第05讲 直角三角形及勾股定理与折叠旋转综合问题（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 第05讲直角三角形及勾股定理与折叠旋转综合问题 目 录 目标导图口口构建知识脉络 考点深解和口速通命题要点 考点1直角三角形的性质 考点2直角三角的判定 命题突破如口破解常考题型 题型1直角三角形的性质求解 题型2直角三角形的性质求解多解题 题型3勾股定理的应用 题型4直角三角形的判定 题型5直角三角形的性质和判定多结论问题 题型6直角三角形的性质和判定综合问题 难点攻坚红口攻克易错难点 难点1直角三角形中的动点问题 难点2直角三角形中的旋转问题 难点3利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 难点4利用勾股定理解决特殊四边形中的折叠问题 练测提能口口效果及时检测 测能力/提能力 1/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 构建知识脉络 1直角三角形的两个锐角之和等于90 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形的性质 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边 长为c,那么ā2+b2=c2 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角 知识 直角边所对的角等于30 三角 梳理 1.有一个角等于90的三角形是直角三角形 2.两锐角互余的三角形是直角三角形 形及 直角三角形的判定 3如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角 勾股 形是直角三角形 定 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2= 与折 c2,那么这个三角形是直角三角形 叠旋 1.识别标志：见30°角、中线等于斜边一半、垂直等条件，立刻联想直角三角 形性质 转综 解题策略 2.等积转化：遇斜边高，灵活运用面积法（两直角边积=斜边×高）建方程 合问 题 学法心 3勾股建模：将边长关系化为勾股方程，结合方程思想求解几何或应用问题 指 1.熟记特殊比：掌握含30°、45的直角s三角形左边比例，提速计算 复习方向 2.掌握逆定理：会用勾股逆定理判定直角，这是证明的关键工具 3融合实际情境：加强解应用题训练，如坡度、距离问题 深 →速通命题要点 ◇考点1 直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角之和等于90°； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半： 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2; 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°· 易混易错 1.性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半（易混淆为直角边中线） 2 勾股定理仅适用于直角三角形，易在非直角情形误用 2/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.30°角所对直角边是斜边一半，易误记为“对边是邻边一半” 4. 面积公式可两直角边相乘除二，易与普通三角形底乘高混淆 ◇考点2直角三角形的判定 1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形： 2.两锐角互余的三角形是直角三角形： 3.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 ● 易混易错 1.判定：勾股定理逆定理（边满足a2+b2=c2)可判定，易忽略“最长边”为c 2.有一角为90°直接判定，但已知两角互余（和90°）也可间接推出 3.斜边中线等于斜边一半可判定，易与性质混淆，误作单向性质使用 4. “L”全等判定仅用于直角三角形，易误用于一般三角形全等 命 +破解常考题型 ◇题型 直角三角形的性质求解 典例I(2026江西模拟预测)如图，直线a∥b,直线c交直线a于点A,交直线b于点B,CD上直线c, 若∠1=40°，则∠2的度数为」 /B D b 典例2(2025福建模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=67.5°，AB=8,CD⊥AB于点 D,E是斜边AB的中点，则线段DE的长为一· B D E 解题|技|巧 技巧：紧扣“斜边中线等于斜边一半”及“30°对边是斜边一半”。求边用勾股定理，遇中点联想 斜边中线，见30°60°用其边角关系。 3/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1(2025湖南长沙模拟预测)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，CF是AB边上的中线，D,E分 别是AC,BC的中点，若DE=6,则CF的长为 F 变式2(25-26九年级上河南许昌·期中)如图，在RtaABC中，LACB=90°，∠A=30°，BC=2,将 △ABC绕点C旋转得到△DEC，当点D恰好落在射线AB上时，AD的长为一 B ◇题型2直角三角形的性质求解多解题 典例1(2024黑龙江哈尔滨一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8,若点Q在直线AB上， ∠BCQ=30°，则BQ的长为 典例2(2025江苏泰州·三模)已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6√2，D是直线 AC上一点，将D点绕B点逆时针旋转60°得其对应点E,当∠AEB=90°时，则AD长为 A B 解|题|技巧 技巧：多解常因直角顶点或斜边位置不明确。需分类讨论：1.哪个角是直角；2已知边是直角边还是 斜边。每种情况画图，用勾股定理解方程验证。 变式1(2024新疆二模)如图，在ABC中，AB=AC=2V5+2,∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点， 将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形 时，线段AP的长为 4/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 变式子2025上海模拟预测)如图，在Ra4CB中，∠4CB=90,4C=2an8号，点D、E分别在边 AC、CB上，连接DE,∠CDE=30°，将△CDE绕边DE的中点O旋转得到三角形aFGH,点F、G、H分 别和点C、D、E对应.若FG和△ABC一直角边平行，且△FGH的一个顶点在边AB上，则CE的长 为」 C ◇题型3勾股定理的应用 典例1(2025山东滨州·模拟预测)一根24m高的旗杆，下午三时其影长7m，此时旗杆的顶端与影子的顶 端之间的距离是 m. 典例2(2025江苏镇江中考真题)小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一 个情境：如图，一根竹子原来高1丈(1丈=10尺)，折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚0离 竹根A处3尺远.请你解答：折断处B离地面多高？ 墙 地面 解|题|技|巧 技巧：己知两边求第三边直接代公式。解题关键：1确定斜边；2.遇复杂图形作高构造直角三角形； 3折叠问题用等边转化。 变式1如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60° 的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. 5/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 北 EA B →东 A (I)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (②)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 变式2(2025广东·三模)如1图，圆柱形容器的高为8cm，底面周长为12cm,有一只蚂蚁想从B处沿圆柱 表面爬到对角C处搜集食物 1图 2图 (1)实践与操作：如2图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点C的位置；（保留作图痕迹，不要 求写作法) (②)应用与计算：在(1)的条件下，连接BC,求出蚂蚁爬行的最短矩离BC的长。 ◇题型 4直角三角形的判定 典例1(2025云南文山模拟预测)下列各组数中，不能组成直角三角形的是() A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.7,9,13 典例2ABC的三边长分别为a,b、c,下列条件：①LA=LB-∠C;②∠A:LB:LC=3:4:5;③ a2=(b+c(b-c;④a:b:c=5:12:13,其中能判断ABC是直角三角形的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题|技|巧 技巧：判定直角常用：1.勾股定理逆定理；2.一边中线等于该边一半；3.两角互余。先计算或证明条 件符合其一，再下结论。 变式1五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是() B 24 15 15 6/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24 19 25 C D 20 25 20 24 变式2在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件不能够判定ABC为直角三角形 的是() A.∠A=∠B+∠C B.a'=c2-b2 C.a=1,b=2,c=5 D.a:b:c=V3:2:V5 ◇题型5直角三角形的性质和判定多结论问题 典例1(2025北京·模拟预测)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BC=6,以点A为圆心，以 AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于二BD的长为半径作弧，两弧 交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论：①△ABD是等边三角形；②DE垂直平分线段 AC;③BE=DE=2;④AB=3,其中错误的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 典例2(2025安徽合肥三模)如图，ABC中，∠BAC=90°，点D是BC边上的中点，连接 MD,HB⊥AD交CB的延长线于点E.G是4C上-点，连接EG交D于点R,若am∠C=则下列说法 正确的个数为() ①△ABE△C4E:②CE=2AE;③若1C=1, FG,则 EF 5 六=万则=5；④若 =2 FG C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题技巧 7/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技巧：多结论问题需逐一分析。对每个结论，严格运用性质与判定定理推导。常见陷阱：混淆逆命 题，或忽略前提（如“斜边中线”必在直角三角形中）。 变式1(24-25八年级上·江苏无锡期末)如图，在直角ABC中，AB=BC,点D是边AC上一动点，以 BD为直角边，B为直角顶点作等腰直角△DBE,DE交BC于点F,连接CE,点B作BQ⊥DE于点P,交 CD于点Q.下面结论中正确的个数是() D B ①aABD≌CBE:②LCDE=∠ABD:®AD'+CQ=D0';④当4D:DC=1:2时，Sc+SE-SE 5 ;⑤当CE=CF时，AD:CD=√2-1. A.2 B.3 C.4 D.5 变式2(2025山东济南·二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,动点D从点A开始沿AB边 以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运 动时，另一点同时停止运动，连接DE,F为DE中点.设时间为(s,DE2为y,y关于t的函数图象如 图2所示，有下列结论： 2.5 D 图1 图2 ①当t=1时，DE=2.5: ②AB=2; ③连接BF,BF有最小值为2， ④若点M是边AC的中点，则MF的最小值为√2.其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 ◇题型6直角三角形的性质和判定综合问题 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 典例1(2025四川成都.一模)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，点D为斜边AB的中点，DE⊥AC于 点E,连接CD,将△ACD沿CD翻折至△FCD处，且点F恰好落在直线DE上. D G (I)求∠A的度数： (2)求证：CF垂直平分BD, 典例2(2024四川宜宾模拟预测)如图，ABC和△CDE都是直角三角形，∠ACB=LCED=90°， AC=CE,AB⊥CD于点F. E (I)求证：DE=BC; (2)若点B是CE的中点，DE=10,求AE的长. 解题|技巧 技巧：综合题常将性质（如斜边中线、30°角）作为已知条件，反向判定直角三角形。关键：紧扣 定义（一个角为90°），或利用勾股逆定理验证边长关系。 变式1(2025贵州遵义一模)ABC中，∠C=90°，AC=BC,点E是AC边上一点，点D是射线AB上 一点，过点D作DF⊥DE交直线BC于F. D D (图①) (图②) (备用图1) (备用图2) (I)如图①，若AE=1,点D是AB的中点，点E是AC的中点，连接EF,则EF=; (②)如图②，若点D是AB的中点，点F在BC边上，证明：DE=DF; (3)若AD=4BD,试探究DE,DF的数量关系. 变式2(2025安徽马鞍山模拟预测)己知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别在AB,AC上，点 9/23 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F在射线BC上，DF=EF. B D D C(F A 图1 图2 (1I)如图1，点F与点C重合，若∠A=30°，DF⊥AB.求证：E是AF的中点； (2)如图2，点F在BC的延长线上，过点E作EP‖BC交AB于点P. ①补全图形： ②写出当∠DFE与∠A的数量关系满足什么条件时，AP=2BD,并证明. 难 点攻 坚 ·攻克易错难点 ◇难点1直角三角形中的动点问题 典例1(2024江苏宿迁三模)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6,点D在BC边上由 点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD,交射线AB于点E. B D 图1 备用图 (1)当LDAC=30°时，线段AE=-; (②)若BDE是等腰三角形，求线段AE的长； 6)若tanLEAD=),求线段AE的长. 2 典例2(2024广东潮州一模)如图，在等边ABC中，AB=6cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿 AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，点P作PE⊥AC于E, 连接PO交AC边于D,以CO、CE为边作平行四边形COFE,当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设 运动时间为t(S), A E D 10/23 第四章 三角形 第05讲 直角三角形及勾股定理与折叠旋转综合问题 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1直角三角形的性质 考点2直角三角的判定 命题突破👉破解常考题型 题型1直角三角形的性质求解 题型2直角三角形的性质求解多解题 题型3勾股定理的应用 题型4直角三角形的判定 题型5直角三角形的性质和判定多结论问题 题型6直角三角形的性质和判定综合问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1直角三角形中的动点问题 难点2直角三角形中的旋转问题 难点3利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 难点4利用勾股定理解决特殊四边形中的折叠问题 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角之和等于90°； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a²+b²=c²; 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 1. 性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半（易混淆为直角边中线） 2. 勾股定理仅适用于直角三角形，易在非直角情形误用 3. 30°角所对直角边是斜边一半，易误记为“对边是邻边一半” 4. 面积公式可两直角边相乘除二，易与普通三角形底乘高混淆 ◇考点 2 直角三角形的判定 1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形； 2.两锐角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 1. 判定：勾股定理逆定理（边满足a²+b²=c²）可判定，易忽略“最长边”为c 2. 有一角为90°直接判定，但已知两角互余（和90°）也可间接推出 3. 斜边中线等于斜边一半可判定，易与性质混淆，误作单向性质使用 4. “HL”全等判定仅用于直角三角形，易误用于一般三角形全等 ◇题型 1 直角三角形的性质求解 典例1（2026·江西·模拟预测）如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据直角三角形锐角互余得到，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线c，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 典例2（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：紧扣“斜边中线等于斜边一半”及“30°对边是斜边一半”。求边用勾股定理，遇中点联想斜边中线，见30°/60°用其边角关系。 变式1（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 变式2（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边为斜边的一半）、图形旋转的性质（对应边相等）及勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度． 先在中，利用“角所对直角边为斜边的一半”得，再由勾股定理得；作，在中，结合（直角三角形两锐角互余），得、；由旋转性质知，在中用勾股定理求出，进而得；最后由，算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴，； 过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． ◇题型 2 直角三角形的性质求解多解题 典例1（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，若点Q在直线上，，则的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴，， ①点Q在线段上， ∵，， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 典例2（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为 ． 【答案】或 【分析】通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 解｜题｜技｜巧 技巧：多解常因直角顶点或斜边位置不明确。需分类讨论：1.哪个角是直角；2.已知边是直角边还是斜边。每种情况画图，用勾股定理解方程验证。 变式1（2024·新疆·二模）如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】作于F，求出，，勾股定理求出，得到，然后分两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：作于F， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，当时， 由折叠可知，，，，即， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴；        如图所示，当时， 同理可求，，， 则， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠性质、等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题关键是作出底边上的高以及分类讨论思想的运用． 变式2（2025·上海·模拟预测）如图，在中，．点分别在边、上，连接．将绕边的中点旋转得到三角形，点分别和点对应．若和一直角边平行，且的一个顶点在边上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图形的旋转，利用图形旋转的性质，结合直线平行的性质，三角函数等即可求解．先求出的长度．①当在上时，设和交于N，和交于P．设，表示出其他边长，根据几何关系表示出，利用得到，代入即可求出k，即的长；②当，F在上时，E和G重合，D和H重合，四边形是矩形，根据得即可求解． 【详解】在中，， ∴， ∴． ①当在上时，设和交于N，和交于P，如图： ∵， ∴， ∵绕边的中点旋转了， ∴， 由旋转的性质，若设， 则，，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ∴， ∴，， ， ，即，解得， ∴； ②当，F在上时，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 若设 则， 由，得，即， 解得； 故答案为：或． ◇题型 3 勾股定理的应用 典例1（2025·山东滨州·模拟预测）一根高的旗杆，下午三时其影长，此时旗杆的顶端与影子的顶端之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵旗杆和地上的影子互相垂直， ∴， ∴， 即此时旗杆的顶端与影子的末端之间的距离是． 故答案为：25． 典例2（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 解｜题｜技｜巧 技巧：已知两边求第三边直接代公式。解题关键：1.确定斜边；2.遇复杂图形作高构造直角三角形；3.折叠问题用等边转化。 变式1如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】(1)A城要受台风影响，理由见解析 (2)6小时 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离： （1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解； （2）取上点D，G，使千米，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过A点向作垂线，垂足为C， 在中，， ∴， 因为， 所以A城要受台风影响； （2）解：取上点D，G，使千米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，千米，千米， 由勾股定理得， 千米， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：小时． 变式2（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】(1)见解析 (2)最短矩离的长为 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可； （2）结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． ◇题型 4 直角三角形的判定 典例1（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 典例2的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 解｜题｜技｜巧 技巧：判定直角常用：1.勾股定理逆定理；2.一边中线等于该边一半；3.两角互余。先计算或证明条件符合其一，再下结论。 变式1五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 变式2在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形；     D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． ◇题型 5 直角三角形的性质和判定多结论问题 典例1（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 典例2（2025·安徽合肥·三模）如图，中，，点D是边上的中点，连接交的延长线于点E．G是上一点，连接交于点F，若，则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可证；故①正确；由相似三角形的性质可得，可得；故②正确；由勾股定理可求的长，可求的长，可求，通过证明，即可求，故③正确；若，同理可求，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵，点是边上的中点， ， ， ， ， ， 又， ∴，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 设， ， ， ， ， ， 如图，作，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 若， ∵， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 解｜题｜技｜巧 技巧：多结论问题需逐一分析。对每个结论，严格运用性质与判定定理推导。常见陷阱：混淆逆命题，或忽略前提（如“斜边中线”必在直角三角形中）。 变式1（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 变式2（2025·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从图2可知，当时，，，即可判断①；不妨设，由时，，，根据，可得到此时的长度，从而算得，判断②；由，可知最小值，最小，根据，可得到，利用二次函数，可求得的最值，判断③；以点为原点，建立平面直角坐标系，表示出和的坐标，利用两点距离公式，表示出，利用二次函数，可求得的最值，判断④，最后得到答案． 【详解】解：从图2可知，当时，， 为 当时，，故①错误； 动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，设时间为， 当时，， 在中，， ，当时，， ，故②正确； 中，是斜边上的中点， 时，取最小值，此时最小值为2 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， 和分别为和的中点 ， 时，取最小值，此时最小值为，故④正确； 正确的有②③④，三个 故选：C． ◇题型 6 直角三角形的性质和判定综合问题 典例1（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点为斜边的中点，于点，连接，将沿翻折至处，且点恰好落在直线上． (1)求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由直角三角形的性质和折叠的性质可得，再根据即可求解； （）连接，证明四边形是菱形即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ，点为斜边的中点， ， ∴， ， ， 又翻折得到， ，， ∴， ， ∴， ； （2）证明：如图，连接， 由（）得，，， ，， 由折叠得，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 垂直平分． 典例2（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，和都是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由证明，再由全等三角形的性质即可求证； （2）由全等三角形的性质得到，，再由点是的中点解得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 解｜题｜技｜巧 技巧：综合题常将性质（如斜边中线、30°角）作为已知条件，反向判定直角三角形。关键：紧扣定义（一个角为90°），或利用勾股逆定理验证边长关系。 变式1（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 变式2（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知在中，，点，分别在，上，点在射线上，． (1)如图，点与点重合，若，．求证：是的中点； (2)如图，点在的延长线上，过点作交于点． 补全图形； 写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；当时，，理由见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 利用含度角的直角三角形的性质即可证明； 根据题意补全图形即可； 在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，得到，再证明，推出，，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明；然后再证明这是唯一充分条件即可． 【详解】（1）解：证明：∵点与点重合，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：补全图形如图； 当时，； 证明：在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，即， ∵，， ∴，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴． 再证明当时，，即证明这是唯一充分条件： 过点作，即，过点作，两线相交于点，连接，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点是的中点， ∴，, ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴ ， 即． ◇难点 1 直角三角形中的动点问题 典例1（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得舍去，， ． 典例2（2024·广东潮州·一模）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）证明，由此构建方程即可解决问题． （3）证明，得，得出，根据得二次函数关系式，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴时，是直角三角形． 故答案为：2； （2）解：是等边三角形，四边形为平行四边形 若点F在的平分线上，则平分 ， ， ， 由已知可得， 在中得出， ， ，， ， 解得， （3）解：过点P作平行于，交于点G，如图示， 是等边三角形， ∴， 是等边三角形 ， ， ， ∵， ∴, 又, ∴， ´ ∴， ∴抛物线开口向下， ∵ ∴当时，最大值． 变式1（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的中线，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点M，连接、，设点P运动的时间为x秒，四边形与重叠部分图形的面积为y个平方单位． (1)当点Q与点D重合时，求x的值； (2)当点Q在线段上时，______（用含x的代数式表示）； (3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质求出，即可求解； （2）用含x的式子表示出，再根据，可得； （3）分段计算，当时，点Q在上，先证四边形是平行四边形，推出，根据计算；当时，点Q在上，作于E，于F，根据计算． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 是斜边上的中线， ， 点Q以每秒2个单位长度的速度运动， 当点Q与点D重合时，； （2）解：当点Q在线段上时，如图： 由（1）知， ， 点Q以每秒2个单位长度的速度运动， ， ， ， 故答案为：； （3）解：当时，点Q在上，如图： ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 当时，点Q在上，如图，作于E，于F， ，， ， ； 由（2）知，， ，， ， ， 又，， ， ； ， 综上可知，． 变式2解答 (1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，可得，通过证明，可得的值； （2）先证明，再证明，可得的值，得到，即可求的度数； （3）分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ， 且， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），， ，， ，， ，   ， ，且， ， ， ， ． （3）若点在线段上，如图， 由上一问可知：，， ， ，，， ，， ，且点是的中点， ，且是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ； 若点在线段的延长线上，如图， 同理可得，， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． ◇难点 2 直角三角形中的旋转问题 典例1【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕着点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上． ①若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数； ②若旋转角为，则的度数为________（用含的式子表示）． 【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：． 【答案】（1）①旋转角为； ②；（2）见解析 【分析】（1）①根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；②利用旋转的性质，得到，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解； （2）如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证． 【详解】解：（1）①由旋转可知：， ∵，是的中点， ∴， ∴，     ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角为． ②由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转可得：， ∴在和中， ∴ ∴， ∵，，， ∴． 典例2（2025·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，结合已知即可证明结论； （3）分类讨论当点E落在内部时，当点E落在外部时，分别根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， 即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：当点E落在内部时，如答图3∶ 过点A作，垂足为F， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 当点E落在外部时，如答图4． ∵，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 变式1（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 【答案】(1)4 (2)是定值4，见解析 (3)①最大值为8；② 【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值； （2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值； （3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值； ②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：， ， 四边形为矩形， ； ， ； ，， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：是定值4； 如图，过D点分别作，垂足分别为G，H； 则， 四边形为矩形， ； ，， ， ， ， 即是等腰直角三角形， ， ； ； ， ， 即， ， ， ， 即 ，， ； 即为定值； （3）解：①， 即， ， ， 由（2）知，即， ， 的最大值为8； ②如图，连接， ，P为的中点， ， 表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段， 当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合； 设交于点O，则； 过C作于S， ， ， ， 由勾股定理得， ； 当点N与点C重合时，点P与点Q重合， 由（2）知，，则， ， 在中，由勾股定理得：； 当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时 由（2）知，，即， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故点P的运动路径为； 故答案为：． 变式2在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4． (1)操作发现 操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______． (2)变换探究 如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F. （Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由． （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由． (3)拓展应用 在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）不变，理由见详解；（Ⅱ）不变，理由见详解； (3)的面积为或． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可； （2）（Ⅰ）根据旋转的性质，证明，得到，（Ⅱ）由相似三角形的性质得出，设与交于点， 求得，即可； （3）分，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ）的比值不变； 由旋转的性质可的出，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的比值不变； （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； 由（Ⅰ）知， ∴， 设与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； （3）解：①当时，如图，过点作，则， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴． 综上：的面积为或． ◇难点 3 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 典例1（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 典例2（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，为边上的动点，将沿所在直线翻折，得到，点的对应点为． (1)如图，若，与边交于点． ①填空：点到边的距离为_________． ②求证：． ③若点与点的距离为，求的长． (2)若是边的中点，与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②见解析；③ (2)或 【分析】（1）①过点作于点，根据三线合一可得，进而根据正切的定义，即可求解； ②根据等边对等角以及折叠的性质即可得证； ③证明得出，，过点作于点，于点，由，得，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得，代入比例式即可求解． （2）分两种情况讨论，①当在的下方时，证明四边形是平行四边形，过点作于点，根据，设则，在中，，建立方程解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解；②当在的上方时，同理可得四边形是平行四边形，进而根据，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， ∵，， ∴ 又∵， ∴，即点到边的距离为 故答案为：． ②证明：∵， ∴, ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ③∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 过点作于点，于点 ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， 由，得 ∴ 解得： （2）解：①如图1，当在的下方时， ∵与重合部分的面积等于面积的， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ 由折叠，知， ∴ 过点作于点 设则， 在中， ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ②如图2，当在的上方时， 同理可得四边形是平行四边形 ∴，， 过点作于点 ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 变式1（2025·湖北襄阳·二模）在中，，点D是射线上一点，点E是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点F恰好落在直线上． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点F在的延长线上，且，求折痕的长； (3)如图3，若点D在的延长线上，点F在的延长线上，且，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了菱形的判定、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再根据平行线的判定与性质以及等腰三角形的判定可得，进而得到证明结论； （2）如图2：过E作于点G，于点H，易得四边形是矩形、，再证明可得，设，则，， ，再根据勾股定理列方程可得，即；设，则，同理可得，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． （3）如图：3，过点E作于点G，令，则，易得，根据相似三角形的性质列比例式可得，进而得到；同理由(2)知，，设，则，利用勾股定理列方程可得，进而得到，最后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵将沿直线折叠，使点B的对应点F恰好落在直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图2：过E作于点G，于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ， 由折叠性质知，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：，即， ∴， ∴． （3）解∶如图：3，过点E作于点G， ∵ ∴令，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 同理由(2)知，， ∴设，则， 由折叠性质知． 在中，， ∴，解得：， ∴． ∴． 变式2（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 【答案】问题．；问题 ．；，证明见解析；问题．． 【分析】问题．由折叠可得，，设，则，在中由勾股定理得，解方程求出即可求解； 问题 ．证明可得，进而可得，又由即可求解；．同理即可求证； 问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理可得，进而得，即可求解； 本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：问题：由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 问题：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 猜测：． 证明：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 问题：连接，与相交于点， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． ◇难点 4 利用勾股定理解决特殊四边形的折叠问题 典例1（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 典例2（2025·江苏无锡·二模）如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得． (1)若点落在边上，__________； (2)若点到的距离为2，求的面积； (3)如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)3 (2)的面积为3或9； (3)的长为或． 【分析】（1）延长交于点，设，则，，，证明，求得，，根据，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当点在矩形内时，当点在矩形外时，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，同理，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （2）解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的面积为3或9； （3）解：如图，当时，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（舍去）或， 则的长为； 如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 同（1），，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， 则的长为； 综上，的长为或． 变式1（2025·贵州黔东南·二模）在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长为，宽为的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动． (1)如图①，连接对角线，沿着DE折叠，使得点A落在对角线上，点A的对应点记为，与的交点记为O．求证：； (2)如图②，将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合．展开后再沿直线折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为，连接，求折痕的长度； (3)如图③，折叠长方形纸片，点A的对应点记为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出折痕的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用折叠的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）设交于点O，的中点为点H，利用折叠的性质得到边与重合，与重合，点是长方形对角线的中点，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定与性质求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：作的垂直平分线，交于点H，交于点G，利用折叠的性质，等腰直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；作的垂直平分线，交于点H，交于点G，与交于点M，利用折叠的性质，等腰直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质求得，则利用折叠的性质得到． 【详解】（1）证明：由折叠得到， ， 是等腰三角形， 又， ， 即； （2）解：将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合， 点是长方形对角线的中点． 设交于点O，的中点为点H，如图， ，， ，， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ； （3）折痕的长度为或． ①作的垂直平分线，交于点H，交于点G，如图， 则，，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ； ②作的垂直平分线，交于点H，交于点G，与交于点M，如图， 则，，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，折痕的长度为或． 变式2（2025·河南平顶山·模拟预测）综合与实践 正方形纸片的边长为6，对正方形纸片进行以下操作． 【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 【操作二】如图2，E为边上的一个动点，将正方形展开后沿直线折叠，使点D的对应点落在上，连接，则的形状为_______，______， 【操作三】如图3，将正方形展开，当动点E与点M重合时，沿折叠，得到点D的对应点，延长交于点P，判断与的数量关系，并说明理由． 【操作四】如图4，将沿继续折叠，点A的对应点为Q，当点E的位置不同时点Q的位置也随之改变，连接．若点Q恰好落在的边上，直接写出的长． 【答案】[操作二]等边三角形，；[操作三]，见解析；[操作四]或 【分析】[操作二]由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解； [操作三]连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解； [操作四]分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案． 【详解】解：[操作二]由题意得：为正方形的对称轴，， ，，，，， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， ， ， ； [操作三]，证明如下： 如图，连接， ， 由题意得：为正方形的对称轴， ，， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ，， ； [操作四] 如图，当点在上时， ， 在正方形中，，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ； 如图，当点在上时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·北京·模拟预测）如图1，中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作，垂足为D，设点A到点D的距离为x，的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．当点P运动到点C处时，求出，再利用，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解∶如图，当点P运动到点C处时， 由图2得， ，． ． ， ． ． ， ． ． ，即． 解得 ． 故选∶C． 二、填空题 3．（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质等知识点． 由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2015·浙江杭州·二模）和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.先利用勾股定理计算出，再分类讨论：当时，则；当时，则，然后利用比例性质分别计算出的长． 【详解】解：∵，，． ∴， 当时，如图1所示，，即，解得， 当时，如图2所示，，即，解得， 即BD的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 5．（16-17八年级下·江苏盐城·开学考试）如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 6．（2025·广东广州·二模）在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1若，时，求及的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不存在（2）中的等量关系，存在的关系 【分析】（1）由旋转的性质得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四点共圆，推出，得，，在中，，可得，，即可求出，根据及，即可求及的长； （2）由旋转的性质得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四点共圆，得，易得，是等腰直角三角形，过点作交于点，易证，得，通过即可证明结论； （3）根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，过点作交的延长线于点，由四边形内角和为，易得 ，得，易证，得，，在中，，可证． 【详解】（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 如图所示，、、、四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 在中，， ，； （2）证明： 边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； （3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下： 根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点， 边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 四边形内角和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 在中，， ． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，垂足为，由平行线的性质可得，，在中，，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质、图形折叠的对称性（对应线段相等）及含特殊角（）直角三角形的边角关系．解题关键在于通过辅助线构造可解的直角三角形，将几何条件转化为代数方程，结合勾股定理实现几何向代数的转化，其中设未知数建立等量关系是突破核心．首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ，， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得，（不符合题意，舍去） ， 故选：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，是斜边上的中线．，，点是上一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为、．则的值是（       ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先利用勾股定理可得，则可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，斜边，， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 二、填空题 5．（2025·重庆·一模）如图，在中，于点，交于点，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 6．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是 ． 【答案】 【分析】在中，，，，求出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，即可得，根据，得出，，根据平移可得，证明是等边三角形，得出，证明，即可得，，即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的周长， 故答案为：． 【点睛】该题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2025·河北邯郸·一模）如图，和均为直角三角形，且，点从点向点运动．在运动过程中，线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，当时，的值最小，根据30度角的性质即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，的值最小， 此时，． 故答案为：3． 8．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形， ， ∴即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为直角三角形， ∴， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求： (1)大楼与旗杆的水平距离； (2)大楼的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查含30度角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等腰三角形的判定与性质，解决此题的关键是合理的运用勾股定理； （1）先根据含30度角所对的直角边是斜边的一半得到直角边之比，再根据勾股定理即可解决问题； （2）先根据等角对等边得到边相等，再由（1）中的结果即可得到答案； 【详解】（1）解：延长交于，作于，如图所示： 则米，， ， , 设米，则米， 在中，米， 由勾股定理得：， 解得：， 米，米， 米，米； 答：大楼与旗杆的水平距离是米； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米． 答：大楼的高度为米． 10．（2023·江苏泰州·二模）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，证出四边形是菱形，则可得出结论； （2）设，求出，，当落在的右侧时，，求出，则可得出答案； （3）设，，，得出，求出，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得， 与垂直且互相平分， 四边形是菱形， ； （2）解：设， 四边形是菱形， ， ，， 当落在的右侧时，， ， ， ； （3）解：不存在． 若存在使得与的角平分线重合， 设，，， ， ， ， 不存在使得与的角平分线重合． 11．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在 中， ，米，米，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒 (1)①当秒时，求的面积； ②求的面积平方米关于时间秒的函数解析式； (2)在，移动的过程中，当为等腰三角形时，写出的值； (3)以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相切时，求出的值． 【答案】(1)①平方米；② (2)秒或秒或秒 (3)或5 【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，结合相似三角形的性质求解，再利用面积公式求解即可；②运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积公式可得函数关系式． （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可． （3）过点作于点，则有，表示，， 在中，，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，米，米， （米）． 由题意得，，则． 过点作于，而， ∴， ∴， ∴， 秒时，米，米，（米）， （米）， （平方米）； 由①得：， ∴， ∴， ． （2）解：过作于，结合（1）可得：， 当为等腰三角形，分类讨论： 第一种情况：当时，如图所示，过点作于点， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第二种情况，当时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第三种情况：当时，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． （3）解：过点作于点，则有， ，即， ，， 在中， ． 当与外切时，有， ∴， 整理得：， 解得，舍去 故当与外切时，； 当与内切时，有， 此时， 整理得，解得，， 故当与内切时，秒或秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．（2025·四川成都·二模）【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； 【探究猜想】 （2）如图2，若． ①判断线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，求的长度． 【探究拓广】 （3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②3 （3） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求得，轩的性质与勾股定理求得，再由直角三角形性质得出结论； （2）①过点A作于M，过点F作于N，设，则，，从而求得，，，，继而求得，即可求解； ②由勾股定理求得，从而右求得，，再证明，得到，，从而证得，则，得到，得出，从而求得，，再证明，得，即，即可求解． （3）过点A作于G，过点M作于P，设，则，，继而可求得，再证明，得，从而求得，，继而求得，然后证明，得，即， 求得，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由：∵，，， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∵点F是中点， ∴ （2）①． 理由：过点A作于M，过点F作于N，如图2， ∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点F是中点， ∴， ∴ ∴； ②∵，，， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∵，， ∴ ∴ ∴，即， ∴． （3）过点A作于G，过点M作于P，如图3， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null