的值 (2)已知23.33=36-2，求x的值. (3)若2×3+2-3=45，求x的值： 题型精讲 题型01幂的乘方运算 【典例1】（25-26八年级上·全国课后作业)计算： ()102): 2x）2: 3[(-a]: 4y23y2. 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)计算： )10)2: (2-a2}2: 3)-[x-]: (4x2）”x1. 【变式2】（25-26七年级下·全国课后作业)计算： ①xx2): 3/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)a-a2.a3-a23. 【变式3】(25-26八年级上湖北黄石期中)计算： ()a.a.a+a2)+-2a 2x23x2-(x)2 题型02幂的乘方的逆用 【典例2】(25-26八年级上·吉林长春·月考)(1)3×9"×27m=3,则m的值为 (2)已知a”=2,a”=5求a3m+2"的值. 【变式1】(25-26八年级上海南省直辖县级单位·月考)己知x"=2,x”=4, (1)求xm+”的值. (2)求x3m的值. (3)求x3m+2m的值. 【变式2】(25-26八年级上·全国课后作业)若am=a”(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n.利用 上面结论解决下面的问题： (1)如果8=2，求x的值： (2)如果2+2+21=24，求x的值： (3)若x=5”-3y=4-25”,用含x的式子表示y. 【变式3】(24-25七年级下江苏连云港·月考)若a"=a"(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n. 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果27=3”，求x的值： (2)如果2×8×16=22，求x的值： (3)已知x满足22x+3-22x+1=48,求x的值. 题型03利用幂的乘方比较大小 【典例3】(25-26八年级上吉林长春月考)己知：a=2“,b=3，,c=52,试比较、b、c的大小. 【变式1】(25-26八年级上山东滨州·月考)比较下列各题中幂的大小： (1)比较34,5,62这3个数的大小关系： (2)已知a=81,b=271,c=91,比较a、b、c的大小关系. 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州月考)阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题. 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 4/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 方法一：化同指数幂比较底数大小. 例如：若a3=2,b=3,则a,b的大小关系是ab.(填“<”或“>”) 解：a5=a=2=32,65=(6°=3=27，且32>27 als>bls, .a>b. 方法二：化同底数幂比较指数大小. 例如：比较815,273,91的大小. 解：81=3°=3”，27=(3=32,9"=32”=32，且24>2>20， .278>91>815. ()上述求解过程中，逆用幂的运算性质是· (填选项) A.同底数幂的乘法B.同底数幂的除法C.幂的乘方D.积的乘方 (2)①比较20与375的大小. ②已知5=324,5=4,5=9.则a,b,c之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在， 请说明理由. 【变式3】(24-25六年级下山东淄博·月考)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较32和4的大小. 解：4=2”=22，且3>2， .32>222,即322>41 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较2和82的大小。 解：82=(2)2=2，且8>6， .28>26,即2>82. 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较34、43、522的大小： (2)比较8131、27、9的大小： (3)已知a2=3,b=4,a>0,b>0,比较a、b的大小： (4)比较32×510与310×52的大小. 题型04积的乘方运算 【典例4】(25-26八年级上全国课后作业)计算： 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5x)°： 2-m1: 32y: 4-3x2y) 【变式1】(2025七年级上全国专题练习)计算： 0a2.a3+a2）+2a2: 2)-(-2xy+x2(-x2)(-y）--3xy2y 【变式2】(2025八年级上·全国专题练习)计算： 2a°-(-3a°+[-(2a2]： @-(y 【变式3】(2025八年级上·全国·专题练习)计算： ①-3p9)3°： 2)--2a2b)1: 3)a2.aa+a2+-2ay. 题型05积的乘方的逆用 【典例5】(25-26八年级上福建厦门期中)若a"=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利 用上面的结论解决下面的问题： (1)如果3×9×27=326，求x的值： (2)已知m=63,n=54,用含m,n的式子表示3036 【变式1】(25-26八年级上湖北期中)求值： ()已知2+3×33=36+，求x的值： (2)已知n是正整数，且x3m=2,求(3xr3m)3+(-2x2")3的值. 【变式2】(25-26八年级上河南周口·月考)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也 可以逆向运用.请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 2024 ×4224= (2)已知a=2°，b=3,c=73,请比较a,b,c的大小，并用“<”连接起来. 6/9 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)若4“=2,4=3，求43a+26-1的值. 【变式3】(25-26八年级上·四川内江·月考)在等式的运算中规定：若a=a'(a>0且a≠1，x,y是正整 数)，则x=少，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：3×2×4-=96，求x的值 (2)已知2*3.3+3=36-2，求x的值. (3)若2×3+2-3=45，求x的值： 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上吉林期末)计算a)=() A.a B.a C.a D.a6 2.(25-26八年级上辽宁鞍山期末)下列计算正确的是() A.(2a2-2a2B.(a2）3=a C.m3.m4=m2 D.x2+x2=x4 1）2025 3.(25-26七年级上河南·期末)计算 8 ×82026的结果是(） A.g B.日 C.8 D.-8 4.(25-26八年级上云南昭通期末)已知x+2y-4=0,则2,4的值为() A.1 B.4 C.8 D.16 5.(24-25八年级上河南周口期末)比较2,32,5"的大小，正确的是() A.23>5>322 B.233>32>5 C.32>233>5 D.32>51>23 二、填空题 6.(23-24七年级上上海期中)计算：(2ry)3= 7.24-25七年级下全国课后作业)计算：-子×=7 8.(24-25八年级上河北石家庄月考)若x+2y-3=0,则2.4=一· 9.(25-26八年级上安徽准南·月考)若a=2,a=3,求a2+y=;若32x+4=27,则x= 10.(2025七年级下·全国·专题练习)已知a=20,b=3,c=5,d=6,那么a,b,c,d大小顺序为- 719 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26七年级上·上海期中)计算：(ab)”+2-ab")+(ab) 12.(25-26八年级上云南昆明月考)计算：x·x2x3-(-2x3)2+(-2x2) 13.(25-26八年级上·全国课后作业)计算： 02al-(-3a'+[-2a2]: （yj八 2025 ×-0.52025×-31204 14.(2025八年级上全国专题练习)先化简，再求值：(b)2”-(ab),其中a=6,62=8 15.(25-26八年级上：广东广州期中)(1)已知m+4n-3=0,求2"16”的值： (2)已知2m=3,2”=5,求2m+2m的值. 16.(25-26八年级上北京期中)若a"=a”(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n.你能利用上面 的结论解决下面的问题吗？ (1)如果2×8=22，求x的值： (2)已知x满足223-221=48，求x的值。 17.(25-26八年级上广东东莞期中)阅读下列各式：(y2=xy2,(y)3=y,(y)=xy… ()根据积的乘方得出规律：(xy)=一，(2)”=一； (2)应用规律： ①填空： 510×0.2100= ②计算：82023×-0.25)2024x0.52025 18.(2025八年级上·全国·专题练习)下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列 问题. 作业计算： 45×-0.25) 解：原式 -4×0.25)3=(-1)3=- 8/9 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 （0i计算：①823×-0.125203： @ (2)若3×9”×81”=39，请求出n的值。 19.(25-26八年级上河南南阳·月考)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆 向运用，请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 2023 ()计算： 5 ×52024 (2)已知a=22,b=3,c=74,用“>”将a,b,c连接起来： (3)若2=2,2=3，求23a*26-1的值； 20.(25-26八年级上广西南宁·期中)阅读材料，我们对于正数aa≠1，若a”=a”,则根据底数相同时 指数的唯一性可得m=n,这个结论被称为“同底数幂的等值性结论”. 此外解决指数相关问题时，还会用到以下幂的运算性质及逆运用： ①同底数幂相乘逆运用：am+"=a"×a”(a>0,a≠1，m,n为整数)； ②幂的乘方逆运用：a=a”=a)”（a>0,a≠1，m,n为整数)· 利用上述阅读材料中的结论和性质，可解决下列问题： (1)若322=3，求x的值： 2)若9）=32，求x的值： (3)若2×16=28，求x的值. 9/9 专题1.2 幂的乘方与积的乘方 教学目标 1. 理解幂的乘方与积的乘方法则，掌握其推导过程，能够表达为 (am)n = amn和(ab)n = an *bn。 2. 熟练运用法则进行运算，能解决幂、积与乘方结合的混合计算问题。 3. 体会从具体到抽象的归纳思想，提升符号意识和数学表达能力。 教学重难点 1.重点 （1）准确掌握幂的乘方和积的乘方的运算性质，并能独立推导。 （2）正确、灵活地运用法则进行计算，特别是涉及符号、系数的处理。 2.难点 （1）区分幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则，避免指数运算混淆。 （2）在复杂算式中综合运用多个幂的运算法则，尤其是负号与括号的处理。 知识点01 幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 【即学即练】1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先运用幂的乘方化简，然后按同底数幂相乘的运算法则计算，最后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点02 幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 【即学即练】3．（25-26八年级上·江西上饶·月考）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 知识点03 积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 【即学即练】5．（25-26八年级上·陕西延安·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则正确计算即可． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 知识点04 积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 【即学即练】7．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 8．（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型01 幂的乘方运算 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除及幂的乘方运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）进行幂的乘方运算； （2）进行幂的乘方运算； （3）进行幂的乘方运算； （4）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂乘法运算． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘来计算． （2）先处理符号，再用幂的乘方法则计算． （3）先运用幂的乘方法则，再考虑符号． （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法“底数不变指数相加”及幂的乘方“底数不变，指数相乘”可进行求解； （2）同理（1）可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 0 【分析】本题考查幂的运算及整式的加减，正确计算是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方的运算法则计算，最后合并即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则计算，最后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02 幂的乘方的逆用 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）（1），则m的值为_______． （2）已知，求的值． 【答案】2；200 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方； （1）利用幂的乘方法则将，转化为底数为3的幂，然后再用同底数幂的乘法来计算即可； （2）先用幂的乘方法则来计算、，然后再用同底数幂乘法来计算即可. 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ ∴. 故答案为：2. （2）∵， ∴，， ∴. 故答案为：200. 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）已知，， (1)求的值． (2)求的值． (3)求的值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方逆用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）逆用同底数幂法则求解即可； （2）逆用幂的乘方法则求解即可； （3）先逆用同底数幂的法则、逆用幂的乘方法则，原式变形为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为，， 所以． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 【详解】（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 题型03 利用幂的乘方比较大小 【典例3】（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知：，，，试比较a、b、c的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，根据，，，即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)；，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 【变式3】（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 题型04 积的乘方运算 【典例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据积的乘方运算运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则求解，然后合并同类项即可求解； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则求解，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； （2）先根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方运算法则．熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方进行计算即可； （2）利用积的乘方进行计算即可； （3）利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 题型05 积的乘方的逆用 【典例5】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【变式1】（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)18 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，逆用法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方即可求解； （2）先把a、b化为指数为3的幂，在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，即可比较幂的大小； （3）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，即可求解． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：1； （2）解：， ∵， ∴， 即； （3）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；直接应用幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和合并同类项等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式． 利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算． 【详解】解： 故选：D． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 5．（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较幂的大小关系，将指数统一为11次幂，比较底数大小即可 【详解】∵ ，，， 又∵， ∴， 即； 故选C． 二、填空题 6．（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 观察指数相同，利用幂的运算性质将原式化为积的乘方形式，计算底数乘积后得到的偶数次幂，结果为． 【详解】解：原式= = = 1， 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）若，则 ． 【答案】16 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用已知条件得到，再将变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 9．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若，，求 ；若，则 ． 【答案】 12 4 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①根据幂的乘方的逆用和同底数幂乘法的逆用，可得，然后代入计算即可；②等式右边根据幂的乘方的逆用，可得，从而可知，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故答案为：12；4． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，合并同类项． 先计算积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·云南昆明·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方和积的乘方计算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先计算同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （3）对同底数幂的乘法和积的乘方的公式进行逆应用，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式， ． ∵，， ∴原式． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 16．（25-26八年级上·北京·期中）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：，， 即， ∴， 解得； （2）解：：，， ∴，, ∴， ∴， 解得． 17．（25-26八年级上·广东东莞·期中）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算； 将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解： ； 解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·河南南阳·月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)计算：； (2)已知，用“＞”将，b，c连接起来 ； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将，b，c化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 因为， 所以； （3）解：因为， 所以． 20．（25-26八年级上·广西南宁·期中）阅读材料，我们对于正数，若，则根据底数相同时指数的唯一性可得，这个结论被称为“同底数幂的等值性结论”． 此外解决指数相关问题时，还会用到以下幂的运算性质及逆运用： ①同底数幂相乘逆运用：（，，m，n为整数）； ②幂的乘方逆运用：（，，m，n为整数）． 利用上述阅读材料中的结论和性质，可解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算及其逆运算是解题的关键． （1）根据“同底数幂的等值性结论”求解即可； （2）根据幂的乘方逆运用及“同底数幂的等值性结论”求解即可； （3）根据幂的乘方逆运用，同底数幂的乘法运算及“同底数幂的等值性结论”求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $