寒假培优——圆柱的体积（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

寒假预习讲义：圆柱的体积 【知识梳理+例题讲解+提升练习】 知识点梳理 一、圆柱体积的核心定义 圆柱的体积是指圆柱所占空间的大小，等于所有底面相同、高为圆柱高的小圆盘体积之和。 二、圆柱体积公式的推导（贴合教材核心逻辑） 将圆柱沿底面半径和高切成若干等份，拼接成一个近似的长方体： 长方体的底面积 = 圆柱的底面积（ ） 长方体的高 = 圆柱的高（ ） 因为长方体体积 = 底面积×高，所以圆柱体积 = 底面积×高，用字母表示为： 三、体积公式的多种表达形式 根据已知条件的不同，衍生出3种常用公式： 1.已知底面半径 和高 ： 2.已知底面直径 和高 ： 3.已知底面周长 和高 ：先推导半径 ，再代入得 四、特殊圆柱的体积计算 空心圆柱（如钢管、水泥管）：体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积 公式： （ 为外半径， 为内半径） 五、等积变形的核心应用 当圆柱形状发生变化（如熔铸、排水法），体积保持不变，解题关键是抓住“体积相等”建立等量关系。 六、解题通用步骤 1.分析：判断圆柱类型（实心/空心）、是否涉及等积变形； 2.找量：提取已知条件，统一单位（如米→厘米）； 3.计算：代入对应公式分步计算； 4.检验：检查单位是否正确，结果是否符合实际意义。 例题讲解 【典型例题1】基础圆柱体积计算 题目：计算下列圆柱的体积（ 取3.14）： (1) 底面半径3厘米，高8厘米； (2) 底面直径6分米，高10分米； (3) 底面周长18.84米，高5米。 分析：根据不同已知条件，选择对应公式计算，注意单位统一。 解答： (1) 直接代入半径公式： （立方厘米） (2) 先算半径： （分米），再计算： （立方分米） (3) 先算半径： （米），再计算： （立方米） 答：(1)体积为226.08立方厘米；(2)体积为282.6立方分米；(3)体积为141.3立方米。 【跟踪练习1】 (1) 圆柱底面半径5厘米，高12厘米，求体积； (2) 圆柱底面直径8分米，高15分米，求体积； (3) 圆柱底面周长25.12米，高6米，求体积。 【典型例题2】空心圆柱体积计算 题目：一根钢管，外直径10厘米，内直径8厘米，长2米，求这根钢管的体积是多少立方厘米？（ 取3.14） 分析：先统一单位（2米=200厘米），再用空心圆柱体积公式计算，注意区分外半径和内半径。 解答： 外半径 （厘米），内半径 （厘米） 体积 （立方厘米） 答：这根钢管的体积是5652立方厘米。 【跟踪练习2】 一个水泥管，外半径6分米，内半径5分米，长3米，求水泥管的体积是多少立方分米？（ 取3.14） 【典型例题3】等积变形实际应用 题目：把一个底面半径4厘米、高10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个长16厘米、宽5厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（ 取3.14） 分析：熔铸前后体积不变，先计算圆柱体积，再用长方体体积公式反推高（ ）。 解答： 圆柱体积 （立方厘米） 长方体的高 （厘米） 答：长方体的高是6.28厘米。 【跟踪练习3】 一个圆柱形水槽，底面半径20厘米，水深10厘米，放入一个圆柱形铁块后，水面上升到12厘米，铁块的高是16厘米，求铁块的底面积是多少平方厘米？（ 取3.14） 巩固练习 一、填空题 1．手工课上，云云将两段同样的圆柱形木块叠放在一起，表面积减少了25.12cm2，若每个小圆柱的高是5cm，则叠放后的圆柱的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 2．如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是　 　平方厘米，体积是　 　立方厘米。 3．高新区某学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径是4m，高是0.8m。如果里面填土的高度是0.5m，两个花坛一共需要填土　 　立方米。 4． 一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2。原来的这个正方体木料的体积是　 　cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是　 　cm3。 5．如图，将一个底面直径6dm、高6dm的圆柱切开，拼成一个近似的长方体。长方体的体积是　 　dm3，长方体的表面积比圆柱的表面积增加　 　dm2。 二、判断题 6．长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高的方法计算。(　　) 7．一个圆柱和一个长方体等底等高时，他们的体积相等。(　　) 8．用两张同样的长方形纸卷成两个不同的圆柱，它们的体积相等。(接缝处忽不计)。(　　) 9．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的 ，它的体积不变。(　　) 10．两个圆柱的侧面积相等，体积也一定相等。(　　) 三、选择题 11． 一张长方形纸板的长是20cm，宽是10cm，以它的一条边所在直线为轴旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形所占的空间是(　　)cm3。 A．12560 B．6280 C．1570 D．6280或12560 12．一个圆柱的高不变，如果它的底面半径扩大到原来的3倍，那么它的体积(　　)。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 13．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米(水没有溢出)。这块石头的体积是 (　　)立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 14．将一个圆柱形木块沿着它的底面直径切两刀，切成四部分，表面积增加了512平方厘米，且每个切面均为正方形，原来这个圆柱形木块的体积是(　　)立方厘米。 A．678.24 B．200.96 C．1607.68 D．3215.36 15．水是生命之源，成人一般每天需要喝1500~2000 mL的水。小明的爸爸用一个从内部量底面直径为6 cm、高为10 cm的圆柱形杯子喝水，一天至少要喝(　　)杯水才能满足身体的需要。 A．5 B．6 C．8 D．10 四、解决问题 16．阳光农场要在一块长 10m、宽8m 的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，挖成的水池深5m。 （1）在这个水池的底面和侧面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个水池最多能蓄水多少吨？(1m3水重1t) 17．一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面周长是31.4m，深2.4m。在它的侧面与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？蓄水池的容积是多少立方米？ 18．一个圆柱的高增加了2cm，其表面积增加了25.12 cm2(如下图)。 （1）想要求出这个圆柱现在的体积，还缺少一个条件，请你把条件补充完整。我补充的条件是　 　。 （2）根据你补充的条件求出这个圆柱现在的体积。 答案解析部分 【跟踪练习1】 (1) 答案：942立方厘米 解析： （立方厘米） (2) 答案：753.6立方分米 解析：半径 （分米）， （立方分米） (3) 答案：301.44立方米 解析：半径 （米）， （立方米） 【跟踪练习2】 答案：1036.2立方分米 解析：3米=30分米， （立方分米） 【跟踪练习3】 答案：157平方厘米 解析：水面上升的体积=铁块体积，上升体积 （立方厘米），铁块底面积 （平方厘米） 【巩固练习】 1．150.72；125.6 2．62.8；37.68 3．12.56 4．1000；753.6 5．169.56；36 6．正确 7．正确 8．错误 9．错误 10．错误 11．D 12．C 13．D 14．C 15．B 16．（1）解： =125.6+3.14×16 =125.6+50.24 =175.84（平方米） 答：抹水泥部分的面积是175.84平方米。 （2）解： =3.14×16×5 =50.24×5 =251.2（吨） 答：这个水池最多能蓄水251.2吨。 17．解：侧面积： 底面积：3.14×（31.4÷3.14÷2）2 =3.14×25 =78.5（m2） 抹水泥的面积： 容积： 答： 在它的侧面与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是153.86平方米；蓄水池的容积是188.4立方米。 18．（1）这个圆柱原来的高为5cm （2）解：25.12÷2÷3.14÷2 =12.56÷3.14÷2 =4÷2 =2(cm) 答：这个圆柱现在的体积是87.92cm3。 1 学科网（北京）股份有限公司 $