寒假专项提升：轴对称和平移(专项训练)-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

2025-2026学年五年级数学上册寒假专项提升（北师大版） 专题二：轴对称和平移 一、本单元知识考点 1. 轴对称图形的识别（判断平面图形是否为轴对称图形，明确对称轴的定义） 1. 对称轴的绘制与数量确定（能画出轴对称图形的对称轴，掌握常见图形的对称轴数量） 1. 平移的概念与特征（理解平移的方向、距离，知晓平移后图形的形状、大小不变） 1. 平移图形的绘制（能根据给定方向和距离，画出简单平面图形平移后的图形） 1. 轴对称与平移的实际应用（解决图形设计、图案欣赏等实际问题） 1. 组合图形的轴对称判断与平移变换（综合运用知识分析复杂图形的变换规律） 二、本单元知识重难点的突破方法 1. 重点突破：轴对称图形的识别与对称轴绘制 0. 识别轴对称图形：沿一条直线对折后，观察直线两侧的部分是否能完全重合，重合则为轴对称图形，这条直线就是对称轴。可通过折纸实操辅助判断，如长方形、正方形、等腰三角形等常见图形的对折验证。 0. 绘制对称轴：先找到图形中对应的关键点（如顶点、线段中点），过关键点作垂直平分线，确保直线两侧的对应部分完全重合；注意正多边形的对称轴数量与边数的关系（如正方形4条、正三角形3条）。 2. 难点突破：平移方向与距离的确定及图形绘制 0. 确定平移方向与距离：以图形的一个关键点（如左上角顶点）为参照，观察该点平移后的对应点，两点之间的方向即为图形平移方向，两点之间的格数（或长度）即为平移距离（注意：平移距离是对应点之间的线段长度，不是平移的格数总和）。 0. 绘制平移图形：①找出原图形的所有关键点；②按指定方向和距离平移每个关键点，得到对应点；③依次连接各对应点，形成平移后的图形。绘制时可借助方格纸，确保对应边平行且长度相等。 3. 易错点突破：轴对称与平移的区别及细节把握 0. 区分轴对称与平移：轴对称是“对折重合”，存在对称轴；平移是“沿直线移动”，不存在对称轴，图形方向不变。可通过对比图形变换前后的位置关系（对称 vs 平行移动）辅助区分。 0. 注意细节：①对称轴是直线，不是线段或射线，绘制时需延伸出图形外；②平移图形时，所有关键点的平移方向和距离必须一致，避免部分点平移偏差；③判断对称轴数量时，不要遗漏正多边形、圆形等图形的多条对称轴（如圆形有无数条）。 三、专项提升训练题 （一）填空题（每题2分，共10分） 1. 如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是（ ）图形，这条直线叫做（ ）。 2. 正方形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴，圆形有（ ）条对称轴。 3. 平移不改变图形的（ ）和（ ），只改变图形的（ ）。 4. 一个长方形向右平移5格后，对应边的长度（ ），对应角的大小（ ），平移后的长方形与原长方形的位置关系是（ ）。 5. 观察汉字“中”“日”“田”，它们都是（ ）图形，其中“田”字有（ ）条对称轴。 （二）判断题（每题2分，共10分） 1. 所有三角形都是轴对称图形。（ ） 2. 平移后的图形与原图形的对应边互相平行（或在同一直线上）。（ ） 3. 平行四边形有2条对称轴。（ ） 4. 一个图形向左平移3格，再向上平移2格，与先向上平移2格，再向左平移3格，最终得到的图形位置相同。（ ） 5. 半圆有无数条对称轴。（ ） （三）选择题（每题3分，共15分） 1. 下面图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形 2. 把一个正方形先向右平移4格，再向下平移3格，平移后的正方形与原正方形相比（ ） A. 形状改变 B. 大小改变 C. 位置改变 D. 方向改变 3. 下列图形中，对称轴数量最多的是（ ） A. 正五边形 B. 正方形 C. 长方形 D. 等腰三角形 4. 观察方格纸中的图形（假设方格边长为1厘米），图形A向右平移（ ）厘米后得到图形B A. 3 B. 4 C.5 D. 6 5. 下面关于轴对称图形和平移的说法，正确的是（ ） A. 轴对称图形一定能通过平移得到 B. 平移后的图形一定是轴对称图形 C. 轴对称图形的对称轴一定是竖直方向的 D. 平移和轴对称都不改变图形的形状和大小 （四）操作题（共35分） 1. 画出下面图形的对称轴（有几条画几条）（每题5分，共10分） （1） （2） 2. 判断下面图形是否为轴对称图形，若是，在括号内画“√”，并画出1条对称轴；若不是，画“×”（每题5分，共10分） （1） （ ） （2） （ ） 3. 按要求画一画（每题7.5分，共15分） （1）将长方形先向左平移3格，再向上平移2格，画出平移后的图形。 （2）以直线l为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个完整的轴对称图形。 L （五）解决问题（每题6分，共30分） 1. 一张长方形卡纸长12厘米，宽8厘米，将它向右平移6厘米后，得到的新长方形的长和宽分别是多少厘米？新长方形与原长方形之间的水平距离是多少厘米？ 2. 一个正六边形花坛，每边长度为5米，现在要给花坛的每条边都安装彩灯，且每两条相邻彩灯之间的距离为1米，每个顶点处都要安装彩灯，一共需要多少盏彩灯？（提示：正六边形是轴对称图形，可利用其对称性分析） 3. 方格纸上有一个三角形，三个顶点的位置分别是A（2，3）、B（5，3）、C（4，6）（方格边长为1厘米）。将这个三角形向上平移4格后，得到三角形A'B'C'，请写出A'、B'、C'三个顶点的位置，并计算原三角形的底和高分别是多少厘米。 4. 如图（假设图形为：一个由两个正方形组成的L形图形，小正方形边长为2厘米，大正方形边长为3厘米），这个图形是否为轴对称图形？如果是，画出它的对称轴；如果不是，请说明理由。若将这个图形向右平移5厘米，平移后的图形面积是多少平方厘米？ 5. 学校要在操场的一块长方形区域（长20米，宽15米）内设计一个图案，要求图案由一个轴对称图形和一个平移后的图形组成。请你描述图案的设计方案（包括图形选择、对称轴位置、平移方向和距离），并计算图案的占地面积（假设设计的图形边长或相关长度）。 参考答案 （一）填空题（每题2分，共10分） 1. 【答案】轴对称；对称轴 【解析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后两侧部分完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴。 2. 【答案】4；1；无数 【解析】正方形沿两条对边中点连线和两条对角线对折都能重合，共4条对称轴；等腰三角形只有沿底边高对折能重合，1条对称轴；圆形沿任意直径对折都能重合，有无数条对称轴。 3. 【答案】形状；大小；位置 【解析】平移的核心特征是“图形不变，位置改变”，即形状和大小保持不变，仅位置发生平移。 4. 【答案】不变；不变；互相平行（或水平对齐） 【解析】平移不改变图形的边长和角的大小，长方形向右平移后，对应边仍平行，位置呈水平对齐状态。 5. 【答案】轴对称；2 【解析】“中”“日”“田”沿竖直或水平直线对折后均能重合，是轴对称图形；“田”沿竖直和水平两条直线对折都能重合，共2条对称轴。 （二）判断题（每题2分，共10分） 1. 【答案】× 【解析】只有等腰三角形、等边三角形等特殊三角形是轴对称图形，一般三角形（如锐角三角形、钝角三角形）沿任意直线对折后两侧部分不能完全重合，故原题错误。 2. 【答案】√ 【解析】平移的特征是对应边平行（或在同一直线上），对应角相等，故原题正确。 3. 【答案】× 【解析】平行四边形沿任意直线对折后两侧部分都不能完全重合，没有对称轴，故原题错误。 4. 【答案】√ 【解析】平移的顺序不影响最终位置，向左平移3格再向上平移2格，与先向上平移2格再向左平移3格，最终图形位置相同，故原题正确。 5. 【答案】× 【解析】半圆只有沿直径所在直线对折能重合，只有1条对称轴，不是无数条，故原题错误。 （三）选择题（每题3分，共15分） 1. 【答案】C 【解析】等边三角形（3条对称轴）、长方形（2条）、等腰梯形（1条）都是轴对称图形，平行四边形没有对称轴，故选C。 2. 【答案】C 【解析】平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置，故选C。 3. 【答案】A 【解析】正五边形有5条对称轴，正方形有4条，长方形有2条，等腰三角形有1条，对称轴数量最多的是正五边形，故选A。 4. 【答案】B 【解析】平移距离以对应关键点为准，假设图形A的左上角顶点与图形B的对应顶点相距4格（方格边长为1厘米），则平移距离为4厘米，故选B。 5. 【答案】D 【解析】A选项：轴对称图形不一定能通过平移得到（如圆和正方形）；B选项：平移后的图形不一定是轴对称图形（如平行四边形平移后仍不是）；C选项：对称轴可以是任意方向（如正三角形的对称轴是倾斜的）；D选项：平移和轴对称都不改变图形的形状和大小，正确，故选D。 （四）操作题（共35分） 1. 画出下面图形的对称轴（有几条画几条）（每题5分，共10分） （1）等腰梯形 【答案】1条对称轴（沿上底和下底中点的连线） 【解析】等腰梯形只有1条对称轴，即垂直于两底的中线，沿这条直线对折，两腰完全重合。 【绘制方法】：连接等腰梯形上底的中点和下底的中点，这条直线即为对称轴（需延伸出图形外）。 （2）正六边形 【答案】6条对称轴（3条通过对边中点，3条通过对角顶点） 【解析】正六边形的对称轴数量与边数相等，共6条，其中3条是对边中点的连线，3条是对角顶点的连线。 【绘制方法】：①连接相对的两个边的中点，画出3条对称轴；②连接相对的两个顶点，画出另外3条对称轴（所有对称轴均需延伸出图形外）。 2. 判断下面图形是否为轴对称图形，若是，在括号内画“√”，并画出1条对称轴；若不是，画“×”（每题5分，共10分） （1）平行四边形 （×） 【解析】平行四边形沿任意直线对折后，两侧部分都无法完全重合，不是轴对称图形，故画“×”。 （2）等腰三角形 （√） 【解析】等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴。 【绘制方法】：连接等腰三角形的顶点和底边的中点，这条直线即为对称轴（延伸出图形外）。 3. 按要求画一画（每题7.5分，共15分） （1）将长方形先向左平移3格，再向上平移2格，画出平移后的图形。 【答案】（画图步骤） ① 找出长方形的4个关键点（4个顶点）； ② 每个关键点先向左数3格，标记出第一次平移后的对应点； ③ 再将第一次平移后的每个对应点向上数2格，标记出最终的对应点； ④ 依次连接4个最终对应点，形成平移后的长方形。 【解析】平移图形的核心是“关键点平移”，确保所有关键点的平移方向和距离一致，最终连接对应点即可。 （2）以直线l为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个完整的轴对称图形。 【答案】（画图步骤） ① 找出原图形的所有关键点（顶点、线段端点等）； ② 过每个关键点作直线l的垂线，测量关键点到直线l的距离； ③ 在垂线的另一侧，距离直线l相同长度的位置，标记出每个关键点的对称点； ④ 依次连接各对称点，与原图形组成完整的轴对称图形。 【解析】轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等，且连线垂直于对称轴，按此规律找对称点并连接即可。 （五）解决问题（每题6分，共30分） 1. 【答案】长12厘米，宽8厘米；水平距离6厘米 【算式】（长和宽无需计算，平移不改变边长）；水平距离=平移距离=6厘米 【计算过程】 ① 平移不改变长方形的长和宽，原长方形长12厘米、宽8厘米，故新长方形长12厘米，宽8厘米； ② 长方形向右平移6厘米，新长方形与原长方形之间的水平距离等于平移距离，即6厘米。 【答】新长方形的长是12厘米，宽是8厘米，新长方形与原长方形之间的水平距离是6厘米。 2. 【答案】30盏 【算式】每边彩灯数量： 5÷1 = 5（盏）；总彩灯数量： 5×6 = 30（盏） 【计算过程】 ① 正六边形每边长度5米，每1米安装1盏彩灯，且顶点处安装，每边彩灯数量为 5÷1 = 5盏（包含两个顶点）； ② 正六边形有6条边，由于顶点处的彩灯被两条边共用，但若按每边5盏计算，6条边总数量为 5×6 = 30盏（此时顶点处的彩灯已重复计算，但正六边形边长相等，每边5盏包含顶点，6条边刚好覆盖所有顶点且无遗漏）； 验证：正六边形6个顶点，每条边中间有 5 - 2 = 3盏彩灯，总彩灯数量为 6 + 3×6 = 6 + 18 = 30盏，结果一致。 【答】一共需要30盏彩灯。 3. 【答案】A'（2，7）、B'（5，7）、C'（4，10）；底3厘米，高3厘米 【算式】原三角形底： 5 - 2 = 3（厘米）；原三角形高： 6 - 3 = 3（厘米） 【计算过程】 ① 平移规律：向上平移4格，顶点的列坐标不变，行坐标增加4； A（2，3）向上平移4格： 3 + 4 = 7，故A'（2，7）； B（5，3）向上平移4格： 3 + 4 = 7，故B'（5，7）； C（4，6）向上平移4格： 6 + 4 = 10，故C'（4，10）； ② 原三角形A（2，3）、B（5，3）在同一水平线上，底边长为两点列坐标之差： 5 - 2 = 3厘米； 高为C点行坐标与A、B点行坐标之差： 6 - 3 = 3厘米（因为A、B在同一水平线，高为垂直距离）。 【答】A'（2，7）、B'（5，7）、C'（4，10）；原三角形的底是3厘米，高是3厘米。 4. 【答案】不是轴对称图形；平移后面积23平方厘米 【解析】判断是否为轴对称图形：假设L形图形由边长2厘米的小正方形和边长3厘米的大正方形组成，小正方形贴在大正方形的一个角上（非中心位置），沿任意直线对折后，两侧的正方形部分无法完全重合，故不是轴对称图形（理由：图形两侧的正方形大小不同，且位置不对称，对折后不能重合）。 【算式】原图形面积： 2×2 + 3×3 = 4 + 9 = 13（平方厘米）；平移后面积=原面积=13（平方厘米） 【计算过程】 ① 原图形面积为两个正方形面积之和：小正方形面积 2×2 = 4平方厘米，大正方形面积 3×3 = 9平方厘米，总面积 4 + 9 = 13平方厘米； ② 平移不改变图形面积，故向右平移5厘米后，面积仍为13平方厘米。 【答】这个图形不是轴对称图形，因为图形两侧的正方形大小不同且位置不对称，对折后无法完全重合；平移后的图形面积是13平方厘米。 5. 【答案】（设计方案示例） 【设计方案】 ① 图形选择：轴对称图形选边长为6米的正方形，平移图形选边长为4米的小正方形； ② 对称轴位置：正方形的竖直对称轴（过正方形中心，平行于长方形区域的长）； ③ 平移方向和距离：将小正方形沿水平方向向右平移8米，使小正方形的左边与大正方形的右边相距2米； ④ 占地面积：大正方形面积 + 小正方形面积 = 6×6 + 4×4 = 36 + 16 = 52（平方米） 【计算过程】 ① 大正方形面积： 6×6 = 36平方米； ② 小正方形面积： 4×4 = 16平方米； ③ 图案总面积（占地面积）： 36 + 16 = 52平方米（平移不改变小正方形面积，轴对称图形面积为原正方形面积）。 【答】设计方案为：在长方形区域左侧放置一个边长6米的正方形（对称轴为竖直方向过正方形中心），将边长4米的小正方形向右平移8米至大正方形右侧2米处；图案的占地面积是52平方米。（注：设计方案不唯一，符合要求即可，面积计算需对应所设图形边长） 学科网（北京）股份有限公司 $