专题1.1 同底数幂的乘法（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1.理解同底数幂乘法的运算性质，能推导公式am×an = am+n。 2.熟练运用该性质进行同底数幂的乘法计算，并能解决简单实际问题。 3. 培养从特殊到一般的归纳能力，体会数学运算的逻辑性与简洁性。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂乘法的运算规则，并能准确进行符号、系数的处理。 （2）熟练运用公式解决计算问题，确保底数不变、指数相加的正确性。 2.难点 （1）理解公式的推导过程，区分同底数幂与异底数幂的运算差异。 （2）在复杂运算中灵活应用法则，避免指数相加与底数不变的混淆。 知识点01 同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）-（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：． （2） （3） （4） 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算和合并同类项，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据同底数幂乘法运算法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）先根据同底数幂乘法运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点02 同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 【即学即练】3．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键． 逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 题型01 同底数幂相乘 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题关键，（1）-（4）小题均直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则计算． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和合并同类项，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂的乘法法则求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则： （1）根据同底数幂的乘法法则直接计算即可； （2）先将底数化为相同，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）先计算乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （4）先利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型02 不同底数转化为同底数幂的运算 【典例2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算= ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据运算法则进行计算即可求解，掌握同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 题型03 同底数幂乘法的逆用 【典例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆用求解， （2）根据同底数幂相乘的逆用求解， 【详解】（1）， ． （2）， ． 【变式1】（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘法则，逆用同底数幂相乘法则是解本题的关键． （1）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （2）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （3）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可； （4）先利用同底数幂相乘法则，再逆用同底数幂相乘法法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2） （3） （4） 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 题型04 已知代数式的值，求式子的值 【典例3】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】27 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查同底数幂相乘的逆运算，正确将多项式变形为是解题的关键．利用同底数幂相乘得到，将数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值，将已知变形得，因此，整体代入代数式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 题型05 新定义有关同底数幂的运算 【典例5】规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由可得 ． （2）解：由可得．                 因为， 所以,                 解得． 【变式1】规定． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)243 (2)1 【知识点】同底数幂相乘、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． （2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以，则， 解得． 【变式2】规定：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断，与是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】有理数的乘方运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，解答本题的关键理解新定义，代入数据，求出相应式子的值． （1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于的一元一次方程，然后解方程即可求得的值； （3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， 理由：， ， ． 【变式3】）规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①__，__； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)①3，5；②2； (2)见解析． 【知识点】同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则． （1）根据题目所给您新定义进行解答即可； （2）根据题意可得，，，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，5； ②根据题意可得： ， ∴， 解得：， 故答案为：2． （2）解：∵，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 题型06 与同底数幂运算有关的规律探究问题 【典例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 解：设①， 则②， 由，得． 请仿照小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键．模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】解：设①， 则②， 由②－①， 得 原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设①， 则②， ，得． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)______； (2)______； (3)求的和（请写出计算过程）； (4)求的和（其中且）（请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题中所给方法； （1）根据题中所给方法可设，则有，然后问题可求解； （2）设，则有，然后问题可求解； （3），则有，然后问题可求解； （4）设，则有，然后可得，则可设，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设①， ∴②， 得； 故答案为． （2）解：设①， ∴②， ，得， ； 故答案为． （3）解：设①， ∴②， ，得， ． （4）解：设①， ②， ，得． 设③， ④， ，得， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）下列各项中两个幂是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂，同底数幂要求两个幂的底数完全相同，逐项检查底数是否一致即可． 【详解】A、底数分别为和，底数不同，不符合题意； B、底数分别为和，底数不同，不符合题意； C、底数分别为和，，底数不同，不符合题意； D、底数均为，底数相同，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）若，，则的值为（   ） A．2 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆用，利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算与乘方的符号规律，掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加；负数的偶次幂为正数是解题的关键． 将方程化为同底数幂形式，解出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∵ 2026 是偶数， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，运用同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键，把原式化为，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东佛山·月考）若的值为 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的运算，若，再结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2 ． 10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 14．（25-26八年级上·河南周口·月考）规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 【答案】(1)243 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶∵， ∴ ∴， 解得． 15．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若（且，m，n是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程， （1）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1），， ，， ∴，，． （2），， ，, ，，，． 16．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的文字，按要求解答问题． 求的值． 解：令，① 将等式两边同时乘5，得．② ②-①，得， ． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等式的性质，有理数的混合运算，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，进一步解决问题． （1）根据所给阅读材料，依照所给方法，在所令的等式两边都乘即可解决问题； （2）根据所给阅读材料，依照所给方法，先提出，然后在所令的等式两边都乘即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）令，① 将等式两边同时乘2，得．② ②-①，得． （2）解：（2）． 令，① 令 ，则． 两式相减得： 原式． 18．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算：，． （2）将除方转化为乘法，推导得． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解：． ． （2）解：． （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1同底数幂的乘法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01同底数幂的乘法性质 知识清单 知识点02同底数幂的乘法的逆用公式 题型01同底数幂相乘 同底数幂的乘法 题型02不同底数转化为同底数幂的运算 题型03同底数幂乘法的逆用 题型精讲 题型04已知代数式的值，求式子的值 题型05新定义有关同底数幂的运算 题型06与同底数幂运算有关的规律探究问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解同底数幂乘法的运算性质，能推导公式am×a”=am"。 教学目标 2熟练运用该性质进行同底数幂的乘法计算，并能解决简单实际问题。 3.培养从特殊到一般的归纳能力，体会数学运算的逻辑性与简洁性。 1.重点 (1)掌握同底数幂乘法的运算规则，并能准确进行符号、系数的处理。 (2)熟练运用公式解决计算问题，确保底数不变、指数相加的正确性。 教学重难点 2.难点 (1)理解公式的推导过程，区分同底数幂与异底数幂的运算差异。 (2)在复杂运算中灵活应用法则，避免指数相加与底数不变的混淆。 知识清单 知识点O1同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：a·a”=a+“(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 1/8 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 要点诠释：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式。 (2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a”·a”,a=a+mP(m,n,P都是正整 数) 【即学即练】1.(25-26七年级下·全国·课后作业)计算： (1)10×104: oG. (3)(-2)2×(-2)5； (4b2.b.b 2.(2025七年级上·全国专题练习)计算： (1)x3x3+xx3.x4; (2)x3.x2+x2.x8.x6-xm+6.x4-m 知识点02同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相 同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即a+”=a”·a”(m,n都是正整数). 【即学即练】3.(25-26八年级上·吉林长春·月考)已知2=6,2”=3，求2+)的值. 4.(25-26八年级上·全国课后作业)己知a"=2,a”=3,求下列各式的值. (1)a; (2)a3+": (3)am+n+3 题型精讲 题型01同底数幂相乘 【典例1】(25-26七年级下·全国课后作业)把下列各式表示成幂的形式： (1)2×2: (2)a2a4: (3)xm·xm1(m是正整数)； (4)aa2.a3 【变式1】(25-26七年级下·全国课后作业)计算： 2/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)xx2.x3+x2.x4: (2)x2.x3-xx2x4 【变式2】(2025七年级上·全国专题练习)计算： ()-b°b(-b)(-b): (2(x-y)y-x(y-x」 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)计算： ()x.x.x: (2)(x-y)2.(0y-x): (3)(-x)2.x3+2x3.(-x)2-xx4. (4)x·xm-+x2xm-2-3x3.xm-3 题型02不同底数转化为同底数幂的运算 【典例2】(2024八年级上·全国专题练习)计算-a2(-a)°=一. 【变式1】计算. (1)(x+y(x+y): 2(a-b)2(b-a)°. 【变式2】计算： (1)a+3)2a+3)3a+3)5: 2(x-2y)2(2y-x°： 3x-y3(y-x. 题型03同底数幂乘法的逆用 【典例3】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： ()已知x3=3,x=9,求x°的值. (2)已知2=64，求2+3的值. 【变式1】(1)已知2=3，求2+3的值： (2)若4201=64，求a的值. 【变式2】(24-25七年级下·全国课后作业)已知a"=2,a”=3,求下列各式的值： (1)a+: 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)a2: (3)am+n1】 (④)am*3.a-3 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)(1)已知x"=5,x”=7,求x2m+"的值. (2)若a=5,a+=30,求a+a的值. (3)若x=3,x=4,x=5,求2+b+的值. 题型04已知代数式的值，求式子的值 【典例3】(24-25八年级上·青海西宁期中)已知x+y-3=0,则3.3的值为一 【变式1】(24-25八年级上：四川眉山期中)已知4”×8”=16，则2m+3n+6的值为_. 【变式2】(24-25八年级上福建福州期中)已知3°×27°=81，则3-2a-6b的值为一· 题型05新定义有关同底数幂的运算 【典例5】规定新运算“*”：a*b=2×2,如：1*3=2×2=16. (1)求（-2)*5的值： (2)若2*(2x+)=64，,求x的值. 【变式1】规定m*n=3”×3m. (1)求2*3 (2若2*(x+1)=81,求x的值， 【变式2】规定：x·y=3*3”. (1)求25的值： (2)若1(4x-3)=81,求x的值： (3)判断，x0y+)与x+)z是否相等，并说明理由. 【变式3】)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)；如果a°=b,那么(a,b)=c,例如：因为23=8， 所以(2,8)=3」 (1)根据上述规定，填空： ①(5,125)=_，(-2，-32)=- 2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试说明下列等式成立的理由：a+b=c. 4/8 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型06与同底数幂运算有关的规律探究问题 【典例6】(25-26八年级上·全国·课后作业)阅读下列材料：小明为了计算1+2+2+…+2°+2°的值，采 用以下方法： 解：设S=1+2+22+…+2°+210①， 则2S=2+22+…+20+2"②， 由②-①，得2S-S=S=2"-1. 请仿照小明的方法计算：1+5+52+…+52024+5202s 【变式1】(25-26八年级上·全国·课后作业)阅读下列材料：小明为了计算1+2+2+…+22023+224的值， 采用以下方法： 设S=1+2+22+…+22023+22024①， 则2S=2+2+…+22024+22025②， ②-①，得2S-S=S=22025-1. 请仿照小明的方法解决以下问题： (①)2+22++220= 111 222+ (2)1+5+ +2而： 3)求(-2)+(-22++(-2”的和（请写出计算过程）： (4)求a+2a2+3a3+…+na"的和（其中a≠0且a≠1）（请写出计算过程）. 【变式2】(25-26七年级上·全国·课后作业)阅读材料： 求1+2+2+23+24+…+2+210的值 解：令S=1+2+22+23+24+…+29+2100① 将等式①两边同时乘2，得 2S=2+22+23+24+25+…+2100+2101② ②-①，得2S-S=21-1,即S=2101-1, 所以1+2+22+23+24+…+29+210=2101-1 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：1+3+32+33+34+.+32024+32025 (2)已知数列：-1,9，-92,93，-94，… ①它的第100个数是一： ②求该数列中前100个数的和. 5/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃期末)计算a2·a的结果是() A.a20 B.a5 C.as D.a 2.(2025八年级上·河北邯郸·专题练习)下列各项中两个幂是同底数幂的是() A.x2与a2 B.(-a°与a2 C.(x-y与(y-x D.x2与x3 3.(25-26八年级上天津期中)下列四个算式，①2”3”=6m+:②-a3-a)=a:③62b-b2=;④ p2+p2+p2=3p2.正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26八年级上·广东汕尾·月考)若x"=2,x=4,则xm+"的值为() A.2 B.12 C.8 D.6 5.(24-25七年级下·全国·周测)已知8.2=128，则(x-5)226的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题 6.(25-26八年级上全国假期作业)计算：(-a2)=一 7.(25-26七年级上上海月考)计算：(b-d(a-b=一.（结果用幂的形式表示） 8.(25-26八年级上·全国课后作业)已知a=6,a=36,则a+a'=· 9.(24-25七年级下·广东佛山月考)若a+2=-3b,2°×8×2“的值为一 10.(24-25八年级上·四川眉山期中)若am=b,则定义新运算：(a,b)=m,根据定义新运算计算： (6,4)+(6,9)=-. 三、解答题 11.(25-26八年级上·全国课后作业)计算： (1)-m2.m3.m': (2)aa2m.a2-m; 3(y-x4x-y3. 12.(25-26八年级上全国课后作业)计算： )-yy2-y: 6/8 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2p-q°g-p2: (3)s-t(s-tm+"(t-s(m、n是正整数)； (4)x”x1+x2m.x(n是正整数). 13.(24-25七年级下·全国课后作业)计算： (1)(a+b)2·(b+a)3; (2)(a-b)2.(b-a)3; 3)-1(-t)2-t: (4a2.a+(-a2·aa”(m为正整数). 14.(25-26八年级上河南周口·月考)规定：a*b=3×3 (1)求3*2的值： (2)若2*(x-1刂=81，求x的值. 15.(25-26八年级上河南南阳·月考)若a"=a”(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n.你能利用 上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果2×8”×16=22，求x的值： (2)已知x满足223-221=48，求x的值. a 16.(22-23八年级上广东东莞·期中)我们给出以下两个定义：①三角形 =abxac i b n ②3×3的方格图 =z×(x"×y)）· m 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： 2 4 (2)填空： 3 5 7/8 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 81 (3)若 =3,求 2 =1的值. 2y 9 17.(25-26八年级上·全国课后作业)阅读下面的文字，按要求解答问题。 求5+52+53+…+52025的值. 解：令S=5+52+53+…+52025,① 将等式两边同时乘5，得5S=52+53+54+…+52026.② ②-①，得4S=52026-5, 5=5206-5 4 (1)求2+22+23+…+22025的值. (2)求4+12+36+…+4×30的值. 18.(25-26七年级上北京期中)【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3)÷(-3)÷-3)÷(-3)等. 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2，读作“2的下3次方”，(-3)÷(-3到÷(-3)÷(-3)记作(-3)4， 读作“-3的下4次方”.一般地，把+a+a÷ga≠0记作a,读作“。的下n次方” ()直接写出计算结果：(-2)4=—， (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ (1 例如： 2=2÷2÷2÷2=2x1x1×1_ 222(2 幕的形式 类比上面的算式，将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：a,=一·（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 例如：325×32=325+2=327」 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算625-5×(-26的值. 6 8/8