精品解析：贵州省遵义市第十二中学2024-2025学年上学期期中学业水平质量监测九年级数学试题卷

遵义市第十二中学2024-2025学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题卷 （全卷共6页，分值150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、学号、班级考号填写在答题卡规定的位置上。 2．选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题中的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号；其余各题必须使用黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范。在试卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”，“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程 解是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A B. C. D. 或 6. 关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 顶点在x轴上 C. 对称轴是x＝3 D. x＞3时，y随x增大而减小 7. 将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　） A. y＝（x+3）2﹣5 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x+1）2﹣1 D. y＝（x+1）2﹣5 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数（）部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 抛物线 的顶点坐标是__________； 14. 若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 15. 如图是一座截面为抛物线拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号） 16. 如图，在中，，，点D是的中点，E为边上一点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的长是________． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值． 20. 已知二次函数（）的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为________时，． 21. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （4）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点F落在上，连接． （1）若，则的度数为__________； （2）若，，求的长． 23. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 24. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 25. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十二中学2024-2025学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题卷 （全卷共6页，分值150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、学号、班级考号填写在答题卡规定的位置上。 2．选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题中的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号；其余各题必须使用黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范。在试卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”，“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】x2=1 x=±1， ∴x1=1，x2=-1 故选B 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=2代入方程，解方程即可. 【详解】把x=2代入方程得：4+2m-2=0， 解方程得：m=-1 故选B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解，确定未知数，熟知方程解的定义是解题关键. 6. 关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 顶点在x轴上 C. 对称轴是x＝3 D. x＞3时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案． 【详解】解：， 则a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是x=3， 故选项A，B，C都正确，不合题意； x＞3时，y随x增大而增大，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 7. 将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　） A. y＝（x+3）2﹣5 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x+1）2﹣1 D. y＝（x+1）2﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置即可得． 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下， 对称轴x=->0，在y轴右边， ∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系． 9. 如图，在 中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到△DEC， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键． 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意可列方程为． 故选：C． 11. 二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可． 【详解】解：根据图象过点，对称轴为直线，设抛物线与x轴另一个交点为， 则， 解得， 故图象过点， 故抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根， 故，即，故①正确， ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在x轴的正半轴上， ∴, ∴，， ∴, 故②正确； 根据抛物线的性质，得时，， ∴， ∴, 故③错误； 由抛物线的顶点坐标为，， 故该二次函数的最大值为4，即直线与抛物线有唯一交点， 由， 故直线与抛物线无交点，即方程没有实数根． 故④正确； 故选：C． 12. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 抛物线 的顶点坐标是__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．二次函数的顶点式的顶点为．直接利用顶点式可知顶点坐标． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 14. 若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到a+b=4即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，． 15. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号） 【答案】6 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可． 【详解】建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点C坐标为（0，3）， 设抛物线解析式y＝ax2+3， 将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3， 解得：a＝﹣， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+3， 当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离， 将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3， 解得：x＝±， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 16. 如图，在中，，，点D是的中点，E为边上一点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论：当点F在下方时和当点F在上方时，分别过点E作交于点G，证明出，得到，求出，分别求出的长度，然后利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当点F在下方时，过点E作交于点G， ∴ 在中，，， ∴ ∴ ∴ ∵将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴； 如图所示，当点F在上方时，过点E作交于点G， 同理可证， ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴． 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中即可求解． 【小问1详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴解得：， 即k的取值范围为：； 【小问2详解】 ∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，若，是方程的两个根，则有，．掌握该知识点是解答本题的关键． 20. 已知二次函数（）的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为________时，． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用待定系数法，由表格可得当时，；当时，；当时，，把它们分别代入表达式即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）求时x的取值范围，即为图象在x轴上方所对应的自变量的取值，根据表格与图形即可解答． 【小问1详解】 解：由表格可得，当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：根据表格，描点并连线，函数图象如图： 【小问3详解】 解：由表格与图象可得，当时，． 故答案为：． 21. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （4）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60 （2）见解析 （3）77 （4）390 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体，解题的关键是掌握以上知识点． （1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）求出D组人数，补全直方图即可； （3）根据中位数的确定方法进行求解即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴随机抽取的八年级学生人数为60人； 【小问2详解】 解：D组人数为：； 补全直方图如图： 小问3详解】 解：将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人． 22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点F落在上，连接． （1）若，则的度数为__________； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到根据等腰三角形性质求解即可； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 小问1详解】 在中，，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ，， ， ． 23. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【答案】（1）A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元 （2）8元 （3）实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【解析】 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （3）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． 【小问2详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． 【小问3详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 24. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 【答案】（1）解析式为；B的坐标为 （2）不会失误，见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为(米).即可得到答案； （3）由人水处点得到，①当抛物线经过点M时，，②，解得；当抛物线经过点N时，，③由①③联立方程组，解得.即可得到答案． 【小问1详解】 设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 当时，， 解得或(舍去)， 点B的坐标为 【小问2详解】 ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为(米). ∵， ∴运动员此次跳水不会失误 【小问3详解】 ∵，， ∵. ∵人水处点， ∴，① 当抛物线经过点M时，，② 由①②联立方程组，解得； 当抛物线经过点N时，，③ 由①③联立方程组，解得 ∵出水处点D在之间(包括M，N两点)， ∴ 25. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为； 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即， 而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得 【小问1详解】 证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 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