精品解析：江苏省滨海县三中2023-2024学年上学期九年级数学12月份考试试卷

初三年级数学集中作业（十二月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为，且点A的坐标是，则它的对应点的坐标是（ ） A B. C. 或 D. 或 6. 如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　　）． A. B. C. 6 D. 8. 如图，矩形对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 9. 如图，⊙是的外接圆，已知平分交⊙于点，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，连接交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知，则的值是______． 12. 已知，，，则的度数为______． 13. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为______cm． 14. 如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是____________． 15. 如图，AD是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为______． 16. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．则的值为______． 17. 如图，中，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到点的对应点是点，若点始终在边上，当、、为顶点的三角形与相似时，的长为______． 18. 如图，在中，，，为上一点，当最大时，连接并延长到，使，则的最大值为 _______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点．以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为． （1）画出； （2）直接写出点，点坐标及的面积． 21. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 22. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 23. 如图，是的直径，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 24. 如图，在等边三角形中，，是边上一点，，是边上一点（点不与端点重合），作，交边于点． （1） （2）若，满足条件点有且只有一个，求的值． 25. 如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）当t为何值时，与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 26. 【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：； ②当是中点时，_____度； 深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学集中作业（十二月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求角的余弦值．根据勾股定理可求出的长，再根据余弦的定义“直角三角形中邻边与斜边的比”即可求出答案． 【详解】解：根据勾股定理可求出， ∴． 故选：D． 3. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是边中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为，且点A的坐标是，则它的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键． 根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原坐标乘以k或，即可求出答案． 【详解】解：由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或 故选：C． 6. 如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　　）． A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 8. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 9. 如图，⊙是的外接圆，已知平分交⊙于点，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定定理得出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】平分 弧BD与弧CD相等 又 ，即 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键． 10. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，连接交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接，交于点，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，点E、F分别是边上一点，连接，交于点O； ∴，， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例关系，可设参数表示a和b，或直接利用比例性质求解． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 12. 已知，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用．在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质的应用，根据相似计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴，， ∴， ∵的高为，，分别为、， ∴， ∴, ∴， 故答案为：3． 14. 如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ∴矩形的周长为 ， 故答案为: ． 15. 如图，AD是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵是的中线，即点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知第一象限内点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于．作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故答案： 17. 如图，中，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到点的对应点是点，若点始终在边上，当、、为顶点的三角形与相似时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和折叠的性质．设，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，讨论：若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长；若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长． 【详解】解：， ， 设， 沿折叠得到，点的对应点是点， ， 若，， ，， ， ，即， 解得； 若， ，， ， ，即， 解得； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 18. 如图，在中，，，为上一点，当最大时，连接并延长到，使，则的最大值为 _______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用圆的有关性质得到是解题的关键．以为圆心，为半径画圆，得到当时，最大；设，则，过点作于点，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【详解】解：以为圆心，为半径画圆，如图， 由图形可知，当与相切时，最大，此时． 设，则． 过点作于点， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 当时，即时，有最大值为18． 故答案为：18． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点．以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为． （1）画出； （2）直接写出点，点的坐标及的面积． 【答案】（1）见解析， （2），，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质． （1）根据位似的性质，正确地作出图形， （2）根据坐标系确定各点的坐标即可，先根据长方形的面积减去三个三角形的面积求出的面积，再利用位似图形性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：，； 的面积为： ∴的面积为：． 21. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，，即得，，再根据可得，即得，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 22. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键． （1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， 于点F， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 23. 如图，是的直径，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆的性质得到，再由圆周角定理确定，判定，最后结合切线性质即可得证； （2）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角得到，利用圆周角定理得到，从而得到，由三角函数定义列式解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ∴， ∵点是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ， ， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、切线性质、垂直判定、直径所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用相关几何知识求解是解决问题的关键． 24. 如图，在等边三角形中，，是边上一点，，是边上一点（点不与端点重合），作，交边于点． （1） （2）若，满足条件的点有且只有一个，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形，得到，而，可以推导出，进而可证出； （2）由，得，满足条件的点有且只有一个，则方程有两个相等的实数根，再由一元二次方程的判别式的等于0列出关于的方程，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∵满足条件的点有且只有一个， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，一元二次方程根的判别式等知识，解题关键是根据相似三角形的对应边成比例列出一元二次方程． 25. 如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）当t为何值时，与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3秒或秒 （3）2.4秒或秒或 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用面积法求出； （2）先表示出，再判断出，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论； （3）根据题意画出图形，分，，三种情况，利用相似三角形进行求解． 小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴． 【小问2详解】 由(1)知， 由运动知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①， ∴， 即， 解得：． ② ∴， 即， 解得：， 综上，t为3秒或秒时，与相似； 【小问3详解】 ①若，如图1， 则． 解得∶． ②若，过点P作，垂足为H，如图2所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 解得：． ③若，过点Q作垂足为E，如图3所示， 同理可得∶ ， ∴， ∵，， ∴， 则， ． 综上所述∶当t为2.4秒或秒或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理和动点三角形，利用等腰三角形“三线合一”将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键． 26. 【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：； ②当是中点时，_____度； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②67.5；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得，，再结合，可证得； ②连接，根据①得出，即可证明，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点H，可证得，从而，设，则，，可得出，从而，进而得出x的方程，进而得出结果； （3）分三种情况讨论：当时，设，，，则，，根据得出，根据得出，进而得出结果；当时，根据得出，从而设，，则，，从而得出，进而得出结果；当时，可得出，从而，此时点E在的延长线上，不符合题意，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ②解：如图1， 连接， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：67.5； （2）解：如图2， 延长，交的延长线于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴； （3）解：分以下三种情况讨论： 如图3-1， 当时， 设，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴①， ∵，， ∴， ∴， ∴②， 由①②得，，（舍去）； 如图3-2，当时， 作于G， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点E在的延长线上，不符合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $