精品解析：北京市石景山区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题

2025-2026学年第一学期初三期末试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，记与轴正半轴的夹角为，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 半径为3的圆中，圆心角为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A. 1，1 B. C. ，1 D. 8. 如图，为第一象限内的动点，作矩形，使得轴，轴均为它的对称轴．双曲线，与矩形分别交于，，，，，，，．给出下面四个结论： ①与的面积可能不相等； ②与的面积一定相等； ③连接，，四边形可能是矩形； ④八边形一定是中心对称图形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则的值为___________． 10. 如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________． 11. 如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 13. 近视眼镜的度数（单位：度）与镜片焦距（单位：）满足反比例函数关系，200度近视眼镜的镜片焦距为．若近视眼镜不超过100度，则此眼镜的镜片焦距可能为___________（写出一个即可）． 14. 在平面直角坐标系中，若二次函数满足，则它的图象一定不经过第___________象限． 15. 如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． （1）当车位宽为2.4米，车门与车身的夹角最大时，车门的外端___________车位内（填“在”或“不在”）： （2）若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 16. 如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）将该二次函数化为的形式： （2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标： （3）在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 19. 如图，在中，，，，求的长． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）延长交于点，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 23. 如图，在中，，为边的中点，过点作的平行线，交边于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．若，，求和的长． 24. 如图，是的直径，点在上，连接并延长至点，使得．连接，交于点，过点作的垂线，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）连接，，交于点．若的半径为2，，求的长． 25. 为积极响应并贯彻落实北京市教委发布的中小学“体育八条”的精神，某学校计划组织羽毛球赛．甲、乙两名同学在羽毛球场训练，建立如图所示的平面直角坐标系．在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为（单位：），羽毛球与点的水平距离为（单位：）． 甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系，部分对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 0.9 2.4 3.3 3.6 3.3 根据以上数据，回答下列问题： （1）甲同学发球后到乙同学击球前， ①羽毛球飞行到最高点时，竖直高度为 m，此时水平距离为 m． ②求出与的函数关系式： （2）若甲发球过网后，乙在羽毛球与点的水平距离为时第一次击球．根据以往经验，乙有两种击球方式．以方式一击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系；以方式二击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．以上两种击球方式均能使球过网后落地． 选择方式 击球（填“一”或“二”），落地点与点的水平距离更大．并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点． ①若，直接写出的长； ②已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 28. 对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． （1）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： （2）已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三期末试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度可得， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键． 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，记与轴正半轴的夹角为，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标、勾股定理、正弦的定义． 先根据点P的坐标得出、的长，再根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则 点的坐标为 故选：C． 4. 半径为3的圆中，圆心角为的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形面积为：． 故选：B． 5. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质．根据圆周角的性质可知，再根据圆内接四边形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，即可得到，从而求得的长． 【详解】解：，， ，， 是的高，是的高， ， ， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A. 1，1 B. C. ，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式公式，二次函数顶点式：，抛物线的顶点坐标为． 将抛物线方程化为顶点形式，根据顶点坐标求参数． 【详解】解∶抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∴，． 故选∶A． 8. 如图，为第一象限内的动点，作矩形，使得轴，轴均为它的对称轴．双曲线，与矩形分别交于，，，，，，，．给出下面四个结论： ①与的面积可能不相等； ②与的面积一定相等； ③连接，，四边形可能是矩形； ④八边形一定是中心对称图形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键．根据反比例函数的几何意义可判定①错误，设（，），则，，，，，利用矩形的性质、轴对称图形的性质及的几何意义分别表示出与的面积，即可判定②错误，根据矩形的性质得出，利用勾股定理及因式分解得出，即可判定③正确；利用反比例函数及矩形的对称性可判定④正确，综上所述，即可得答案． 【详解】解：∵双曲线，与矩形分别交于，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴与的面积一定相等，故①错误； ∵矩形，轴，轴均为它的对称轴， ∴设（，），则，，，，， ∴，，，， ∴，， ∵（，）， ∴与的面积一定不相等，故②错误， 如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴，即当时，四边形是矩形，故③正确； ∵反比例函数图形、矩形都是中心对称图形， ∴八边形一定是中心对称图形，故④正确； 综上所述：正确结论的序号是③④． 故选：D． 第二部分 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法将所求式子化为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，进而解答． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 解得． 故答案为． 11. 如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，通过抛物线的顶点式确定对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离，从而判断函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，且系数 ，故开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． 由于开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，因此 ． 故答案为． 13. 近视眼镜的度数（单位：度）与镜片焦距（单位：）满足反比例函数关系，200度近视眼镜的镜片焦距为．若近视眼镜不超过100度，则此眼镜的镜片焦距可能为___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 设，把相关数据代入即可求得函数的解析式． 【详解】解：设， 度近视眼镜镜片的焦距是， ， ， 假设近视眼镜度数，可得，即此眼镜的镜片焦距可能为． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在平面直角坐标系中，若二次函数满足，则它的图象一定不经过第___________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点和抛物线与x轴交点的个数． 由于二次函数开口向上（），且与y轴交于正半轴（），同时由对称轴位置得出，当x > 0时，y > 0恒成立，故图象一定不经过第四象限． 【详解】二次函数中，，，． 由于，抛物线开口向上．对称轴， 当时，，故图象与y轴交于正半轴． ∴由于抛物线开口向上，当时，恒成立， 即图象在时始终位于x轴上方，因此一定不经过第四象限． 故答案为四． 15. 如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车． （1）当车位宽为2.4米，车门与车身的夹角最大时，车门的外端___________车位内（填“在”或“不在”）： （2）若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，． 【答案】 ①. 不在 ②. 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，作，垂足为，求出车门与车身的不同夹角时，点到车上的距离即可解题. 【详解】解：作，垂足为， （1）当时， 由题意可知：车身到的距离， ∵， ∴车门与车身的夹角最大时，车门的外端不在车位内， （2）当时， 乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽， 车位宽至少为3米（结果保留整数） 故答案为（1）不在；（2）. 16. 如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意推出点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动，当且仅当、、三点共线时，有最小值，结合勾股定理解题即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，以及，用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当且仅当、、三点共线时，有最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）将该二次函数化为的形式： （2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标： （3）在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 【答案】（1） （2），； （3）图象见解析 【解析】 【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式； （2）根据解方程即可； （3）由五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标，； 【小问3详解】 解：∵二次函数的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用平滑的曲线连接即可，如图： 19. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．过点作交于点，设，求出，根据，则，列出方程求出的值，再利用即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∴，在中，， ∴设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）延长交于点，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． （1）由角的和差关系得出，根据，得出，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，交于， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象求解不等式，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【答案】（1）见解析 （2）圆的半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查确定圆心的位置，垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，即可得； （2）利用垂径定理得出，在中，利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，以点O为圆心，以为为半径画圆，则即为所求． 【小问2详解】 解：设的垂直平分线交于，交于，连接， ∴ ∵弓形高（即弧的中点到弦的距离）为，即，， ∴， ∴， 解得：， ∴圆的半径的长为． 23. 如图，在中，，为边的中点，过点作的平行线，交边于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．若，，求和的长． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据角的和差关系得出，根据，利用三角函数得出，根据证明，得出，根据平行线的性质得出，利用三角函数求出，利用勾股定理求出、即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，点在上，连接并延长至点，使得．连接，交于点，过点作的垂线，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）连接，，交于点．若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，得到，进而推出，即可得证； （2）连接，圆周角定理推出垂直平分，进而得到，三线合一结合圆周角定理，推出，进而推出为等边三角形，等弧对等弦推出为等边三角形，三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴，的度数为， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数均为， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，切线的判定，圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 为积极响应并贯彻落实北京市教委发布的中小学“体育八条”的精神，某学校计划组织羽毛球赛．甲、乙两名同学在羽毛球场训练，建立如图所示的平面直角坐标系．在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为（单位：），羽毛球与点的水平距离为（单位：）． 甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系，部分对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 0.9 2.4 3.3 3.6 3.3 根据以上数据，回答下列问题： （1）甲同学发球后到乙同学击球前， ①羽毛球飞行到最高点时，竖直高度为 m，此时水平距离为 m． ②求出与的函数关系式： （2）若甲发球过网后，乙在羽毛球与点的水平距离为时第一次击球．根据以往经验，乙有两种击球方式．以方式一击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系；以方式二击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．以上两种击球方式均能使球过网后落地． 选择方式 击球（填“一”或“二”），落地点与点的水平距离更大．并说明理由． 【答案】（1）①；；② （2）一，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②用待定系数法求函数解析式； （2）把代入②中解析式求出羽毛球到乙处的高度，再代入方式一和方式二的解析式中，求出两个解析式，再根据纵坐标等于0，求得两种方式的落地点，比较即可． 【小问1详解】 解：①羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系， 根据表中数据可得二次函数的对称轴为直线， 此时， 即羽毛球飞行到最高点时，竖直高度为，此时水平距离为， 故答案为：；； ②设二次函数的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：选择方式一击球，落地点与点的水平距离更大，理由如下： 当时，， 把代入， 可得， 解得， 方式一击球时，羽毛球的竖直高度与水平距离的函数关系式为， 令，解得； 把代入， 可得， 解得， 方式二击球时，羽毛球的竖直高度与水平距离的函数关系式为， 令， 解得或（舍去）， ， 选择方式一击球，落地点与点的水平距离更大． 故答案为：一． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点． ①若，直接写出的长； ②已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）直接将代入计算即可； （2）由（1）知，进而化为顶点式，得到抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线交x轴于，设直线解析式为，将代入求出，即直线解析式为，根据题意得到，，则； ①直接将代入计算即可； ②由可知，则分、两种情况求出的解析式，根据二次函数的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线 ， 即抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， ∵当时， ∴抛物线交x轴于， 设直线解析式为， 则， 解得：， 即直线解析式为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点， ∴，， ∴ ； ①若，则 ； ②解：∵， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，的长随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴且， 解得且， 即； 如图，当时， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，的长随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴； 综上所述，或． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 28. 对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． （1）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： （2）已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 【答案】（1）①点、点；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形； （1）①根据定义判断即可；②“完美生成点”就是该点到圆心的距离等于圆心角所对弦的弦心距，据此可求出坐标； （2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”，线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，即线段上的所有点到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（）所对的弦的弦心距，分别算出和时的弦心距与半径的关系即可求出半径的取值范围． 【小问1详解】 解：①在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以正好经过点D，如图所示： ∴过点的直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以两次经过点F，如图所示： ∴过点有两条直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴， ∴将直线绕圆心O旋转，直线无法经过点E，如图所示： ∴点不是的“生成点”． 综上：点、点为的“生成点”． 故答案为：点、点． ②在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， 过点作，过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线有且只有一次经过点P， ∴过点P的直线与有两个交点，这样的直线只存在一条，且，点P为的“完美生成点”， ∴当点G在x轴正半轴时，点P坐标为，当点G在x轴负半轴时，点P坐标为， ∵直线直线上除点以外的其他点到圆心的距离大于弦心距， ∴直线直线上除点以外的其他点会有两条直线经过，不是的“完美生成点”． 【小问2详解】 解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， ∴此时线段上的点到点的距离， ∴线段上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且， ∵，，， ∴，解得：， ∴当一个圆的半径时，可以使得线段在这个圆的内部且线段上的所有的点到圆心的距离，即线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且， ∴半径的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $