第01讲 平行四边形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦平行四边形核心知识，系统梳理定义、边/角/对角线性质及边/角/对角线判定定理，构建“定义—性质应用—判定推理”的学习支架，助力学生逐步掌握知识脉络。 资料以“典例+变式”设计多样题型，涵盖数图形个数、求边长角度坐标、判定条件添加等，通过动态几何存在性问题培养空间观念与创新意识，借助证明题发展推理能力，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

第01讲 平行四边形 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 【典例1】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【变式1】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【变式2】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【变式3】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【题型2 根据平行四边形的性质求边长】 【典例2】如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【变式2】如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【变式3】如图，在▱中，，，、的平分线分别交于、，则的长为 ． 【题型3根据平行四边形的性质求角度】 【典例3】如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，，于E，则 ． 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例4】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，将平行四边形放置在直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【变式2】如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，为原点，点、的坐标分别为，，若点在轴上，点在轴上，以、、、为顶点作平行四边形，则点的坐标为 ．    知识点2： 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【变式2】如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：作的平分线，其中点E在上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【变式3】如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例7】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【变式1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【变式1】如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【变式3】如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 3．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 4．嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 5．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，作直线交于点，交于点，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 8．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 9．如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 10．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 11．如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 12．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平行四边形 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 【典例1】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 【变式1】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 【变式2】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式3】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 【题型2 根据平行四边形的性质求边长】 【典例2】如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边等知识，掌握它们是关键；由平行四边形的性质得，，进而求得及，再由角平分线的性质即可得，从而可求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是：． 故选：D． 【变式3】如图，在▱中，，，、的平分线分别交于、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定方法：等角对等边，以及平行线的性质，正确证明是关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质可以证得，然后根据等角对等边得到，同理，再依据即可求解． 【详解】解：平分，即， 又 中，， ， ， ， 同理：， ． 故答案是：． 【题型3根据平行四边形的性质求角度】 【典例3】如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及平行线的性质．先利用平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出，根据已知条件计算出的度数，随即得到的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴． 故选：B． 【变式1】在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 【变式2】如图，在中，于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，，于E，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．由，得，则，而，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例4】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，将平行四边形放置在直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形得到，根据点C向右平移5个单位长度得到点B，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，线段与坐标，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由点的坐标是，得， 根据平行四边形得到， 故点C向右平移5个单位长度得到点B， ∵点的坐标是， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【变式2】如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出点A的纵坐标为6，点B的横坐标为，然后根据平行四边形的性质求出，然后求出平移距离，进而求解即可． 【详解】解：的中点E的坐标是， ∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为 ∴ ∵点C的坐标是 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，E的坐标是 ∴平移距离为2 ∴点D的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，为原点，点、的坐标分别为，，若点在轴上，点在轴上，以、、、为顶点作平行四边形，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】分三种情况，由平行四边形的性质可得出答案． 【详解】解：若以为边，四边形为平行四边形，点在轴的正半轴， ∵点、的坐标分别为，， ∴，； 若以为对角线，四边形为平行四边形，点在轴负半轴， ∴，； 若以为边，四边形为平行四边形，点在轴的负半轴， ∴，； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 知识点2： 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 【变式1】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 【变式2】在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为， 故选：C． 【变式3】如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案． 【详解】选项A中，，得到，无法证明平行四边形，选项A错误； 选项B中，，得到与平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确； 选项C中，，选项C错误； 选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键． 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 【变式1】已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形． 【变式2】如图，在四边形中，，． (1)尺规作图：作的平分线，其中点E在上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）根据角平分线以及条件得到，再根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求： （2）证明：由（1）知，， ． ． ， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例7】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【变式1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【变式2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式1】如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据已知得出，进而根据，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ； ， ； ， ，； ， ． 【变式2】如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 【变式3】如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键， （1）根据勾股定理可得到的长，可得到，从而推出四边形是平行四边形，故可得，从而得到的长； （2）根据，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质包括对角线互相平分，但对角线不一定相等或垂直，据此进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直， ∴选项C正确； 故选：C 3．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）． ∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B． 故选B． 4．嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的定义确定四个顶点即可． 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 5．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6．如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．依据的对角线的交点在原点，即可得到点与点关于原点中心对称，依据顶点的坐标为，即可得出顶点的坐标是． 【详解】解：的对角线的交点在原点， 点与点关于原点中心对称， 又顶点的坐标为， 顶点的坐标是， 故选：． 7．如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，作直线交于点，交于点，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 根据作图可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，最后根据即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长为： 故选：B． 8．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中线性质，熟练掌握平行四边形的性质，得到是解答的关键． 9．如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移与坐标的关系，掌握平移与坐标变化的关系是解题的关键． 先确定和的坐标，再找出平移到时坐标的变化，根据坐标的变化求解即可． 【详解】∵，， ∴，， 在中，，即平移到， ∵点C的坐标为， ∴平移的方式是：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 10．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 11．如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 12．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理解三角形以及平行四边形的性质和周长计算．熟练掌握全等三角形的证明方法以及判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明与全等，通过证明三角形全等即可得出线段相等； （2）先利用勾股定理求出斜边长度，再根据平行四边形的性质求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为E是的中点， 所以． 在和中， ， 所以≌． 所以． 因为是边上的中线， 所以， 所以． （2）解：在中，，，， 根据勾股定理． 因为是边上的中线， 所以． 因为，， 所以四边形是平行四边形． 所以，． 所以四边形的周长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $