精品解析：重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级上学期第四次自主作业数学试卷

重庆育才中学教共体初2026届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共四道大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3. 下列采用的调查中，最合理的是（ ） A. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，采用抽样调查 B. 调查初三某班学生的体育模拟成绩，采用抽样调查 C. 调查某超市售卖柑橘的酸甜度情况，采用全面调查 D. 调查某批次节能灯的使用寿命，采用全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的适用情境，理解抽样调查与全面调查的概念是解题的关键． 根据全面调查适用于调查对象数量较少、调查不具破坏性或破坏性影响小的情况；抽样调查适用于对象数量多，具有坏性或耗时耗力的情况；逐一判断即可． 【详解】A：调查新能源汽车的抗撞能力具有破坏性，且车辆数量较多，采用抽样调查合理，故A正确； B：调查一个班级学生的体育模拟成绩，对象数量少且无破坏性，应采用全面调查，故B错误； C：调查柑橘的酸甜度具有破坏性，且柑橘数量较多，应采用抽样调查，故C错误； D：调查节能灯的使用寿命，耗时耗力，且灯数量较多，应采用抽样调查，故D错误． 故选：A． 4. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数上的点的特征，熟练掌握反比例函数上的点的特征是解题的关键． 由，得到，再逐一运算判断即可． 【详解】∵， ∴， A：，故A点不在图像上； B：，故B点不在图像上； C：，故C点不在图像上； D：，故D点在图像上； 故选：D． 5. 根据规划，到2025年12月，重庆轨道交通运营里程将达到约522540米，将522540用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 利用科学记数法直接解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 6. 中国电动摩托车产业加速向绿色化转型，重庆作为“中国摩托车之都”，宗申集团的电动摩托车销量从2022年的万辆增长到2024年的万辆，若2022年到2024年的年平均增长率相同．设每年的销量增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查年平均增长率问题（一元二次方程的应用），从2022年到2024年经历了两年增长，列出方程即可． 【详解】解：设每年的销量增长率为， ∴ 2023年销量为， 2024年销量为， 又∵ 2024年销量为万辆， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，用相同的黑色棋子按规律摆放，其中第①个图形中有7个黑色棋子，第②个图形中有10个黑色棋子，第③个图形中有13个黑色棋子，第④个图形中有16个黑色棋子……按照这一规律，则第7个图中黑色棋子的个数是（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化类，解题的关键是找出图形中黑色棋子个数的变化规律． 得到规律第n个图形有黑色棋子（个），据此即可求解． 【详解】解：第①个图形中有7个黑色棋子，即 第②个图形中有10个黑色棋子，即 第③个图形中有13个黑色棋子，即 第④个图形中有16个黑色棋子，即 ∴第n个图形有黑色棋子（个） ∴ 第7个图中黑色棋子的个数是， 故选：B． 8. 如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，四边形是正方形，点是线段上一点，连接并延长至点，连接、，连接分别交、于点，若，，，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点和准确添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作交于点，由求出的长度，由勾股定理得出、的长度，通过假设未知数，结合，求出正方形的边长，即可得的长度，再通过可求出的长度，最后计算出的长度． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 令，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 令，则， 同理可证， ∴， 解得， ∴， 故选D． 10. 已知整式，其中均为整数，为正整数，满足且，令． ①所有符合条件的整式的次数不超过4次； ②当且时，符合条件的整式中，的最大值与最小值的差为6； ③当时，所有符合条件的整式的和为． 以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的系数约束条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过分析次数上限可验证说法①；通过枚举且时的所有可能系数组合计算的极差可验证说法②；通过枚举时的所有可能多项式并求和可验证说法③． 【详解】解：∵M的系数为整数且严格递减，即，且， ①若，则至少有个系数，为使平方和最小，系数绝对值应尽可能小，当系数为，，，，，时，， 因此不能为或更大，故次数不超过次，说法①正确； ②当且时， 可能系数组合：，，，则； ，，，则； ，，，则； ∴最大值为，最小为， 差，②正确； ③当时，所有可能多项式：，，，，， 求和： 项系数和； 项系数和； 项系数和； 常数项和。 ∴和为，③正确； 综上，三个说法均正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 优先化简三角函数和零指数幂，再根据运算法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，熟练掌握运算方法是解题的关键． 根据概率公式，计算红球数量与总球数的比值即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 13. 若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 估算解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 15. 如图，是的直径，点D为弦上一点，连接并延长交于点E，连接、，以、为邻边作平行四边形，其中的延长线交于点G，连接，若，，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用以上知识点进行分析是解题的关键．设，运用勾股定理，通过建立方程，解方程，再求得的长；设交于点K，先求，，再证，，最后运用，求得的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴在中， ， 同理，在中， ， ∴， ∵平行四边形，， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，，，， 又∵， ∴， 解得， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设交于点K， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ， 中， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 一个四位数，各个数位上的数字均不为0，若千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为8，那么称这个数是“对称和数”．将一个“对称和数”其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新的三位数，把这四个新三位数的和与4的商记作．例如：对于四位数1573，∵，则1573为“对称和数”，∴．若一个四位数（，均为整数，且）是“对称和数”，另有一四位数，若（为整数），则________，在此条件下，除以4余数为2，则符合条件的的最大值与最小值之差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义“对称和数”的理解与应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先运算出的表达式，再代入分析取值范围即可；化简出的值，根据关于的条件，结合的结果，求解出所有可能的值，进而得到最大值与最小值即可求解． 【详解】解：根据“对称和数”的定义可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵ ，则， ∴， ∵，， ∴要使是一个完全平方数，且，只有当时，，满足条件； ∵， ∵除以余数为， ∴设 整理可得： ∵， 整理可得：， 代入得： 化简可得： ∴ ∵是的倍数， ∴为的倍数， 由得，即或， ∴当时，代入得为16的倍数，即为16的倍数， 故为的倍数，结合取值范围得：，，，，； 当时，代入得为16的倍数，即为16的倍数， 故为16的倍数，结合取值范围得：，，，，； ∴最大值与最小值之差为：； 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解之和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先根据一元一次不等式组的解法求出不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为 ∴不等式组整数解是：，，，， ∴满足原不等式组的所有整数解的和为． 18. 如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：在射线上截取，作的角平分线交边的延长线于点，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）所作的图中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是矩形， ∴，∴， ∵平分， ∴________，∴， ∴________， ∵，∴________， ∵，∴四边形是________． ∵， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）；；；平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作线段、作角平分线，矩形的性质，平行四边形和菱形的判定，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在射线上截取，作的角平分线交边的延长线于点，连接即可； （）由四边形是矩形，则，所以，又平分，得，从而可证，然后证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：；；；平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆正推进人工智能赋能基础教育，近期举办了以“渝见智能·共育未来”为主题的人工智能赋能基础教育现场会，明确要让与基础教育深度融合．某校积极响应这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称A款）、“豆包教学辅助工具”（简称B款），开展了教师对A，B两款备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的对B款备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有600名教师对A款备课辅助软件进行评分，有500名教师对B款备课辅助软件进行评分，请估计对备课辅助软件不满意的共有多少人？ 【答案】（1） （2）A款，理由见解析 （3）135人 【解析】 【分析】此题考查了中位数、众数等统计量的应用、样本估计总体、扇形统计图等知识，准确掌握各统计量的求解方法和意义是解题的关键． （1）根据已知数据的百分比即可求出a的值，根据中位数的定义即可求出b的值，根据众数的定义即可求出c的值； （2）根据非常满意的占比进行解答即可； （3）根据样本估计总体的知识进行解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 即， 不满意和比较满意的人数为（人） 满意的人数为人， ∵中位数为第个和个数据的平均数， ∴， 抽取的对B款备课辅助软件的评分数据中出现次数最多的是，即抽取的对B款备课辅助软件的评分数据的众数为，即， 故答案为： 【小问2详解】 我认为A款备课辅助软件更受教师喜爱． 因为A款备课辅助软件评分统计中“非常满意”所占百分比大于B款备课辅助软件评分统计中“非常满意”所占百分比，所以A款备课辅助软件更受教师喜爱．（任意合理理由都可以） 【小问3详解】 （人）， 答：估计对备课辅助软件不满意的共有135人． 20. 先化简，再求值：，其中m为方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据m为方程的解，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 为的解 ， ∴， 原式． 21. 重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． （1）求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【答案】（1）制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个 （2）8个 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，乙比甲多用4天，据此列方程，解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，依题意得： 解得 制作一个甲款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 制作一个乙款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 答：制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个． 【小问2详解】 设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，依题意得： 解得： 检验：当时是原方程的解． 乙每天增加个 答：每天生产的乙款传感器的增加的数量为8个． 22. 如图，在菱形中，对角线，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着方向运动，连接．设点P、Q的运动时间为x秒（），点P到的距离与点P到的距离之和为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）当时，随的增大而减小，图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别考虑当、两种情况与的函数关系式； （2）利用面积与路程之比可直接求得与的关系式，画出函数图象，并描述函数性质； （3）根据图象找出符合不等关系的的值． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，对角线，， ∴，，， ∴， ∴， 当点P上时，即， 过点P作于点E， 则，， ∴； 当点P在上时，即， 过点P作于点E， 则， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：过Q作于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 图象如下： 由图象知：当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，． 【点睛】本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求两地的距离（结果保留根号）； （2）小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【答案】（1）米； （2）1946米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案； （2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； 【小问2详解】 解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点A，B代入可得a，b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）过点P作交直线于点M，交x轴于点N，先根据抛物线在x，y轴的交点情况求出各交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，，，利用待定系数法求得直线解析式，再设，，，得出，的表达式，将进行转化得到开口向下的二次函数解析式，进而求得最大值时a的值，过点A作轴，过点P作，的最小值即为线段的长度，即可得解； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，利用轴对称的性质作出相应的点，并画出相关的辅助线，结合已知条件并通过相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用得出相关线段的值并求得相关点坐标，利用待定系数法得出对应直线的一次函数解析式，并联立新抛物线解析式即可得出点R的横坐标． 【小问1详解】 解：∵，在抛物线上， 将点A，B代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点P作交直线于点M，交x轴于点N， 由抛物线解析式可得点C坐标为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线解析式为， 将点B，C代入得，，解得， ∴直线的解析式为：， 设，，则， ∴，， ∴ ， 当时，取得最大值， ∴， 过点A作轴，过点P作， ∴的最小值即为线段的长度， ∴． 【小问3详解】 解：∵沿射线方向平移个单位， ∴新抛物线解析式为， 如图，过点C作x轴对称点，连接，将绕点A逆时针旋转得，交y轴于点D，交于点R， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线解析式为， 代入点A，D得，，解得， ∴直线解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 过点D作的对称点E，连接并延长交于点，再过点O作的对称点F，连接，连接交于点N，连接交于点M， ∴，， ∴， 过点D作x轴对称点，连接， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 过点F作， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 将②代入①得，，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点D代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵M为中点， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点R的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用． 25. 如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于F． （1）如图1，连接，当，时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点G为线段上一点，当，时，探究、的数量关系，并证明； （3）如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先用表示，再用表示，最后根据得出结果； （2）过E作，截取，连接，，过G作于M，先证，再证四边形为平行四边形，最后根据等腰三角形性质及含的直角三角形的三边数量关系得出结果； （3）过E作且，连接，，与交于点K，证明，，得出结论当点M位于中点处，取得最小值，再运用算出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ，理由如下： 过E作，截取， 连接，，过G作于M， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图1，过E作且，连接，，与交于点K， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点M与点K重合时， 取得最小值， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即当点M位于中点处，取得最小值， 如图2，当A、M、H共线时， ∵，， ∴， ∵点M位于中点处， ∴， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点为P， ∴． 如图3，连接交于点R，过点B作，过点M作， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解特殊的直角三角形以及动点最值问题，综合难度大，巧妙构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共四道大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列采用的调查中，最合理的是（ ） A. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，采用抽样调查 B. 调查初三某班学生的体育模拟成绩，采用抽样调查 C. 调查某超市售卖柑橘的酸甜度情况，采用全面调查 D. 调查某批次节能灯的使用寿命，采用全面调查 4. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据规划，到2025年12月，重庆轨道交通运营里程将达到约522540米，将522540用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 中国电动摩托车产业加速向绿色化转型，重庆作为“中国摩托车之都”，宗申集团的电动摩托车销量从2022年的万辆增长到2024年的万辆，若2022年到2024年的年平均增长率相同．设每年的销量增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用相同的黑色棋子按规律摆放，其中第①个图形中有7个黑色棋子，第②个图形中有10个黑色棋子，第③个图形中有13个黑色棋子，第④个图形中有16个黑色棋子……按照这一规律，则第7个图中黑色棋子的个数是（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 8. 如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点是线段上一点，连接并延长至点，连接、，连接分别交、于点，若，，，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 已知整式，其中均整数，为正整数，满足且，令． ①所有符合条件的整式的次数不超过4次； ②当且时，符合条件的整式中，的最大值与最小值的差为6； ③当时，所有符合条件的整式的和为． 以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 12. 不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为________． 13. 若，则________． 14. 因式分解x3－9x=__________． 15. 如图，是的直径，点D为弦上一点，连接并延长交于点E，连接、，以、为邻边作平行四边形，其中的延长线交于点G，连接，若，，，则________，________． 16. 一个四位数，各个数位上的数字均不为0，若千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为8，那么称这个数是“对称和数”．将一个“对称和数”其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新的三位数，把这四个新三位数的和与4的商记作．例如：对于四位数1573，∵，则1573为“对称和数”，∴．若一个四位数（，均为整数，且）是“对称和数”，另有一四位数，若（为整数），则________，在此条件下，除以4余数为2，则符合条件的的最大值与最小值之差为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解之和． 18. 如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：在射线上截取，作角平分线交边的延长线于点，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）所作的图中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是矩形， ∴，∴， ∵平分， ∴________，∴， ∴________， ∵，∴________， ∵，∴四边形是________． ∵， ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆正推进人工智能赋能基础教育，近期举办了以“渝见智能·共育未来”为主题的人工智能赋能基础教育现场会，明确要让与基础教育深度融合．某校积极响应这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称A款）、“豆包教学辅助工具”（简称B款），开展了教师对A，B两款备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的对B款备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有600名教师对A款备课辅助软件进行评分，有500名教师对B款备课辅助软件进行评分，请估计对备课辅助软件不满意的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中m为方程的解． 21. 重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． （1）求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 22. 如图，在菱形中，对角线，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着方向运动，连接．设点P、Q的运动时间为x秒（），点P到的距离与点P到的距离之和为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求两地的距离（结果保留根号）； （2）小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于F． （1）如图1，连接，当，时，求度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点G为线段上一点，当，时，探究、的数量关系，并证明； （3）如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $