专题21.2平行四边形题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题21.2平行四边形题型突破讲义 重点 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形。 平行四边形性质：对边平行且相等；对角相等、邻角互补；对角线互相平分。 平行四边形判定：定义判定；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 基础应用：利用性质 / 判定求边长、角度，证明线段平行或相等。 难点 性质与判定的逻辑区分：性质是 “由平行四边形推结论”，判定是 “由条件推平行四边形”。 与三角形全等的综合证明：常需作对角线辅助线，转化图形问题。 动态问题分析：含动点、折叠的题型，需结合性质与方程思想求解。 判定定理的灵活选用：根据题干条件（如已知对角线选 “互相平分” 判定） 基础过关题 1.利用平行四边形的性质求解 2.利用平行四边形的性质证明 3.求平行间的距离 4.判断能否构成平行四边形 5添一个条件成为平行四边形 6.证明四边形是平行四边形 7.与三角形中位线有关的求解问题 8.与三角形中位线有关的证明 能力提升题 9.利用平行线间距离解决问题 10.利用平行四边形判定与性质求解 11.利用平行四边形性质与判定证明 12.平行四边形性质和判定的应用 拓展拔高题 13.三角形中位线的实际应用 . 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 1．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用勾股定理得出的长是解题关键． 利用平行四边形的性质结合勾股定理和平行四边形的面积求法分别分析得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴故选项A正确，不符合题意； ∵， ， ，， ∴，故选项C正确，不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ，故选项B错误，符合题意； 的面积是：， ∴的面积是，故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 3．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 解答题 5．如图，已知：的对角线，相交于点，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理和平行四边形的面积； （1）根据平行四边形的性质可求得，再利用勾股定理即可求解； （2）利用平行四边形的面积底高，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为12； （2）解：∵， ∴的面积． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 6．在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 7．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 8．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【答案】/3厘米 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长到Q，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 解答题 10．如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型3.求平行间的距离】 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则直线与直线之间的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，理解“平行线之间的距离处处相等”是解题的关键． 利用平行线之间的距离处处相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：8． 12．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 13．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 14．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 解答题 15．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 16．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 17．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 18．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 19．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【题型5.添一个条件成为平行四边形】 20．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 21．在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 22．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 23．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【题型6.证明四边形是平行四边形】 24．下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； B、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 25．如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得解． 【详解】解：根据题意得出，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 26．如图，点P是直线n外一点，在n上取两点M、N，分别以P、N为圆心，、长为半径画弧．两弧交于点Q，分别连接、、，则四边形是平行四边形，理由是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，尺规作图，掌握平行四边形的判定方法和从尺规作图的作法中获取条件是解题的关键； 根据尺规作图的作法可得，，，从而可得四边形是平行四边形． 【详解】根据尺规作图的作法可得，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 27．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定方法、平行四边形的判定条件，及三角形面积的计算是解题的关键． 先利用和是中点的条件，证明与全等，得出；再结合是中点，得到，判定四边形是平行四边形；最后通过三角形面积的关系，将四边形面积转化为的面积，计算得出结果． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在和中： ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ，，， ， ． 故选：B． 解答题 28．如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，继而证明，得到，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】证明：， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型7.与三角形中位线有关的求解问题】 29．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 30．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 31．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 32．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理和性质，通过构造中位线与全等三角形建立线段联系是解题的关键． 通过构造全等三角形，结合三角形中位线的性质，找出线段间的等量关系，进而求得答案． 【详解】解：取中点，连接． 是中线， ， 又是中点， 是的中位线， ，， 是中点， ， ∵， ，， ， ， ，，， ，即， 故答案为：6． 解答题 33．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 【题型8.与三角形中位线有关的证明】 34．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 35．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 【答案】3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 36．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 37．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 【题型9.利用平行线间距离解决问题】 38．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到平行线间的距离处处相等，得到，根据等式的性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴平行线间的距离处处相等，得到， ， ． 故选：C． 39．如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 40．如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 41．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 解答题 42．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解：， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 【题型10.利用平行四边形的判定于性质求解】 43．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 44．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 45．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 46．如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，过点A 作垂直交延长线于点F，设为x，为y，则为，证明四边形为平行四边形，得到，，用勾股定理表示出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点A 作垂直交延长线于点F， 设为x，为y，则为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 解得，即， 故答案为：5． 【题型11.利用平行四边形性质和判定证明】 47．如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 通过平行四边形的判定与性质即可判断甲正确；根据以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或，可排除乙． 【详解】解：甲正确，乙不正确 理由： 如图1，∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲正确． 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或， ∴乙不一定正确， 故选B． 48．如图，是沿方向平移得到，延长，相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质； 根据平移的性质可得，，，则四边形为平行四边形，然后可得出，即，再根据，可知，问题得解． 【详解】解：由平移的性质可得：，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，A正确； ∴， ∴，，B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，C正确； 根据已知条件无法得出，D错误； 故选：D． 49．在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点作交于点，作交于点，过点作交于点，分别证明和得，，再证明四边形和是平行四边形，可得，从而得到． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，过点作交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 是的中线， 是的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 50．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【题型12.平行四边形性质于判定的应用】 51．如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 52．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 53．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 54．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【题型13.三角形中位线的实际应用】 55．如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位线判定和性质，根据题意得到是中位线，则由即可求解． 【详解】解：确定、的中点、，测得， ∴是中位线， ∴， 故选：D ． 56．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 57．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 58．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 取中点F，连接， ， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接，如图： ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小． 若， 则， ∴， ∴． 故答案为：，． 59．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2平行四边形题型突破讲义 重点 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形。 平行四边形性质：对边平行且相等；对角相等、邻角互补；对角线互相平分。 平行四边形判定：定义判定；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 基础应用：利用性质 / 判定求边长、角度，证明线段平行或相等。 难点 性质与判定的逻辑区分：性质是 “由平行四边形推结论”，判定是 “由条件推平行四边形”。 与三角形全等的综合证明：常需作对角线辅助线，转化图形问题。 动态问题分析：含动点、折叠的题型，需结合性质与方程思想求解。 判定定理的灵活选用：根据题干条件（如已知对角线选 “互相平分” 判定） 基础过关题 1.利用平行四边形的性质求解 2.利用平行四边形的性质证明 3.求平行间的距离 4.判断能否构成平行四边形 5添一个条件成为平行四边形 6.证明四边形是平行四边形 7.与三角形中位线有关的求解问题 8.与三角形中位线有关的证明 能力提升题 9.利用平行线间距离解决问题 10.利用平行四边形判定与性质求解 11.利用平行四边形性质与判定证明 12.平行四边形性质和判定的应用 拓展拔高题 13.三角形中位线的实际应用 . 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 1．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 4．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 解答题 5．如图，已知：的对角线，相交于点，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 6．在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 9．如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ． 解答题 10．如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【题型3.求平行间的距离】 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则直线与直线之间的距离是 ． 12．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 13．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 14．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 解答题 15．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 16．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 17．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 19．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【题型5.添一个条件成为平行四边形】 20．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 21．在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， 22．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 23．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【题型6.证明四边形是平行四边形】 24．下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 25．如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 ． 26．如图，点P是直线n外一点，在n上取两点M、N，分别以P、N为圆心，、长为半径画弧．两弧交于点Q，分别连接、、，则四边形是平行四边形，理由是 ． 27．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 解答题 28．如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 【题型7.与三角形中位线有关的求解问题】 29．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 30．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 31．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 32．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点，若，则 ． 解答题 33．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【题型8.与三角形中位线有关的证明】 34．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 35．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 36．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ． 37．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【题型9.利用平行线间距离解决问题】 38．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 39．如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 40．如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 41．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 解答题 42．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【题型10.利用平行四边形的判定于性质求解】 43．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 44．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 45．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 46．如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则 【题型11.利用平行四边形性质和判定证明】 47．如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 48．如图，是沿方向平移得到，延长，相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．， C． D． 49．在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为 ． 50．如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有 ． 【题型12.平行四边形性质于判定的应用】 51．如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 52．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 53．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 54．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【题型13.三角形中位线的实际应用】 55．如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 56．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 57．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 58．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ． 59．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $