精品解析：北京市海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学A卷

北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学A卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，23道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：由，可设， 则． 所以． 故选：C 2. 已知线段，c是线段a，b比例中项，则线段c的长为（ ） A. 4或 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据线段比例中项的概念得出，再根据，求出c的值，注意把负值舍去． 【详解】解：∵线段c是线段a和b的比例中项，， ∴， 解得：， 又∵线段是正数， ∴． 故选：B． 3. 如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的角平分线的长度比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应高的比为， ∴相似比为， ∴对应角平分线的比也为. 故选：A． 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 5. 如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 6. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 【答案】C 【解析】 7. 将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1，可知：， ∴，， ∴； 如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等， ∴新图形与原图形相似； 如图3，∵，， 则，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似． 综上：新图形与原图形相似的有2个； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 8. 如下图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，熟练掌握正切函数定义，是解题的关键．根据在中，，，，求出即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故答案为：． 9 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 10. 如果是锐角，，那么的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 11. 在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为________ 米． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为计算即可得出答案，注意单位的换算． 【详解】解：在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为， 故答案为：． 12. 以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，尺规作角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，先证明，设，则，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据作图可知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， 即的长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共58+10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求锐角：； （2）计算：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）根据特殊三角函数值即可求解； （）根据特殊三角函数值即可求解； 本题考查了特殊角三角函数值的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：（）， ， ∵是锐角， ∴； （）原式， ． 16. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 17. 已知三个顶点的坐标分别. （1）画出； (2)以B为位似中心,将放大到原来的2倍,在右图的网格图中画出放大后的图形△； (3)写出点A的对应点的坐标：___. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）(−3,1) 【解析】 【分析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可； （2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案． （3）利用（2）中图象，直接得出答案． 【详解】(1)根据A(0,2)、B(3,3)、C(2,1). 在坐标系中找出连接即可； (2)把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：(−3,1)、(3,3)、(1,−1). (3)利用(2)中图象，直接得出答案. 故答案为(−3,1) 【点睛】此题考查坐标与图形性质，位似变换，解题关键在于掌握作图法则. 18. 如图，四边形四边形． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 19. 已知平行四边形中，E是线段上一点，，连接交于点F． （1）证明：，并指出其相似比． （2）如果的面积为1，求的面积和的面积． 【答案】（1）见详解， （2）的面积是，的面积是 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质得，证明，因为，得，即可作答． （2）结合（1）的，运用同高，面积的比等于底边的比，故，即，同理得，故，得四边形的面积，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 即 即相似比为． 【小问2详解】 解：由（1）得， 则（同高，面积的比等于底边的比）， ∵的面积为1， ∴ 则， 连接， ∵， ∴（同高，面积的比等于底边的比）， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 20. 在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角的正切进行了一些研究． （1）尝试：由于_____，_____，发现结论：______；（填“=”或“≠”） （2）实践探究：如下图，在中，，，，求的值； 以下是小明的想法：我应该构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得，连接BD，所以，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解． （3）利用上面的方法，计算． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题围绕互为倍数的锐角正切值展开，需运用特殊角三角函数值、勾股定理及几何构造法解决三小问： （1）通过特殊角和的正切值计算，比较与的关系； （2）构造含直角三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求； （3）将转化为的半角，借鉴（2）的构造方法计算． 【小问1详解】 ，． 令，则． ， ． ， 故． 【小问2详解】 在中，，，， 由勾股定理得：． 延长至点，使， 则． ， 为等腰三角形，． 是的外角， 故， 即． 在中， ． ． 【小问3详解】 ，参考（2）的构造方法： 在中，，， 设，则， 由勾股定理得． 延长至点，使， 则． 同理，，故为等腰三角形，， 且， 即． 在中，． ． 【点睛】本题通过特殊角验证、几何构造（等腰三角形）和勾股定理，解决了互为倍数的锐角正切值问题．第（1）问通过特殊角对比否定等式；第（2）问构造半角对应的等腰三角形，转化为直角三角形正切计算；第（3）问将转化为的半角，复用（2）的方法求解．核心思想是“化归”，即将未知角的正切转化为已知直角三角形的边长比． 21. 我校实践小组为了测量某大树的高度，如图：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，树的顶点正好在同一直线上，测得，将标杆沿方向平移米到点处．这时地面上的点，标杆的顶端点，树顶正好又在同一直线上，测得，点，，，与树底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】设，则，根据，，可得，进而可知，在中，根据，可得，即大树的高度． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 得， 经检验，是分式方程的解， 此大树的高度是米． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，掌握基本概念是解题的关键． 22. 本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． （1）试证明． （2）证明，且． （3）证明，且相似比为k． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据两边对应成比例及夹角相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，，即可证明； （3）同（1）证明，，得到，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴，， ∴； 小问3详解】 证明：∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 附加题（共1小题，每小题10分，共10分） 23. （1）在平面直角坐标系中，设，，求的正弦值． （2）仿照三角形相似判定定理，证明如果两个凸四边形有四边对应成比例，且有一个内角对应相等，则这两个四边形是相似的四边形．如果去掉“凸”是否正确？为什么？ 【答案】（）；（）见解析． 【解析】 【分析】（）过作交于点，由平面直角坐标系可得，，，根据等面积法求出，最后通过即可求解； （）设两个凸四边形和，有，且，连接和，先证明，所以，，，再证明，所以，，，故有，，因此，所有对应角相等，对应边成比例，从而可得四边形四边形，如果去掉“凸”，则不正确，因为对于凹四边形，连接对角线后，三角形可能不全在四边形内部，无法保证相似关系成立，例如凹四边形中对角线在外，相似判定不适用． 【详解】解：（）如图，过作交于点， 由平面直角坐标系可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为； （）如图，设两个凸四边形和，有，且， 如图，连接和， 在和中，，， ∴， ∴，，， 在和中，， ∵， ∴ ∴， ∴，，， ∴，， 因此，所有对应角相等，对应边成比例， ∴四边形四边形， 如果去掉“凸”，则不正确， 因为对于凹四边形，连接对角线后，三角形可能不全在四边形内部，无法保证相似关系成立，例如凹四边形中对角线在外，相似判定不适用． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，等面积法，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学A卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，23道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，c是线段a，b比例中项，则线段c的长为（ ） A. 4或 B. 4 C. 2 D. 8 3. 如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的角平分线的长度比为（ ） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（ ） A 1 B. 3 C. 9 D. 27 6. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 7. 将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 8. 如下图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______． 9. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 10. 如果是锐角，，那么的大小为______． 11. 在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为________ 米． 12 以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 13. 如图，，，则的长为_____． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共58+10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 （1）求锐角：； （2）计算：． 16. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 17. 已知三个顶点的坐标分别. （1）画出； (2)以B为位似中心,将放大到原来的2倍,在右图的网格图中画出放大后的图形△； (3)写出点A的对应点的坐标：___. 18. 如图，四边形四边形． （1）求的度数； （2）求的值． 19. 已知平行四边形中，E是线段上一点，，连接交于点F． （1）证明：，并指出其相似比． （2）如果的面积为1，求的面积和的面积． 20. 在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角的正切进行了一些研究． （1）尝试：由于_____，_____，发现结论：______；（填“=”或“≠”） （2）实践探究：如下图，在中，，，，求的值； 以下是小明的想法：我应该构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得，连接BD，所以，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解． （3）利用上面的方法，计算． 21. 我校实践小组为了测量某大树的高度，如图：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，树的顶点正好在同一直线上，测得，将标杆沿方向平移米到点处．这时地面上的点，标杆的顶端点，树顶正好又在同一直线上，测得，点，，，与树底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 22. 本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． （1）试证明． （2）证明，且． （3）证明，且相似比为k． 附加题（共1小题，每小题10分，共10分） 23. （1）在平面直角坐标系中，设，，求的正弦值． （2）仿照三角形相似判定定理，证明如果两个凸四边形有四边对应成比例，且有一个内角对应相等，则这两个四边形是相似四边形．如果去掉“凸”是否正确？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $