6.2 认识一次函数 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第六章 一次函数 2 认识一次函数 第 1 课时 一次函数 列清单·划重点 知识点① 均匀变化 均匀变化是指一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的. 知识点❷ 一次函数的概念 若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 (k,b 为常数,k≠0)的形式，则称y是x的一次函数. 知识点❸ 正比例函数的概念 在一次函数y= kx+b(k,b 是常数,k≠0)中,当 ,即y= kx(k是常数,且k≠0)时，称y 是x 的正比例函数. 注意 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 明考点识方法 考点① 均匀变化 典例1 已知压强会随着物体在液体中深度的变化而变化.在物理实验中，小组利用压强传感器探究小物块所受水的压强和深度的关系.在一个玻璃仪器中，小强同学用细线一端将小物块系上，小物块沉于玻璃仪器底，另一端放置在玻璃仪器口，在小强将细线缓缓提升的过程中，小明同学记录了物块提升的高度x(单位：cm)和对应高度的压强值 y(单位：pa)的部分数据. 提升的高度x(单位: cm) … 5 10 15 25 … 压强值y(单位: pa) … 2940 2450 1960 980 ··· 表格中提升的高度x 和对应高度的压强值y是 (填“均匀”或“不均匀”)变化的. 变式 在探究水沸腾时温度变化特点的实验中，下表记录了实验中水的温度(℃)随时间(min)变化的数据.实验中温度的变化是均匀的. 时间/ min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 (1)若设实验中水的温度为 y℃，时间为x min,试写出 y 关于x 的关系式; (2)试求出18分钟时的水温. 考点❷ 一次函数的概念 典例2 已知函数 y= 当 m 时，它是一次函数；当m 时，它是正比例函数. 变式 已知关于x 的函数 (1)m取何值时，该函数是关于x 的一次函数? (2)m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数? 考点❸ 一次函数的实际应用 典例3 写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数. (1)在时速为 80 千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(时)之间的关系； (2)汽车从 A 站驶出，先走了 4 千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x 小时，那么汽车离开 A 站的路程 y(千米)与时间x(时)之间的关系； (3)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)(x>20)之间的关系. 变式写出下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数或正比例函数. (1)在时速 70 千米的匀速运动中，求路程s(km)与时间t(h)的函数关系; (2)有一个长为120 米，宽为110 米的长方形场地准备扩建，使长增加x 米，宽增加y米，且使长方形的周长为 500 米，求y 与x之间的关系； (3)民用电费标准每千瓦时为0.58 元，求电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系. 第2课时 一次函数与分档计费问题 列清单划重点 知识点 确定实际问题中的一次函数关系式的步骤 (1)分析题意； (2)根据已知条件找出等量关系； (3)写出一次函数关系式. 写出自变量的取值范围，自变量的取值范围要使实际问题有意义. 明考点 识方法 考点● 分档计费问题 典例春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游. 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金 100元，另外每小时收费18 元. 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费 26 元. (1)设租车时间为x 小时(0<x≤24),租用甲公司的车所需费用为 y₁ 元，租用乙公司的车所需费用为 y₂ 元，分别求出y₁，y₂与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算. 变式1 小陆同学和家人一同从家出发观看跳水比赛，由于距离较远，决定打车前往。已知出租车的收费标准是起步价 8.5元(行程小于或等于3km)，超过3km每增加1km(不足 1km按1km计算)加收2元，则出租车费 y(单位：元)与行程x(单位：km，x>3且为整数)之间的关系式为 变式2 4月 23日是“世界读书日”.甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动. 甲书店：所有书籍按标价8折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过 200元的按原价计费，超过 200元后的部分打6折. 以x(x>200，单位：元)表示标价总额，y甲(单位：元)表示在甲书店应支付金额，y乙(单位：元)表示在乙书店应支付金额. (1)就两家书店的优惠方式，分别求y甲，y乙与x的函数关系式； (2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？ 变式3 为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费。为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表： 用户每月用水量(m³) 32 及其以下 33 34 35 36 37 户数(户) 200 160 180 220 240 210 用户每月用水量(m³) 38 39 40 41 42 43 及其以上 户数(户) 190 100 170 120 100 110 (1)为确保 70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米? (2)若将(1)中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费。设x表示每户每月用水量(单位：m³)，y表示每户每月应交水费(单位：元)，求 y与x的函数关系式； (3)某户家庭每月交水费是 80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米? 第1课时 一次函数 【列清单·划重点】 知识点2 y= kx+b 知识点3 b=0 【明考点·识方法】 典例1 均匀 变式 解：(1)因为每加热5分钟，水的温度均升高15℃, 所以每加热1分钟，水的温度均升高3℃，因为加热时间为0时，水的温度为10℃，所以y关于x的关系式为y=3x+10. (2)当x=18时,y=3×18+10=64. 答：18分钟时的水温是64℃. 典例2 ≠1 =-1 变式 解：(1)因为关于x的函数：y=(m+ 是关于x的一次函数， 所以|m|=1,m+1≠0, 所以m=1, 所以当m=1时，该函数是关于x的一次函数； (2)由(1)知,m=1, 因为该函数是关于x的正比例函数，所以n-3=0,所以n=3, 所以当m=1，n=3时，该函数是关于x的正比例函数. 典例3 解:(1)y=80x,是一次函数; (2)y=40x+4,是一次函数; (3)y=1.5(x-20)=1.5x-30,是一次函数. 变式 解:(1)s=70t; (2)y=-x+20;(3)y=0.58x. 其中(1)(3)是正比例函数,(1)(2)(3)都是一次函数. 第 2课时 一次函数与分档计费问题 【明考点·识方法】 典例1 解：(1)根据题意，得 18x(0<x≤24); y₂=26x(0<x≤24); (2)当100+18x<26x, 解得x>12.5, 所以当x>12.5h时，选择甲公司合算. 变式1 y=2x+2.5 变式2 解：(1)根据题意可得： 甲书店: yp=0.8x, 乙书店： 即 (2)当x≤200时,由0.8x<x,即甲店比较实惠； 当x>200时, 令0.8x=0.6x+80,解得x=400, 当200<x<400时,选择甲书店更省钱, 当x=400，甲乙书店所需费用相同， 当x>400，选择乙书店更省钱. 综上所述：当x<400时，选择甲书店更省钱；当x=400，甲乙书店所需费用相同；当x>400，选择乙书店更省钱. 变式3 解:(1)2 000×70%=1400(户),200+160+180+220+240+210+190=1400(户), 所以基本用水量最低应确定为38 m³. 答：为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为38立方米； (2)当0≤x≤38时,y=1.8x; 当x>38时,y=1.8×38+2.5(x-38)=2.5x-26.6. 综上所述：y与 x 的 函 数 关 系式为 (1.8x-0<-20.6<0>38), (3)因为1.8×38=68.4(元),68.4<80.9,所以该家庭当月用水量超出38立方米. 当y=2.5x-26.6=80.9时,x=43. 答：该家庭当月用水量是43立方米. 学科网（北京）股份有限公司 $