精品解析：贵州省遵义市天立中学2025-2026学年上学期九年级上册数学期中检测

遵义天立学校2025－2026学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12题，共36分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解时，先求出、、值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新的图象的解析式为（ ） A B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 与轴无交点 8. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 9. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 11. 如图，绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，则度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4题；共16分） 13. 函数图象的开口 _____． 14. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是_______．（用“”、“”或“”填空） 16. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 三、解答题（共9题；共98分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标． 19. （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （3）当为何值时，？ 21. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 22. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 23. 如图，在菱形中，，E边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求线段的长． 24. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）． （2）． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点坐标和面积； （3）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义天立学校2025－2026学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12题，共36分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 3. 已知点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点中心对称的点的坐标特征，对称点的横纵坐标均为原坐标的相反数．根据关于原点中心对称的点的坐标特征直接求解． 【详解】解：点的坐标是， 点关于原点中心对称的对称点的坐标是． 故选：A． 4. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新的图象的解析式为， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得：， 故选：B． 6. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：分和两种情况讨论如下： ①当时，方程化为，解得，原方程有实数根，符合题意； ②当时， ∵关于的方程有实数根， ∴，即， ∴当且时，原方程有实数根，符合题意； 综上所述，满足条件的的取值范围为， 故选：D． 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 与轴无交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与轴的交点情况，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 该式为顶点式，其中，，， 开口向上，选项A错误； 对称轴为直线，选项B正确； 顶点坐标为，选项C错误； 令，得，即， ， 抛物线与轴有交点，选项D错误． 故选：B． 8. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 9. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设增长率为x，则根据题意可列方程为， 故选：C． 10. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 11. 如图，绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， 故选：C． 12. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，二次函数图象的识别，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，过点A作于T，连接，可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，证明，得到，则可证明是等边三角形，进而可求出，当时，，则，当时，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于T，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴等边三角形， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故选：C． 二、填空题（共4题；共16分） 13. 函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 14. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 15. 已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是_______．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题的关键．将，两点代入抛物线求出和，即可得解． 【详解】解：，是抛物线上的两点， ，， ， 故答案为：． 16. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向可判断①，根据对称轴公式可判断②，根据函数图象与x轴有两个不同的交点可判断③，根据当时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 三、解答题（共9题；共98分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接用开平方法求解即可； （2）通过因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据中心对称的性质可画出图形，再根据图形可写出点的坐标； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形可写出点的坐标； 本题考查了作中心对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为． 19. （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）（2）（3）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此设计图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （3）当为何值时，？ 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，掌握相关知识是解决本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）根据抛物线与轴交点的坐标，确定抛物线的对称轴，结合图象得结论； （3）观察图象，在轴下方的部分总小于0． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于、， 的根为：，； 【小问2详解】 解：二次函数的图象与轴交于、， 该图象的对称轴为直线， 图象开口向下， 当时，随的增大而减小． 即随的增大而减小时； 【小问3详解】 解二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当或时，二次函数图象总在轴的下方． 当或时，． 21. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】（1）； （2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元； （2）依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意得，， 整理得，， ， 解得，， ∴每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 22. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3）嘉嘉的说法不正确，理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 嘉嘉的说法不正确； 理由：根据题意得 ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 23. 如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，在菱形中，，可证明是等边三角形，则，，所以，进而可证明 ，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据平行线的判定得出； （3）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在菱形中，， ，， 、是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：∵， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，，设与相交于点， 四边形是菱形， ，， ，是等边三角形， ，， ， 由（1）可得，， ，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） ，，， （2） ，， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【小问1详解】 解：设，则原方程化， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； 【小问2详解】 解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点坐标和面积； （3）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】（1） （2），6 （3）存在最大值，最大值为2，此时 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； 【小问3详解】 解：存最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $