精品解析：甘肃省武威市凉州区康宁镇九年制学校2024-2025学年上学期八年级月考数学试卷

2025-2026学年度八年级上学期第三次质量监测 八年级数学试题 注意： 1．本试卷满分：120分，答题时间：120分钟． 2．请将答案写在答题卡上． 一、单选题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 点P(－2，3)关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. (2,3) B. (－2，－3) C. (2，－3) D. (－3,2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标为（-2，-3）． 故选：B． 【点睛】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A：两项的指数不同，不是同类项，无法合并，结果应为，故A错误； B：同底数幂相乘，指数应相加，即，而非，故B错误； C：同底数幂相除，指数应相减，即，而非，故C错误； D：根据积的乘方，，与选项一致，故D正确． 故选：D． 3. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题根据三角形的内角和是，求出最大的那个角的度数即可解决问题． 【详解】解：∵最大的那个角是， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 4. 如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 5. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误； D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确； 故选D． 6. 已知是一个完全平方式，则m的值为( ) A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可知m为的2倍，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查逆用完全平方公式，能够熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． 7. 下列关于三角形的性质描述错误的是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的高线不一定在三角形的内部 C. 三角形的外角和为360° D. 三角形的一个外角等于两个内角之和 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查三角形的基本性质，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】三角形三边确定后形状唯一，具有稳定性，故A正确． 钝角三角形的高线可能位于外部，直角三角形的高线在边上，因此高线不一定在内部，故B正确． 三角形每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°，故C正确． 三角形的一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和，而非任意两个内角之和，若未强调“不相邻”，故D错误． 故选D． 8. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得到∴，，进而得点的坐标即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， 故选：D． 9. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质． 由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ 又∵点关于对称的对称点分别为点 ∴，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故选：C 10. 观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于多项式乘法规律探究类题目，根据已知等式和规律，可得出左边乘积等于，从而求出的值，再通过指数运算求． 【详解】解：根据规律，， 又已知该式等于， ∴， ∴， ∴． 故选B 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，共有_________个三角形． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 12. 若，则___________． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先得到，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：18． 13. 计算：_____． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：100． 14. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠知，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④平分． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 根据已知条件不能推出，故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ， ∵， ∴平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后计算除法，再把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，准确的计算是解决本题的关键． （1）将原式变为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可； （2）将原式变为，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）29 （2）33 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形： （1）根据，把已知的式子代入即可求解； （2）根据，把已知的式子代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （3）在空白处用直尺和圆规作一个角，使（注：作图时在原角和新角上必须保留作图痕迹）． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换和作一个角等于已知角，关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出三角形顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）根据作一个角等于已知角的步骤进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 21. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为________； （2）展开式共有________项，第3项系数为________； （3）根据上面的规律，写出的展开式：________； （4）利用上面的规律计算：； 【答案】（1） （2）11，45； （3） （4）32 【解析】 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【小问1详解】 解：依题意，， ∴图中括号内的数为； 【小问2详解】 解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； 【小问3详解】 解：根据图示，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：依题意， 当时，， ∴． 22. 如图，在中，，点，分别是，上的动点．已知点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）当为等边三角形时，求的值． （2）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形、等边三角形、勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理列出方程，解方程即可； （2）分、两种情况，根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解： ， 为等边三角形， ， 由题意得：，，则， ， 时，为等边三角形， ， 解得：， 答：当为等边三角形时，的值为2.4； 【小问2详解】 当为直角三角形时，有两种情况： 当时， ， ， ，即， 解得：， 当时， ， ， ∴，即， 解得：或， 答：当为直角三角形时，的值为或． 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． （2）如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． （3）将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）① （2） （3）16 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 24. 综合与探究 问题背景 在数学活动课上，老师给出一个问题如图，在等边三角形中，点为线段上的一点，过点作，交于点．求证：是等边三角形． 独立思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）如图，点是延长线上一点，连接，使得，猜想与的数量关系，并说明理由． 问题解决 （3）在等边三角形中，若点是射线上一点，点是延长线上一点，连接，使得．已知，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）结论：，理由如下： ∵是等边三角形，， ∴，则； 由（）知是等边三角形，故，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵是等边三角形，， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的角的性质，结合平行线的性质，推出的三个角均为，证明其为等边三角形； （2）结合（1）的结论，通过角的关系证明三角形全等，进而得到与的数量关系； （3）分点在线段上和射线延长线上两种情况，结合等边三角形、含角的三角形性质，推导线段长度，计算的长． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）分两种情况：①当在线段上时，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 由（）知， ∴； ②当在射线的延长线上时，如图， ∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 由（）的全等思路，同理可得， ∵在的延长线上， ∴， 综上，的长为或； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形性质，熟练掌握等边三角形的性质、准确分析三角形内角关系并分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期第三次质量监测 八年级数学试题 注意： 1．本试卷满分：120分，答题时间：120分钟． 2．请将答案写在答题卡上． 一、单选题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 点P(－2，3)关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. (2,3) B. (－2，－3) C. (2，－3) D. (－3,2) 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（ ） A. B. C. D. 5. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 6. 已知是一个完全平方式，则m的值为( ) A. B. 10 C. D. 7. 下列关于三角形的性质描述错误的是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的高线不一定在三角形的内部 C. 三角形的外角和为360° D. 三角形的一个外角等于两个内角之和 8. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，共有_________个三角形． 12. 若，则___________． 13. 计算：_____． 14. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是__________． 15. 如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④平分． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （3）在空白处用直尺和圆规作一个角，使（注：作图时在原角和新角上必须保留作图痕迹）． 20. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 21. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为________； （2）展开式共有________项，第3项系数为________； （3）根据上面的规律，写出的展开式：________； （4）利用上面的规律计算：； 22. 如图，在中，，点，分别是，上的动点．已知点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）当为等边三角形时，求的值． （2）当为直角三角形时，求的值． 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． （2）如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． （3）将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 24. 综合与探究 问题背景 在数学活动课上，老师给出一个问题如图，在等边三角形中，点为线段上的一点，过点作，交于点．求证：是等边三角形． 独立思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）如图，点是延长线上一点，连接，使得，猜想与的数量关系，并说明理由． 问题解决 （3）在等边三角形中，若点是射线上一点，点是延长线上一点，连接，使得．已知，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $