4.3公式法（一）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦平方差公式因式分解核心知识点，前承整式乘法平方差公式的逆用，后接因式分解的综合应用。通过课前预习回顾公式基础，课堂探究推导结构特征与“一判二提三转四代五查”步骤，结合课堂检测与课后作业形成完整学习支架。 该资料突出逆向思维培养，以“人造太阳”能量计算、密码生成等实例渗透数学眼光，通过几何图形面积解释公式强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后知识清单与分层训练帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第三节公式法（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式因式分解的结构特征（即a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)）。 2.能准确识别符合平方差公式的多项式，熟练运用公式进行因式分解（分解到不能再分解为止）。 3.经历公式推导与应用过程，体会 “ 逆向思维 ” （整式乘法逆用）的数学思想，提升运算能力与逻辑推理能力。 4.能运用平方差公式解决简单的实际问题，感受数学与生活、科技的联系。 ) ( 二．重点难点 1.重点 （1）平方差公式的结构特征识别（两项、平方差形式）。 （2）运用平方差公式进行因式分解的规范步骤。 2.难点 （1）准确将多项式转化为 “ a 2 - b 2 ” 的形式（尤其是系数、字母、多项式整体作为平方项的情况）。 （2）因式分解的彻底性（提取公因式后再用平方差公式，或多次运用公式）。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，平方差公式为 (a + b)(a - b) = ___________，因式分解是整式乘法的逆运算，因此平方差公式的因式分解形式为 a2 - b2 =___________。 2.平方差公式因式分解的前提是多项式为______项式，且两项的符号______（相同/相反），每项都能写成某个整式的______形式。 3.请写出3个能表示“a2”的代数式：______、______、______（例如 4x2 = (2x)2）。 4.因式分解的最终结果要求：每个因式都是______，且不再含有______，即分解彻底。 5.尝试因式分解：x2 - 9 = ________（提示：将9写成32）。 四．课堂探秘 探究一：平方差公式的推导 观察多项式x2-25，92-y2，它们有什么共同特征?尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流. 事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 1.公式来源： 它是整式乘法平方差公式 (a + b)(a - b) = a2- b2 的逆用，将多项式的“平方差”形式转化为两个整式的乘积。 2.公式表达式 a2 - b2= (a + b)(a - b) 其中 a、b 可以是单项式（如 x、2y），也可以是多项式（如 x + 1、2m - n）。 3.适用条件： 多项式必须同时满足：（1）两项式；（2）两项符号相反（一正一负）；（3）每一项都能写成某个整式的平方形式（即“平方项”）。 4.核心思路 先判断多项式是否为平方差结构，若有公因式，先提取公因式，再将两项分别写成 a2 和 b2的形式，最后代入公式分解，确保分解彻底。 例1.把下列各式因式分解: (1)25-16x2; (2)9a2-b2. 探究二：用平方差公式法因式分解的步骤可 1.一判：判断是否符合平方差结构，检查多项式是否为两项式，且两项符号相反，每项都能写成某个整式的平方形式。 2.二提：先提取公因式（若有），如果多项式各项含有公因式，先提取公因式，使剩余部分更易观察是否符合平方差公式。例：2x2 - 8 = 2(x2 - 4) 3.三转：转化为 a2 - b2形式，将两项分别写成 a2和 b2的形式，确定 a 和 b（a、b 可以是单项式或多项式）。例：x2 - 4 = x2 - 22，这里 a = x，b = 2。 4.四代：代入平方差公式分解，代入公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，写出因式分解结果。例：x2- 22= (x + 2)(x - 2) 5.五查：检查是否分解彻底，确认每个因式不能再分解（无公因式、无平方差结构等），若还能分解则继续分解。例：2x2 - 8 = 2(x + 2)(x - 2)，已分解彻底。 用平方差公式法因式分解的步骤可以总结为“一判、二提、三转、四代、五查”： 例2.把下列各式因式分解: (1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x. 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 3.2025年中国“人造太阳”EAST实现1亿摄氏度高温下持续运行1066秒的世界纪录，其中核聚变反应的能量计算涉及平方差模型。若代数式 (108)2 - (9.9×107)2 可通过平方差公式因式分解，则分解结果正确的是（ ） A. (108- 9.9×107)(108- 9.9×107) B. (108 + 9.9×107)(108- 9.9×107) C. (108 + 9.9×107)2 D. (108+ 9.9×107)(9.9×107- 108) 4.下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.x2-4　　　　B.-x2-y2+2xy　　　　C.m2n2-1　　　　D.a2-4b2 5.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 6.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　D.x2-x=x(x-1) 7.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2021　　　　B.2022　　　　C.2023　　　　D.2024 8.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是(　　) A.102030　　　　B.103020　　　　C.101030　　　　D.102010 9．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定 10.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是(　　) A．205 B．250 C．502 D．520 （二）．填空题 11．分解因式：x2－9＝____． 12．分解因式：9x2－1＝____． 13.分解因式：2a2－18＝____． 14.在实数范围内分解因式：xy2－4x＝____． 15.分解因式：a2b－4b3＝____． 16.分解因式(a＋b)3－4(a＋b)＝____． 17.计算:101×1022-101×982=　　　　.  18.现有下列多项式:①1-a2;②a2-2ab+b2;③4a2-9b2;④3a3-12a.在因式分解的过程中用到“平方差公式”的有　　　　.(只需填上序号即可)  19.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  20.若496-1可以被60~70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  （三）．解答题 21. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 22．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b>0)的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积． (2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积． 23.如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）. 24. 阅读题： 我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下： 原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1. 你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看. （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）. 25．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.因式分解的平方差公式是逆向运用乘法平方差公式推导而来，其表达式为：a2-b 2= _。 2.运用平方差公式因式分解的前提是：多项式为______项式，且两项符号______（填“相同”或“相反”），每项都能写成某个整式的______形式。 3.平方差公式中，“a”和“b”不仅可以是单独的字母或数字，还可以是______，例如(x + 2)2- y2中，“a”对应______，“b”对应______。 4.分解因式时，若多项式各项存在公因式，应先______，再运用平方差公式，确保因式分解______（填“彻底”或“部分”）。 5.分解因式：x2- 1 = ________；4y2 - 25 = _______。 6.分解因式：9a2- (b - c)2=_______；x3- x = _________（提示：先提公因式）。 7.若多项式m2- kn2能运用平方差公式因式分解，则整数k必须是______（填“正”或“负”）的______数，例如k = ______（写出一个即可）。 8.分解因式：(x + y)2- (x - y)2= ___________；16(x - 1)2 - 9(y + 2)2= _________。 9.平方差公式因式分解的结果特征是：两个______的积，其中一个因式是两平方项的______，另一个因式是两平方项的______。 10.若a + b = 3，a - b = 2，则a2 - b2的值为______，其依据是______公式。 （二）强化训练 一．选择题 1．因式分解a2－4的结果是(　　) A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2 C．(a＋2)2 D．a(a－2) 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2 3．分解因式结果为－(2a＋b)(2a－b)的多项式是(　　) A．4a2－b2 B．4a2＋b2 C．－4a2－b2 D．－4a2＋b2 4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是( ) A. B. C. D. 5.八年级学生在古诗背诵打卡活动中，遇到杜甫《望岳》“岱宗夫如何？齐鲁青未了”，老师以“齐鲁地域面积”设计数学问题：若某区域面积可表示为 4x2 - 9y2（单位：平方千米），其中 x 、 y 为正数，下列因式分解正确的是（ ） A. (2x - 3y)(2x - 3y) B. (4x + 9y)(4x - 9y) C. (2x + 3y)(2x - 3y) D. (2x + 3y)(3y - 2x) 6. 若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数 7．下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) 二．填空题 11．因式分解：a3－ab2＝____． 12．因式分解：m3n2－m＝____． 13．因式分解：－2ax2＋2ay2＝____． 14．若m2－n2＝12，且m－n＝4，则m＋n＝____． 15．观察下列各式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；……把你发现的规律用含n的等式表示出来____． 16．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）. 17．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ． 18.分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= . 19 若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 20．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 三．解答题 21. 利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） (1) （2） 22.观察下列各式: 32-12=8×1; 52-32=8×2; 72-52=8×3; 92-72=8×4; … (1)根据你发现的规律直接写出第八个式子; (2)请你用一个含n(n为正整数)的等式来表示上述规律,并说明其正确性. 23.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数. (1)32这个数是奇特数吗?若是,表示成两个连续奇数的平方差形式. (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么? (3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积. 24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 25. 老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…… (1)请你写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式； (2)用文字写出反映上述算式的规律； (3)说明理由． 26. (1)观察下列各式： 13＋23＝1＋8＝9＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2， ∴13＋23＋33＋43＋53＝225＝(____________________)2. (2)根据以上规律填空： 13＋23＋33＋…＋n3＝＝(____________________)2. (3)根据以上规律求113＋123＋133＋143＋153的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第三节公式法（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式因式分解的结构特征（即a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)）。 2.能准确识别符合平方差公式的多项式，熟练运用公式进行因式分解（分解到不能再分解为止）。 3.经历公式推导与应用过程，体会 “ 逆向思维 ” （整式乘法逆用）的数学思想，提升运算能力与逻辑推理能力。 4.能运用平方差公式解决简单的实际问题，感受数学与生活、科技的联系。 ) ( 二．重点难点 1.重点 （1）平方差公式的结构特征识别（两项、平方差形式）。 （2）运用平方差公式进行因式分解的规范步骤。 2.难点 （1）准确将多项式转化为 “ a 2 - b 2 ” 的形式（尤其是系数、字母、多项式整体作为平方项的情况）。 （2）因式分解的彻底性（提取公因式后再用平方差公式，或多次运用公式）。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，平方差公式为 (a + b)(a - b) = ___________，因式分解是整式乘法的逆运算，因此平方差公式的因式分解形式为 a2 - b2 =___________。 2.平方差公式因式分解的前提是多项式为______项式，且两项的符号______（相同/相反），每项都能写成某个整式的______形式。 3.请写出3个能表示“a2”的代数式：______、______、______（例如 4x2 = (2x)2）。 4.因式分解的最终结果要求：每个因式都是______，且不再含有______，即分解彻底。 5.尝试因式分解：x2 - 9 = ________（提示：将9写成32）。 【答案】1. a2- b2；(2a + b)(a - b) 2.两；相反；平方 3.示例：9y2 = (3y)2、16a4 = (4a2)2、(x + 1)（答案不唯一，符合平方形式即可） 4.整式；公因式 5.(x + 3)(x - 3) 四．课堂探秘 探究一：平方差公式的推导 观察多项式x2-25，92-y2，它们有什么共同特征?尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流. 【解析】共同特征：（1）都是两项式；（2）两项符号相反（一正一负）；（3）每一项都能写成某个整式的平方形式（即“平方差”结构）。 因式分解：将整式乘法的平方差公式 (a + b)(a - b) = a2 - b2逆用，就得到因式分解的平方差公式：a2- b2= (a + b)(a - b) x2-25= x2- 52= (x + 5)(x - 5) 9-y2= 32- y2= (3 + y)(3 - y) 事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 1.公式来源： 它是整式乘法平方差公式 (a + b)(a - b) = a2- b2 的逆用，将多项式的“平方差”形式转化为两个整式的乘积。 2.公式表达式 a2 - b2= (a + b)(a - b) 其中 a、b 可以是单项式（如 x、2y），也可以是多项式（如 x + 1、2m - n）。 3.适用条件： 多项式必须同时满足：（1）两项式；（2）两项符号相反（一正一负）；（3）每一项都能写成某个整式的平方形式（即“平方项”）。 4.核心思路 先判断多项式是否为平方差结构，若有公因式，先提取公因式，再将两项分别写成 a2 和 b2的形式，最后代入公式分解，确保分解彻底。 例1.把下列各式因式分解: (1)25-16x2; (2)9a2-b2. 解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x); (2)9a2-b2=(3a)2--(b)2=(3a+b)(3a-b). 探究二：用平方差公式法因式分解的步骤可 1.一判：判断是否符合平方差结构，检查多项式是否为两项式，且两项符号相反，每项都能写成某个整式的平方形式。 2.二提：先提取公因式（若有），如果多项式各项含有公因式，先提取公因式，使剩余部分更易观察是否符合平方差公式。例：2x2 - 8 = 2(x2 - 4) 3.三转：转化为 a2 - b2形式，将两项分别写成 a2和 b2的形式，确定 a 和 b（a、b 可以是单项式或多项式）。例：x2 - 4 = x2 - 22，这里 a = x，b = 2。 4.四代：代入平方差公式分解，代入公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，写出因式分解结果。例：x2- 22= (x + 2)(x - 2) 5.五查：检查是否分解彻底，确认每个因式不能再分解（无公因式、无平方差结构等），若还能分解则继续分解。例：2x2 - 8 = 2(x + 2)(x - 2)，已分解彻底。 用平方差公式法因式分解的步骤可以总结为“一判、二提、三转、四代、五查”： 例2.把下列各式因式分解: (1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)2x3-8x. 解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n一m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n); (2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2). 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项4x2+y2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；B选项-a2+81，能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；C选项-25m2-n2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；D选项p2-2p+1，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误，故选B． 2. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n），故选C． 3.2025年中国“人造太阳”EAST实现1亿摄氏度高温下持续运行1066秒的世界纪录，其中核聚变反应的能量计算涉及平方差模型。若代数式 (108)2 - (9.9×107)2 可通过平方差公式因式分解，则分解结果正确的是（ ） A. (108- 9.9×107)(108- 9.9×107) B. (108 + 9.9×107)(108- 9.9×107) C. (108 + 9.9×107)2 D. (108+ 9.9×107)(9.9×107- 108) 【答案】：B 【解析】：平方差公式的核心是 a2 - b2= (a + b)(a - b) ，需满足“两数平方差”的形式。本题中 a = 108， b = 9.9×107，直接套用公式可得 (108)2- (9.9×107)2 = (108+ 9.9×107)(108- 9.9×107) 。选项A混淆“和与差”为两个差相乘，选项C错误用完全平方公式，选项D颠倒后项符号，均不符合公式规则。 4.下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.x2-4　　　　B.-x2-y2+2xy　　　　C.m2n2-1　　　　D.a2-4b2 【答案】　B　 【解析】A.x2-4=(x+2)(x-2),故此选项不符合题意;B.-x2-y2+2xy不能用平方差公式分解因式,故此选项符合题意;C.m2n2-1=(mn+1)(mn-1),故此选项不符合题意;D.a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故此选项不符合题意.故选B. 5.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 【答案】　A　 【解析】∵a2-25b2=(a+5b)(a-5b)=4,a-5b=4,解得a+5b=16.故选A. 6.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　　　　　　B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　　　　　　D.x2-x=x(x-1) 【答案】　B　 【解析】第一个图形中的空白部分的面积是x2-1,第二个图形的面积是(x+1)(x-1), 则x2-1=(x+1)(x-1).故选B. 7.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2021　　　　B.2022　　　　C.2023　　　　D.2024 【答案】D　 【解析】设两个连续的奇数为n,n+2,则(n+2)2-n2=(n+2+n)(n+2-n)=4n+4. A.4n+4=2021,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;B.4n+4=2 022,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;C.4n+4=2 023,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;D.4n+4=2 024,解得n=505,n是奇数,故符合题意.故选D. 8.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是(　　) A.102030　　　　B.103020　　　　C.101030　　　　D.102010 【答案】　C　 【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x-y)(2x+y),∵x=10,y=10,∴2x-y=2×10-10=10,2x+y=2×10+10=30,∴这个密码可以是101030,故选C. 9．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定 【答案】　B　 【解析】∵(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)，a，b，c是三角形的三边，∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，∴(a－b)2－c2的值是负数． 10.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是(　　) A．205 B．250 C．502 D．520 【答案】D　 【解析】设较小的奇数为x，较大的为x＋2，根据题意得(x＋2)2－x2＝(x＋2－x)(x＋2＋x)＝4x＋4.若4x＋4＝205，即x＝，不是整数，不符合题意；若4x＋4＝250，即x＝，不是整数，不符合题意；若4x＋4＝502，即x＝，不是整数，不符合题意；若4x＋4＝520，即x＝129，符合题意． （二）．填空题 11．分解因式：x2－9＝____． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】直接运用平方差公式分解因式x2－9＝(x＋3)(x－3). 12．分解因式：9x2－1＝____． 【答案】(3x＋1)(3x－1) 【解析】：9x2－1＝(3x)2－12＝(3x＋1)(3x－1). 13.分解因式：2a2－18＝____． 【答案】2(a＋3)(a－3) 【解析】2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a－3). 14.在实数范围内分解因式：xy2－4x＝____． 【答案】x(y＋2)(y－2) 【解析】xy2－4x＝x(y2－4)＝x(y＋2)(y－2). 15.分解因式：a2b－4b3＝____． 【答案】b(a＋2b)(a－2b) 【解析】a2b－4b3＝b(a2－4b2)＝b(a＋2b)(a－2b). 16.分解因式(a＋b)3－4(a＋b)＝__(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2)__． 【答案】(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2) 【解析】原式＝(a＋b)[(a＋b)2－4]＝(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2). 17.计算:101×1022-101×982=　　　　.  【答案】80 800 【解析】101×1022-101×982=101×(1022-982)=101×(102+98)×(102-98)=101×200×4=80 800. 18.现有下列多项式:①1-a2;②a2-2ab+b2;③4a2-9b2;④3a3-12a.在因式分解的过程中用到“平方差公式”的有　　　　.(只需填上序号即可)  【答案】　①③④ 【解析】　①1-a2=(1+a)(1-a),用到了平方差公式;②a2-2ab+b2=(a-b)2,未用到平方差公式;③4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b),用到了平方差公式;④3a3-12a=3a(a2-4) =3a(a+2)(a-2),用到了平方差公式.∴在因式分解的过程中用到“平方差公式”的有①③④, 故答案为①③④. 19.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  【答案】1 【解析】∵3m-n=1,∴9m2-n2-2n=(3m+n)(3m-n)-2n=3m+n-2n=3m-n=1,故答案为1. 20.若496-1可以被60~70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  【答案】63,65 【解析】496-1=(448+1)(448-1)=(448+1)(424+1)(424-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(412-1) =(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(46-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(43+1)(43-1), ∵43+1=65,43-1=63,∴496-1可以被60~70之间的65,63整除,故答案为63,65. （三）．解答题 21. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 解：（1）原式＝＝＝10 （2）原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝××××××…××××＝×＝ 22．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b>0)的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积． (2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积． 解：(1)由题意得阴影部分的面积为a2－4b2. (2)∵a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，当a＝15.4，b＝3.7时，原式＝(15.4＋7.4)(15.4－7.4)＝22.8×8＝182.4. 23.如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）. 解：所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土. 24. 阅读题： 我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下： 原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1. 你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看. （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）. 解： 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=. 25．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”理由如下：36=102-82，2016=1008×2； （2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数； （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.因式分解的平方差公式是逆向运用乘法平方差公式推导而来，其表达式为：a2-b 2= _。 2.运用平方差公式因式分解的前提是：多项式为______项式，且两项符号______（填“相同”或“相反”），每项都能写成某个整式的______形式。 3.平方差公式中，“a”和“b”不仅可以是单独的字母或数字，还可以是______，例如(x + 2)2- y2中，“a”对应______，“b”对应______。 4.分解因式时，若多项式各项存在公因式，应先______，再运用平方差公式，确保因式分解______（填“彻底”或“部分”）。 5.分解因式：x2- 1 = ________；4y2 - 25 = _______。 6.分解因式：9a2- (b - c)2=_______；x3- x = _________（提示：先提公因式）。 7.若多项式m2- kn2能运用平方差公式因式分解，则整数k必须是______（填“正”或“负”）的______数，例如k = ______（写出一个即可）。 8.分解因式：(x + y)2- (x - y)2= ___________；16(x - 1)2 - 9(y + 2)2= _________。 9.平方差公式因式分解的结果特征是：两个______的积，其中一个因式是两平方项的______，另一个因式是两平方项的______。 10.若a + b = 3，a - b = 2，则a2 - b2的值为______，其依据是______公式。 【答案】1.(a + b)(a - b) 2.二；相反；完全平方 3.整式（或多项式）；x + 2；y 4.提取公因式；彻底 5.(x + 1)(x - 1)；(2y + 5)(2y - 5) 6.(3a + b - c)(3a - b + c)；x(x + 1)(x - 1) 7.正；完全平方；4（或1、9等，答案不唯一） 8.4xy；[4(x - 1) + 3(y + 2)][4(x - 1) - 3(y + 2)]（或化简为(4x + 3y + 2)(4x - 3y - 10)） 9.整式；和；差 10.6；平方差 （二）强化训练 一．选择题 1．因式分解a2－4的结果是(　　) A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2 C．(a＋2)2 D．a(a－2) 【答案】A 【解析】：原式＝(a＋2)(a－2). 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2 【答案】C 【解析】：A.a2＋b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；B.2a－b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；C.a2－b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；D.－a2－b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误． 3．分解因式结果为－(2a＋b)(2a－b)的多项式是(　　) A．4a2－b2 B．4a2＋b2 C．－4a2－b2 D．－4a2＋b2 【答案】D 【解析】：－4a2＋b2＝－(4a2－b2)＝－(2a＋b)(2a－b). 4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】（b3+2）（2-b3）=4-b6，故选B． 5.八年级学生在古诗背诵打卡活动中，遇到杜甫《望岳》“岱宗夫如何？齐鲁青未了”，老师以“齐鲁地域面积”设计数学问题：若某区域面积可表示为 4x2 - 9y2（单位：平方千米），其中 x 、 y 为正数，下列因式分解正确的是（ ） A. (2x - 3y)(2x - 3y) B. (4x + 9y)(4x - 9y) C. (2x + 3y)(2x - 3y) D. (2x + 3y)(3y - 2x) 【答案】：C 【解析】：先将多项式转化为平方差标准形式： 4x2 = (2x)2 ， 9y2= (3y2)，因此 4x2- 9y2 = (2x)2- (3y)2。根据平方差公式 a2- b 2= (a + b)(a - b) ，此处 a = 2x ， b = 3y ，故分解结果为 (2x + 3y)(2x - 3y) 。选项A是完全平方公式的错误应用，选项B误将系数直接作为平方项，选项D颠倒后项符号导致结果符号错误。 6. 若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数 【答案】A 【解析】(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(11+2n)，所以可以被11整除，故选A. 7．下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】③－1＋a2，符合公式特点，能用平方差公式分解因式；①x2＋y2；②－x2－4y2，④0.081a2－b2不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式． 8．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 【答案】B 【解析】根据等式右边第一个因式是(x2＋4)则可判断另一个因式是(x2－4)，再把(x2－4)分解，可得(x＋2)(x－2)，得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16. 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a2c2－b2c2＝a4－b4，得a4＋b2c2－a2c2－b4＝(a4－b4)＋(b2c2－a2c2)＝(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝(a＋b)(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∵a＋b＞0， ∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 10.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) 【答案】B 【解析】由题图可知，图1的面积为：x2－12，图2的面积为：(x＋1)(x－1)， 所以x2－1＝(x＋1)(x－1). 二．填空题 11．因式分解：a3－ab2＝____． 【答案】a(a＋b)(a－b) 【解析】a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b). 12．因式分解：m3n2－m＝____． 【答案】m(mn＋1)(mn－1) 【解析】m3n2－m＝m(m2n2－1)＝m(mn＋1)(mn－1). 13．因式分解：－2ax2＋2ay2＝____． 【答案】－2a(x－y)(x＋y) 【解析】－2ax2＋2ay2＝－2a(x2－y2)＝－2a(x－y)(x＋y). 14．若m2－n2＝12，且m－n＝4，则m＋n＝____． 【答案】3 【解析】由m2－n2＝12得(m－n)(m＋n)＝12，把m－n＝4代入得4(m＋n)＝12，所以m＋n＝3. 15．观察下列各式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；……把你发现的规律用含n的等式表示出来____． 【答案】(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n 【解析】∵被减数的底数、减数的底数是相邻的两个奇数，∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n. 16．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）. 【答案】答案不唯一，如-1，-4 【解析】要让 x2+ ky2 在有理数范围内因式分解，需要 k 是负的完全平方数，比如 k = -4，此时：x2- 4y2 = (x + 2y)(x - 2y) 17．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ． 【答案】4 【解析】已知 x + y = 2，对 x2-y2+ 4y 因式分解并代入：x2- y2+ 4y = (x + y)(x - y) + 4y，将 x + y = 2 代入得：2(x - y) + 4y = 2x - 2y + 4y = 2x + 2y = 2(x + y) = 2×2 = 4 18.分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= . 【答案】（a-b）（3x+y）（3x-y） 【解析】9x2(a - b) + y2(b - a) = 9x2(a - b) - y2(a - b) = (a - b)(9x2- y2) = (a - b)(3x + y)(3x - y) 19 若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 【答案】12 【解析】已知 a + b = 4，a - b = 1，化简 (a + 1)2 - (b - 1)2：(a + 1)2 - (b - 1)2 = [(a + 1) + (b - 1)][(a + 1) - (b - 1)] = (a + b)(a - b + 2)代入 a + b = 4，a - b = 1：原式＝4×(1 + 2) = 4×3 = 12 20．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 【答案】2026. 【解析】原式＝(+ )(—— )=-xy=2026 三．解答题 21. 利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） (1) （2） 解：（1）原式=（201+199）×（201-199）=400×2=800； （2）原式=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98． 22.观察下列各式: 32-12=8×1; 52-32=8×2; 72-52=8×3; 92-72=8×4; … (1)根据你发现的规律直接写出第八个式子; (2)请你用一个含n(n为正整数)的等式来表示上述规律,并说明其正确性. 解:(1)172-152=8×8. (2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为正整数). 说明其正确性如下:左边=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n=右边,所以等式成立. 23.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数. (1)32这个数是奇特数吗?若是,表示成两个连续奇数的平方差形式. (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么? (3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积. 解：（1）∵32=92-72,∴32是奇特数; （2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数,理由:(2n+1)2-(2n-1)2= (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数; (3)S=392-372+352-332+…+72-52+32-12=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(3+1)(3-1) =(39+37+35+33+…+3+1)×2==800. 24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”理由如下：36=102-82，2016=1008×2； （2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数； （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500． 25. 老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…… (1)请你写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式； (2)用文字写出反映上述算式的规律； (3)说明理由． 解：(1)112－92＝8×5，132－112＝8×6　(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数　(3)理由：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)，当m，n同是奇数或偶数时，(m－n)一定是偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；当m，n一奇一偶时，则(m＋n＋1)一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．所以，任意两奇数的平方差是8的倍数． 26. (1)观察下列各式： 13＋23＝1＋8＝9＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2， ∴13＋23＋33＋43＋53＝225＝(____________________)2. (2)根据以上规律填空： 13＋23＋33＋…＋n3＝＝(____________________)2. (3)根据以上规律求113＋123＋133＋143＋153的值． 解：(1) 1＋2＋3＋4＋5 (2) 1＋2＋3＋…＋n (3)原式＝(13＋23＋…＋153)－(13＋23＋…＋103)＝(1＋2＋…15)2－(1＋2＋…＋10)2＝1202－552＝(120＋55)(120－55)＝175×65＝11375 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $