精品解析：福建省 漳州市第七中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025—2026学年上学期漳州一中分校一月阶段适应性训练 九年级数学试卷 （总分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当 时，平行四边形 是菱形 B. 当时，平行四边形 是矩形 C. 当时，平行四边形 是菱形 D. 当 且时，平行四边形 是正方形 5. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形 ，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为6，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 7. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径 长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，的图象经过点和点，且 ，则a的取值范围是（） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则______． 12. 如图，在 中，是斜边的中点，连接 ，，则 的长为___________． 13. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为________． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于， 两点，则不等式的解集是______． 15. 若 ， 是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作 交的延长线于点，交于点 ，若 为的中点，则的值为________． 三、解答题（8分+8分+8分+8分+8分+10分+10分+12分+14分=86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线，分别交 于点E，F．求证： ． 19. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度 ． （1）求v与M之间的关系式； （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 20. 如图所示，是一张对边平行的纸片，点A，B分别在平行边上． （1）求作：菱形 ，使点C，D落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求菱形 的面积．（结果保留根号） 21. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 22. 某款智能闹钟深受同学们喜爱，某经销商统计了该款智能闹钟4月份到6月份的销量，其中4月份销售300个，6月份销售432个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款智能闹钟销售量的月增长率； （2）若该款智能闹钟的进价为30元/个，经调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为多少元？ 23. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 ，，试管倾斜角 为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口 与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且 于点 （点，， ，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 24. 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； （2）若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作 轴交直线于点E，求线段长的最大值； 25. 如图1，在中，，点D在边上（不与B，C重合），点E在 边上，且，过点A作于点F，点G是 的中点，连接． （1）求证： ； （2）判断与之间的数量关系，并说明理由： （3）如图2，过点A作于点H，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期漳州一中分校一月阶段适应性训练 九年级数学试卷 （总分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．根据从几何体正上方看到的图形去判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：C． 2. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得解，熟练掌握相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为， 故选：A． 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4. 如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当 时，平行四边形 是菱形 B. 当时，平行四边形 是矩形 C. 当时，平行四边形 是菱形 D. 当 且时，平行四边形 是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形 不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形 是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形 是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当 且时，平行四边形 是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数 可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 6. 如图，五边形 ，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为6，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内 随 的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案． 【详解】解： 点、、都在反比例函数的图像上， 当时，在每一个象限内 随 的增大而增大， 、在第二象限，， ， 在第四象限，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键． 8. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 9. 如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点O作，垂足为C，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点O作，垂足为C， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：A． 10. 已知，的图象经过点和点，且 ，则a的取值范围是（） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式的求解。求出二次函数在给定两点处的函数值表达式，再根据 建立不等式求解以及要是二次函数有意义，求解即可。 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴a的取值范围是或， 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再代入分式进行计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在 中， 是斜边的中点，连接 ，，则 的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵ 中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键． 根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的 ，再利用概率即可求解． 【详解】解：根据题意得， 黑色部分的面积约为， 故答案为：75． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于， 两点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键．利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故答案为：或． 15. 若 ， 是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．根据方程根的定义和根与系数的关系，得到和，进而计算表达式的值． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的实数根， ∴， 即． 又∵ ， 是方程的两个实数根， ∴（根据根与系数的关系）． ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，正方形 中，为对角线上一点，连接，过点作 交的延长线于点，交于点 ，若 为的中点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过点作于点 ，过点作于点 ，易证四边形是正方形，可得，；再证明可得，进而得到，然后证明可得，即；根据三角形中位线的性质可得，即，运用勾股定理可得，最后代入求比值即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ，过点作于点 ， 在正方形 中， ∴平分，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， 即， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（8分+8分+8分+8分+8分+10分+10分+12分+14分=86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握各运算法则． （1）将每个特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴或， ∴． 18. 如图，矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线，分别交 于点E，F．求证： ． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵点O为 的中点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形性质和判定，根据题意可得 ，再利用全等三角形判定 ，继而得到本题答案． 【详解】略 19. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度 ． （1）求v与M之间的关系式； （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【答案】（1）v与M之间的函数关系式为 （2）当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且 ），待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的关系式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且 ）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 20. 如图所示，是一张对边平行的纸片，点A，B分别在平行边上． （1）求作：菱形 ，使点C，D落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求菱形 的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）见详解； （2）． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，菱形的性质，利用特殊角的三角函数值求线段的长度，求菱形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）用圆规在平行边上截取即可； （2）过A作于E，根据题意，利用特殊角的三角函数值求出，再求菱形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图：菱形 即为所求； 【小问2详解】 解：过A作于E，则 ， ∵，， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴． 21. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 22. 某款智能闹钟深受同学们喜爱，某经销商统计了该款智能闹钟4月份到6月份的销量，其中4月份销售300个，6月份销售432个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款智能闹钟销售量的月增长率； （2）若该款智能闹钟的进价为30元/个，经调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为多少元？ 【答案】（1）月增长率为 （2）销售单价应为65元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该款智能闹钟销售量的月增长率为 ，根据4月份销售300个，6月份销售432个，据此列一元二次方程求解即可； （2）设销售单价为 元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元，再根据题意列出与销售单价 的函数关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设该款智能闹钟销售量的月增长率为 ， 由题意得，， 解得，． 答：该款智能闹钟销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价为 元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元， 由题意得，， ，开口向下， 当元时， 销售该款智能闹钟每月获得的利润最大． 答：要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为65元． 23. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 ，，试管倾斜角 为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口 与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长 交的延长线于点，且 于点 （点 ， ， ，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】（1）试管口 与铁杆的水平距离的长度为 （2）导气管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点 作 ，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ， 在中，， ， 即试管口 与铁杆的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点 作 ，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 24. 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； （2）若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作 轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【答案】（1）， （2）① 或② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，利用二次函数求线段长度的最值，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数表达式即可，然后根据函数表达式确定抛物线与 轴的交点坐标； （2）①分两种情况进行讨论，根据最低点确定最高点的纵坐标，然后利用二次函数表达式进行求解即可； ②利用待定系数法求出直线的表达式，表示出点的坐标和线段的长度，最后利用二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：将，代入 得， ，解得 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当点 位于点 左侧时，， ∴， 解得 或（舍去）； 由得，抛物线顶点坐标为， 当点 位于点 右侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 综上， 或； ②设直线的表达式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 根据题意得，，且， ∴， ∵该二次函数表达式中， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合取值范围， ∴当时，线段长取最大值， 为， 所以，线段长的最大值为． 25. 如图1，在中，，点D在边上（不与B，C重合），点E在边上，且，过点A作于点F，点G是 的中点，连接． （1）求证： ； （2）判断与之间的数量关系，并说明理由： （3）如图2，过点A作于点H，求证：． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）结合与公共角，得出，即可得出结论． （2）延长至点，使得，连接 ， ，通过构造等腰三角形，利用中位线定理转化角度即可； （3）取 的中点，连接、、，延长 到 ，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质得，，，从而，结合（2）的结论和直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵（公共角），， ∴， ∴，即 ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接 ， ． ∵，， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是 中点，， ∴是 的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：如图 ，取 的中点，连接、、，延长 到 ． ，， ． ∵， , ， ． ∵是 的中点，，， ∴， ∴，即，，， ∴，，， ∴， ∴， ． ． 又， ， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及中位线定理，熟练掌握辅助线构造（延长线段、连接中点）和等腰三角形性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $