专题01 平行四边形（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

专题01 平行四边形（八大题型） 【题型1 数图形中平行四边形的个数】................................................................................1 【题型2 根据平行四边形的性质求边长】............................................................................3 【题型3根据平行四边形的性质求角度】..............................................................................7 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】..........................................................................11 【题型5 添一个条件成为平行四边形】................................................................................15 【题型6 平行四边形的判定】................................................................................................19 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..........................................................23 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】.....................................................................26 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 1．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 2．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 4．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【题型2 根据平行四边形的性质求边长/周长】 1．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质. 在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 2．在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点若平分，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而求出，，利用证明 ，根据全等三角形的性质得出，结合角平分线的性质、等腰三角形的判定求出，据此即可得解． 【详解】解：在中，，， ，， 点E是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 3．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点．连接，恰好有，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】由作图可知平分，又四边形为平行四边形，则，故有，再根据等角对等边得，最后由勾股定理即可求解， 【详解】解：由作法得平分， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，角平分线定义，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，交于点，连接，若，，则▱的周长为（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理和平行四边形的周长公式，熟练掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．先确定是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的周长公式计算周长． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得，，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 5．如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【题型3根据平行四边形的性质求角度】 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出．由平行四边形的性质推出， ， ，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此，得到，由平行线的性质求出即可得到的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，． ． 平分， ， ． ． ． ． ． ， ， ． ． 故选∶D 4．如图，在平行四边形中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可得：，，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：D． 5.如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是得到． 根据折叠的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即可求出． 【详解】解：由折叠可得，， 在中，． 又 ∵． ， ， 故选：A． 6．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，，若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行 ）与平行线的性质（两直线平行，内错角、同位角、同旁内角的关系 ），利用平行线性质转化角的关系是解题关键．利用平行四边形对边平行的性质，通过作辅助线构造平行线，结合三角形内角和与角的和差关系，求出的度数 ． 【详解】解：过点作， 四边形是平行四边形， ， ， ，， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征．在平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数．根据平行四边形对角线互相平分的性质可知，点与点关于原点对称（因为是中点）．然后利用关于原点对称的点的坐标特征来求出点的坐标．关键在于理解平行四边形对角线的性质，从而得出点与点的对称关系，再准确运用关于原点对称的点的坐标变化规律得出答案即可． 【详解】∵平行四边形的对角线相交于点， ∴点与点关于原点对称． ∵已知点的坐标是， ∴点关于原点对称的点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数． ∴点的坐标是． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，从而得到点D的纵坐标为2，点D的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，点D的纵坐标为2， ∴点D的横坐标为， ∴点D的坐标为． 故选：A 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，，顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．利用四边形是平行四边形，得出，，则轴，再得出，根据点A的坐标为，可求出，，然后利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵边在y轴上， ∴轴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向右平移到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为9，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换－平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键． 5．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 1．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 2．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 3．在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 4．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．    【答案】6 【分析】求出，则，再由，即可得出结论． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，证出是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当 秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．    【答案】2或3 【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：①和②，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设当运动秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形， 则， ，， ，， 由题意，分以下两种情况： ①当时，四边形是平行四边形， 则， 解得； ②当时，四边形是平行四边形， 则， 解得； 综上，当2秒或3秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 【题型6 平行四边形的判定】 1．如图，在四边形中，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识．根据勾股定理求出，得到，又由即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定定理是解题的关键．先证明，得到，再由，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 3．如图，在四边形中，相交于点，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据证明得，结合可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 4．如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连接，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 5．已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，再点是的中点，得出，又，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 6．如图，在中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质得出，进而利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 2．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 2．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 3．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中， ∴， ∵点E，F分别在的延长线上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 4．如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用同旁内角互补两直线平行得出，利用角平分线的性质及等量代换得出，利用内错角相等两直线平行得出，利用两组对边分别平行即可得出平行四边形； （2）过点作交于点，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等的边，假设，则，判定出，利用相似三角形的性质得出，最后求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作交于点， 又∵平分，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接， (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据平行四边形的判定推出即可； （3）求出高和，再根据面积公式求出即可． 【详解】（1）解：证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：过作于，过作于， ∵四边形和四边形是平行四边形，，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴四边形的面积 1．如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 2．如图，在四边形中，，，， E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当 时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或/3或1 【分析】分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 3．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)15秒 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据动点M的速度为，动点N的速度为，设运动时间为，根据平行四边形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵动点M的速度为，动点N的速度为， 设运动时间为， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 故运动时，四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形（八大题型） 【题型1 数图形中平行四边形的个数】................................................................................1 【题型2 根据平行四边形的性质求边长】............................................................................2 【题型3根据平行四边形的性质求角度】.............................................................................3 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】........................................................................4 【题型5 添一个条件成为平行四边形】...............................................................................6 【题型6 平行四边形的判定】..............................................................................................7 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】........................................................9 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】....................................................................9 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 1．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 2．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【题型2 根据平行四边形的性质求边长/周长】 1．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点若平分，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点．连接，恰好有，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，交于点，连接，若，，则▱的周长为（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 5．如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3根据平行四边形的性质求角度】 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，，若，，则的度数是 ． 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中，，顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 1．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 3．在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 5．如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．    6．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当 秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．    【题型6 平行四边形的判定】 1．如图，在四边形中，，求证：四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，相交于点，，，求证：四边形是平行四边形． 4．如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 5．已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 2．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 4．如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 5．如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接， (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求四边形的面积． 1．如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段． 2．如图，在四边形中，，，， E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当 时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $