2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行、垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两条直线平行的判定 设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时，斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 [提醒]　(1)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (2)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 知识点二　两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 1．(两条直线垂直)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________． 答案：－ 2．(两条直线平行)已知点A(0，1)和B(－1，0)，直线l与直线AB平行，则直线l的斜率k＝________． 答案：1 3．(两条直线位置关系的判定)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0，5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________． 答案：l1⊥l2 4．(两条直线平行、垂直)已知点A(－2，m)，B(m，4)，直线l的斜率为－2.若AB⊥l，则m＝__________；若AB∥l，则m＝________． 答案：2　－8 题型一　两条直线平行的判定与应用　 例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)． [解]　设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知，l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，但l2与y轴重合，所以l1∥l2. 【感悟提升】　 1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤 2．利用斜率解决几何图形中的平行问题 解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质及两直线平行与斜率的关系． 【跟踪训练】　 1．已知▱ABCD的三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为(m，n)， 由题意可得AB∥DC，AD∥BC， 则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， 所以解得 所以顶点D的坐标为(3，4)． 题型二　两条直线垂直的判定及应用　 例2　(1)判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2，1)； ②l1经过点C(3，4)，D(3，6)，l2经过点E(－5，20)，F(5，20)； ③l1经过点H(1，3)，I(－1，－1)，l2经过点G(2，1)，K(4，0)； ④l1的斜率为－，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan2α＝－. [解]　①直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直． ②直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2. ③直线l1的斜率k1＝＝2， 直线l2的斜率k2＝＝－， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. ④记l2的斜率为k2，则k2＝tanα. 因为tan2α＝－，所以＝－. 解得k2＝3或k2＝－. 因为α为锐角，所以k2＝3. 因为l1的斜率为－，且3×＝－1，所以l1⊥l2. (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值． [解]　设直线l2的斜率为k2， 则k2＝＝－. 当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意； 当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝. 由k1k2＝－1，得－×＝－1， 解得a＝3或a＝－4. ∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 【感悟提升】　利用斜率判定两条直线垂直的注意事项 (1)两条直线垂直只有两种情形，即一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为0和它们斜率的乘积等于－1. (2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在． 【跟踪训练】　 2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得 kAB＝＝， kBC＝＝0， kAC＝＝5. 由kBC＝0知直线BC∥x轴， 所以BC边上的高所在直线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上的高所在直线的斜率分别为k1，k2， 由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即k1×＝－1，k2×5＝－1， 解得k1＝－，k2＝－. 综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－； AC边上的高所在直线的斜率为－. 题型三　平行与垂直的综合应用　 例3　(1)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状． [解]　 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 因为kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又kABkAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． (2)已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． [解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， ∵kAB＝3，kBC＝0， ∴kABkBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD，AD∥BC， ∵kBC＝0， ∴CD边所在直线的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3， 此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)． ②若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD，AB∥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴×3＝－1，×＝－1. 解得x＝，y＝，此时AD与BC不平行， ∴点D的坐标为. 综上可知，点D的坐标为(3，3)或. 【感悟提升】　 1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2．由两条直线平行、垂直求参数 由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． 【跟踪训练】　 3．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状． 解：如图，∵kAB＝＝－，kAD＝＝， kCD＝＝－， kBC＝＝， ∴kAB＝kCD，kBC＝kAD. ∴AB∥CD，BC∥AD. 又kADkAB＝×＝－1，∴AD⊥AB. ∴四边形ABCD为矩形． ∵A(0，0)，B(3，－2)，D(2，3)， 由勾股定理得|AB|＝＝， |AD|＝＝， ∴|AB|＝|AD|， ∴矩形ABCD为正方形． 因此四边形ABCD为正方形． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合 B．若两条直线的斜率之积为－1，则这两条直线垂直 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且这两条直线不重合，则这两条直线平行 答案：ABD 解析：若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以A正确；易知B正确；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线才垂直，所以C不正确；当两条直线都垂直于x轴且不重合时，两条直线平行，但斜率不存在，所以D正确．故选ABD. 2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3 B．3 C．－ D. 答案：B 解析：因为l∥AB，且直线AB的斜率kAB＝＝3，所以直线l的斜率k＝3. 3．经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值为________． 答案： 解析：由题意知直线l的斜率为，即kMN＝，所以＝，解得m＝. 4．顺次连接A(1，－1)，B(2，－1)，C(0，1)，D(0，0)四点所组成的图形是________． 答案：等腰梯形 解析：∵kCB＝－1，kAD＝－1，∴AD∥BC.又kAB＝0，CD边所在直线的斜率不存在，∴四边形ABCD为梯形．又|AB|＝|CD|＝1，∴梯形ABCD为等腰梯形． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考向 两条直线位置关系的判定 两条直线垂直的判定与应用 平行与垂直的综合应用 两条直线垂直的判定与应用 两条直线平行的判定与应用；两条直线垂直的判定与应用 两条直线垂直的判定与应用 两条直线位置关系的判定 考点 平行关系的判定 已知两条直线垂直求倾斜角 判定几何图形形状 对称问题 两条直线平行、垂直的判定 两条直线垂直的判定 平行、重合的判定 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 两条直线平行的判定与应用；两条直线垂直的判定与应用 两条直线垂直的判定与应用 平行与垂直的综合应用 两条直线平行的判定与应用 两条直线垂直的判定与应用 平行与垂直的综合应用 平行与垂直的综合应用 考点 由两条直线平行、垂直求参数 利用垂直关系确定点的坐标 利用平行关系确定点的坐标；判定几何图形形状 利用平行关系确定点的坐标 利用垂直关系确定点的坐标 由两条直线平行、垂直求参数 由两条直线平行、垂直确定点的坐标 一、选择题 1．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 答案：B 解析：因为两条直线的斜率都为0且不重合，所以两条直线的位置关系是平行． 2．已知直线l1过A(2，2)，B(4，0)两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由直线l1过A(2，2)，B(4，0)两点，可得kl1＝＝－.因为l1⊥l2，所以kl1·kl2＝－×kl2＝－1，可得kl2＝.设直线l2的倾斜角为α，则tanα＝，因为α∈[0，π)，所以α＝，所以直线l2的倾斜角为.故选A. 3．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(4，3)，D(－2，1)四点所组成的图形是(　　) A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．直角梯形 答案：C 解析：kAB＝＝，kCD＝＝，∴AB∥CD.又kAD＝＝－1，kBC＝＝－1，∴AD∥BC，又kAB·kAD≠－1，∴四边形ABCD为平行四边形． 4．若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．30° D．60° 答案：A 解析：当a＝b－1时，P，Q两点重合，不满足题意；当a≠b－1时，kPQ＝＝－1，又点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，∴直线l的斜率为1，倾斜角为45°. 5．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列四个结论中正确的是(　　) A．QS⊥PS B．PQ∥SR C．PQ⊥PS D．RP⊥QS 答案：BCD 解析：由题意，知kQS＝＝＝－4，kPS＝＝＝，kPQ＝＝＝－，kSR＝＝＝－，kRP＝＝＝.∵kQSkPS≠－1，∴QS与PS不垂直，A错误；∵kPQ＝kSR≠kQS，∴PQ∥SR，B正确；∵kPQkPS＝－1，∴PQ⊥PS，C正确；∵kRPkQS＝－1，∴RP⊥QS，D正确．故选BCD. 6．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，) B．l1的斜率为－，l2过点A(1，1)，B C．l1的倾斜角为30°，l2过点C(3，)，D(4，2) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点E(－6，0)，F(－1，3) 答案：ABD 解析：对于A，l1的斜率为－，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故A符合题意；对于B，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故B符合题意；对于C，l1的斜率为，l2的斜率为＝，因为×＝1，故C不符合题意；对于D，l1的斜率为＝－，l2的斜率为＝，因为－×＝－1，故D符合题意．故选ABD. 二、填空题 7．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A(－2，－1)，B(3，4)，则l1与l2的位置关系为____________________． 答案：平行或重合 解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1的倾斜角为45°，∴k1＝1.∵直线l2过点A(－2，－1)，B(3，4)，∴k2＝＝1.∵k1＝k2，∴l1与l2平行或重合． 8．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________． 答案：2　－ 解析：若l1⊥l2，则k1k2＝－1，即－＝－1， ∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b＝－. 9．已知点A(1，2)，B(2，3)，点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出点C的一个坐标：________________． 答案：(3，0)(答案不唯一，(3，0)，(5，0)任意一个都可以) 解析：设C(x，0)，易知当x＝1或x＝2时，不符合题意，因此当x≠1且x≠2时，可得kAB＝＝1，kAC＝，kBC＝.当A为直角时，kABkAC＝1×＝－1，得x＝3，点C的坐标为(3，0)；当B为直角时，kABkBC＝1×＝－1，得x＝5，点C的坐标为(5，0)；当C为直角时，kACkBC＝×＝－1，化简得x2－3x＋8＝0，该方程无解．所以点C的坐标可以是(3，0)或(5，0)． 三、解答题 10．已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形． 解：(1)设D(a，b)，在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则kAB＝kCD，kAD＝kBC， 即解得 ∴D(－1，6)． (2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，∴kACkBD＝－1， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD为菱形． 11. 如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，则下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 答案：A 解析：如图所示，经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱OBAC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知(4，1)，(－2，1)，(2，－1)分别是点C1，C2，C3的坐标．故选A. 12．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为________． 答案：(6，－2) 解析：设点C的坐标为(x，y)，直线AH的斜率kAH＝＝0，∵BC⊥AH，且点B的横坐标为6，∴x＝6，直线BH的斜率kBH＝＝2，∴直线AC的斜率kAC＝＝－，∴y＝－2，∴点C的坐标为(6，－2)． 13．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________． 答案：4＋ 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l1的斜率k1＝tan60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝，∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－，∴＝＝－，解得m＝4＋. 14．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求证：直线MQ⊥x轴． 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQkMN＝－1， 即×3＝－1.　① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.　② 联立①②，解得x＝0，y＝1， 即Q(0，1)． (2)证明：设Q(x，0)， ∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1， ∴Q(1，0)． 又M(1，－1)， ∴直线MQ⊥x轴． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$