第一章三角形的证明 03直角三角形.线段的垂直平分线，角平分线 寒假预习讲义.2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明03直角三角形、线段垂直平分线、角平分线寒假预习讲义（北师大版） 01预习目标 1.掌握直角三角形的性质与判定方法，理解勾股定理及其逆定理的内容、证明过程和应用场景，能够熟练运用这些定理进行边长计算、角度计算及几何证明。 2通过探索勾股定理的证明过程，体会数形结合的思想；通过运用直角三角形的判定定理，体验几何证明的严谨性与逻辑性。 3.利用逻辑推理验证线段垂直平分线性质及判定的过程. 4.利用线段垂直平分线的性质及判定解决实际问题，培养学生解决问题的能力 5.能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等，灵活运用角平分线的性质和判定定理，解决几何中的计算和证明问题. 02知识点梳理 知识点1直角三角形的性质 （1）直角三角形的两锐角互余； （2）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；        （3）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； （4）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2直角三角形判定 （1）定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； （2）两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a， b， c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形； （4）.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（又称中垂线） 知识点3线段垂直平分线的性质 （1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点4线段垂直平分线的判定 （1）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 知识点5角平分线的性质 （1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． （2）内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 知识点6角平分线的判定 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 03题型解读 题型解读1直角三角形的两个锐角互余 例1．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】是斜边上的高， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 变式1．如图，在中，∠ABC=90°，，的平分线交于点，若，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵∠ABC=90°， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 变式2．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线和高线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由高线得到，推出，然后等量代换得到，即可证明是直角三角形； （2）首先由角平分线得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵是的高线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 题型解读2锐角互余的三角形是直角三角形 例2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 变式1．若中，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 变式2．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 题型解读3写出命题的逆命题 例3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”，故逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 而B选项中，说的是两个底角相等，则前提是该三角形已经是等腰三角形， 故选：C． 变式1．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换后即可得逆命题． 【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余， 交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 变式2．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 题型解读4判断是否为互逆命题 例4．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 变式1．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 变式2.按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 题型解读5定理与证明 例5．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 变式1．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 变式2．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型解读6互逆定理 例6．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 变式1．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 【答案】各边相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”． 【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”， 故答案为：各边相等的多边形是正多边形． 题型解读7线段垂直平分线的性质 例7．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵由勾股定理得：， 在中，，是边上的高线，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∵由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 变式2．如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得； ∴． 题型解读8线段垂直平分线的判定 例8．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏公平要求凳子到三个顶点距离相等，即该点为三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等． 【详解】∵ 游戏公平需凳子到A、B、C三点距离相等， ∴ 需一点到三角形三个顶点距离相等， ∵ 三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， ∴ 凳子应放在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 变式1．如图，，，，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，掌握等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得到，即可得出是等边三角形； （2）先判定是的垂直平分线，再根据三线合一的性质证明即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，则，进而求出，再根据等边三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 题型解读9作垂线（尺规作图） 例9．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角与已知角相等，作三角形的高，熟练掌握作图方法是解题关键； 分析两个作图方法，然后判断即可． 【详解】解：甲的作法：由作图痕迹可知， ， ， 题型解读10角平分线的性质定理 例10．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点D作，根据角平分线的性质得出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 变式2．两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法及角平分线的性质、线段垂直平分线的作法及线段垂直平分线的性质；作出的角平分线及线段的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 故点C即为所求作的点． 题型解读11角平分线的判定定理 例11．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 变式1．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 （度）． 【答案】18 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 变式2．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 题型解读12角平分线性质的实际应用 33．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 变式1．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 34．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 04巩固提升 一、单选题 1．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题关键；由题意得，则，再可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 3．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立． 分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等， ∵， ∴， ∴逆命题成立，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行， ∵平行线判定定理， ∴逆命题成立，不符合题意； C、逆命题：对应边相等的三角形全等， ∵全等判定， ∴逆命题成立，不符合题意； D、逆命题：对应角相等的三角形全等， ∵对应角相等只能证明相似，不一定全等， ∴逆命题不成立，符合题意； 故选D． 4．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 5．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 6．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理求出，再利用垂直平分线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ； 故选． 8．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 9．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是角平分线的作图，不能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是垂直平分线的作图，能确定． 故选：D． 10．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：D． 11．将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 12．公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质作图即可解答． 【详解】解：如图，分别作，和的角平分线，交于点P， 由角平分线的性质可知，点P到3条小路的距离相等． 故选：B． 二、填空题 13．在中，，，则的大小为 ． 【答案】 /54度 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由条件，根据勾股定理逆定理，得，再根据直角三角形两锐角互余，求出． 【详解】解：， ∴ ， 是直角三角形，且 又， ． 故答案为． 14．若中，，则最大角 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 15．命题“若，则或．”的逆命题为 ． 【答案】若或，则 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 16．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 17．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 18．定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是： ． 【答案】 每一组邻角都互补的四边形是平行四边形 【分析】本题考查互逆定理．将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理．据此解答即可． 【详解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”， ∵“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”． 故答案为：每一组邻角都互补的四边形是平行四边形． 19．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 20．如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 【详解】解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，可得，分别在和中，由勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 22．如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质可得到，再利用三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点作，如图： ∵和的平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 23．如图，和都是等边三角形，、、三点在同一直线上，连接、，交于点、交于点，交于点，连接、、，则有下列结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤若，则四边形的面积等于6．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质，证明，可判断①结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断②结论；过点作、的垂线，垂足分别为、，根据全等三角形的性质推出，再结合角平分线的判定定理，可判断③结论；证明，可判断④结论；根据已知条件无法推出⑤结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， ， ，①结论正确； ， ， ， ，②结论正确； 如图，过点作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， ，， 平分，③结论正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，④结论正确； 若，则， ， ， ， ， 已知条件无法推出，则无法推出，⑤结论错误， 故答案为：①②③④． 24．如图，在中，，平分，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 三、解答题 25．如图，在中，是的角平分线，为边上的高线，且与相交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线，三角形内角和定理， 先根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义，进而求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵为高线， ∴， ∴， ∴． 26．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 27．判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由． 【答案】假命题，理由见分析 【分析】本题考查了对顶角的概念，互逆命题，真假命题，理解对顶角的概念是解题的关键．两个角有公共的顶点，如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．判断一个命题是假命题，举一反例即可． 【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．这个逆命题是假命题，例如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角 28．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 29．如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 (1)当，时，求点E到点C之间的最短距离； (2)若时，试说明： 【答案】(1)10 (2)见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， ， 点E到点C之间的最短距离为10； （2）证明：， ， ， ， ∴ 30．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 31．如图，已知线段a，b，h（） (1)用尺规作，使得，，BC边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图，勾股定理的应用，熟悉作垂直平分线、线段的作法及勾股定理是解题的关键． （1）先作线段，再作出的垂直平分线，取线段，然后作线段、，再连接即可； （2）由勾股定理，求出，进而得到，再根据即可求解． 【详解】（1）取线段，作出的垂直平分线，与交于点， 以为圆心，为半径作弧，与垂直平分线的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点，再连接， 如图即为所求， （2）根据题意，， ， ． 32．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所求作的图形中，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作法及性质，勾股定理，三角形的面积公式； （1）根据作角平分线的方法作出的平分线，交于点 （2）根据勾股定理求得，如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线为所作. （2）根据勾股定理得， 是的平分线，， . ， ， ， 解得， ． 33．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 34．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章三角形的证明03直角三角形、线段垂直平分线、角平分线寒假预习讲义（北师大版） 01预习目标 1.掌握直角三角形的性质与判定方法，理解勾股定理及其逆定理的内容、证明过程和应用场景，能够熟练运用这些定理进行边长计算、角度计算及几何证明。 2通过探索勾股定理的证明过程，体会数形结合的思想；通过运用直角三角形的判定定理，体验几何证明的严谨性与逻辑性。 3.利用逻辑推理验证线段垂直平分线性质及判定的过程. 4.利用线段垂直平分线的性质及判定解决实际问题，培养学生解决问题的能力 5.能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等，灵活运用角平分线的性质和判定定理，解决几何中的计算和证明问题. 02知识点梳理 知识点1直角三角形的性质 （1）直角三角形的两锐角互余； （2）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；        （3）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； （4）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2直角三角形判定 （1）定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； （2）两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a， b， c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形； （4）.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（又称中垂线） 知识点3线段垂直平分线的性质 （1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点4线段垂直平分线的判定 （1）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 知识点5角平分线的性质 （1）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． （2）内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 知识点6角平分线的判定 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 03题型解读 题型解读1直角三角形的两个锐角互余 例1．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 变式1．如图，在中，∠ABC=90°，，的平分线交于点，若，则的长是 ． 变式2．如图，是的角平分线，是的高线，且． (1)是直角三角形吗？为什么； (2)若，求的度数． 题型解读2锐角互余的三角形是直角三角形 例2．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若中，，则 ，是 三角形． 变式2．如图，平分．求证：是直角三角形． 题型解读3写出命题的逆命题 例3．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 变式1．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 变式2．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 题型解读4判断是否为互逆命题 例4．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 变式1．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 变式2.按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 题型解读5定理与证明 例5．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 变式1．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 变式2．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型解读6互逆定理 例6．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 变式1．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ． 题型解读7线段垂直平分线的性质 例7．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（    ）． A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 、变式2．如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型解读8线段垂直平分线的判定 例8．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 变式1．如图，，，，相交于点，若，则 ． 变式2．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 题型解读9作垂线（尺规作图） 例9．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 题型解读10角平分线的性质定理 例10．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 变式2．两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 题型解读11角平分线的判定定理 例11．如图，，，，则的度数为（    ） 变式1．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 （度）． 变式2．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型解读12角平分线性质的实际应用 33．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 变式1．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是 ． 34．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 04巩固提升 一、单选题 1．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 3．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 4．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 5．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 6．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 9．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 11．将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 12．公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 二、填空题 13．在中，，，则的大小为 ． 14．若中，，则最大角 ，是 三角形． 15．命题“若，则或．”的逆命题为 ． 16．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 17．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 18．定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是： ． 19．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为 ． 20．如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为 ． 21．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为 ． 22．如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为 ． 23．如图，和都是等边三角形，、、三点在同一直线上，连接、，交于点、交于点，交于点，连接、、，则有下列结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤若，则四边形的面积等于6．其中正确结论的序号为 ． 24．如图，在中，，平分，，，则的长为 ． 三、解答题 25．如图，在中，是的角平分线，为边上的高线，且与相交于点，求的度数． 26．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 27．判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由． 28．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 29．如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 (1)当，时，求点E到点C之间的最短距离； (2)若时，试说明： 30．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 31．如图，已知线段a，b，h（） (1)用尺规作，使得，，BC边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，直接写出的长． 32．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所求作的图形中，若，，求的面积． 33．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 34．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $