5.3 一元一次方程的应用（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的步骤（审设找列解验答），涵盖行程、利润、工程等常见类型，通过古代问题、方案选择等情境构建从理论到实践的学习支架。 资料以真实情境问题为载体，如工厂生产配套、阶梯水费计算等，培养学生用数学眼光发现等量关系，通过题型分类训练提升数学思维的逻辑性，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

第五章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的应用 课标要点 1.建立模型：在几何、行程等实际情境中，分析已知量与未知量的关系，找出等量关系，建立一元一次方程模型。 2.掌握步骤：掌握列方程解决实际问题的一般步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。 3.体会思想：经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效模型和“化归”思想。 学习重难点 教学重点 1.寻找等量关系：能从实际问题中准确分析数量关系，找出列方程的核心等量关系。 2.建立方程模型：能根据等量关系正确列出方程，并规范求解，解决实际问题。 教学难点 1.抽象等量关系：在复杂情境（如行程、图形变化）中，准确找到并抽象出题目中的等量关系。 2.灵活建模求解：面对不同问题类型，能灵活选择设未知数的方法，并正确建立方程模型。 知识点 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 特别提醒 审题（找准等量关系）→设元（带单位）→列方程（左右意义一致）→解方程→检验（方程解和应用题实际意义）→作答。切勿跳步，检验易忽略。 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 特别提醒 常见类型：和差倍分、行程（相遇、追及）、工程（总量为1）、利润（售价-进价）、数字、方案选择等。关键找准不变量或等量关系，设未知数时注意单位统一。 随学随练 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 2．（25-26七年级上·山西运城·期末）2026年“活力小天使”少儿才艺展示活动票价为成人票60元/张，儿童票40元/张．为了让更多儿童受益，主办方推出两种优惠方案． 方案一：购买一张成人票赠送一张儿童票． 方案二：所有票实行七五折优惠． 某社区有4名家长和名儿童去参加本次活动． (1)按方案一需支付_____元，按方案二需支付_____元．（用含有的代数式表示） (2)当儿童人数为多少时，两种方案的金额相同？ (3)若儿童人数为25，则选择哪种方案更加优惠？ 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．其自来水收费的价目表如下：（注：水费按每户家庭每月份结算）； 类别 每月用水量 单价 第一阶梯 立方米（包括20立方米） 元/立方米 第二阶梯 立方米（包括30立方米） 元/立方米 第三阶梯 30立方米以上 元/立方米 (1)小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费_____元； (2)小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？ (3)小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？ 4．（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 拓展 一元一次方程的应用之销量和配套问题 1.抓等量，明关系：销量问题紧扣“总价=单价×数量”或“利润=售价-进价”；配套问题紧扣“比例相等”，如螺栓与螺母的个数比需满足2:1。 2.巧设元，表代数：通常设“销售数量”或“生产天数”为x，然后用含x的代数式表示出另一类物品的总量或总费用。 3. 列方程，解验答：根据找到的等量关系列出方程求解。最后务必检验解的合理性，特别是配套比是否符合实际整数件数。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）某玩具作坊制作一套“组合玩具”，由1个款玩具和3个款玩具组合而成.玩具作坊的师傅用1千克的材料可制作20个款玩具或180个款玩具，现玩具作坊有120千克的材料． (1)如何分配材料才能使制作的款与款玩具刚好配套成“组合玩具”？ (2)玩具作坊欲将“组合玩具”全部出售，尽快收回资金，决定以标价的七五折出售，每套“组合玩具”仍可获利，这样全部出售后总获利27000元，求每套“组合玩具”的标价为多少元． 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）电子厂要制作一批电子产品，每个产品由2个部件和4个部件组成，两种部件使用同种原材料，制作1个部件要用原材料，1个部件要用原材料． (1)若制作若干个电子产品共用了原材料，请问制作，两种部件各用了多少原材料？（列方程解应用题） (2)在（1）的条件下，该电子厂将销售价定为每个产品900元，测算发现每个产品的利润是成本的，若该厂按此售价销售完这批电子产品，共可盈利多少元？ 4．（25-26七年级上·陕西安康·期末）一张书桌由1个桌面和4条桌腿组成，某家具公司的木工师傅用1立方米木料可以制作书桌的桌面25个或制作桌腿300条，现在公司有20立方米木料．该公司的书桌每张的标价为90元． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿恰好配套？ (2)行知中学的王老师计划在该公司购买书桌．在和销售人员沟通过程中，销售人员说：“如果您再多购买2张书桌，就可以全部打九五折了，这样算下来比现在还省189元．”王老师原来计划购买多少张书桌？ 题型 一元一次方程的应用之古代问题 解题贴士 读懂文言文，用现代语言翻译题意，设未知数表示关键量，找等量关系列方程。注意单位换算（如“里”“步”），常见问题类型：盈亏、行程、工程、鸡兔同笼等。 ▌例1（2024·安徽合肥·一模）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） ▌对点练1-1（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ ▌对点练1-2（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ ▌对点练1-3（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 题型 一元一次方程的应用之销售问题 解题贴士 牢记核心公式：售价=进价×（1+利润率），利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。设未知数时用“进价”或“标价”作基准，找售价相等关系列方程。注意打折、降价等条件。 ▌例2（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ ▌对点练2-1（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）肖丽去商店买练习本，回来后告诉同学们：“店主给我说，如果多买一些就给我折优惠，所以我就买了本，结果便宜了元，”请求原来每本练习本价格． ▌对点练2-2（2026·陕西西安·二模）2026年春晚武术表演的宇树科技GI EDU U2进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买了A、B两种型号的同款机器人，已知A型号机器人的单价比B型号机器人的单价多4万元，且5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等．请问A、B两种型号机器人的单价分别是多少万元？ ▌对点练2-3（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 题型 一元一次方程的应用之方案问题 解题贴士 分别用代数式表示不同方案的费用或数量，根据“相等”或“最优”条件列方程。注意分类讨论（如按人数范围或用量区间），计算后比较各方案结果，选择符合题意的答案。 ▌例3（25-26六年级下·全国·课后作业）某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ ▌对点练3-1（24-25七年级上·河北沧州·期末）班级想购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问：当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ ▌对点练3-2（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ ▌对点练3-3（25-26七年级上·云南大理·期末）2025年11月29日，云南省城市足球联赛（“滇超”）在云南玉溪火热开赛，这是云南历史上规模最大的全省性比赛，受到全国百万观众关注．某校为积极响应这场“足球热”，计划在课后服务开设足球训练营，现需要采购一批足球运动装备，每套队服150元，每个足球90元．该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自的优惠方案如下： 商家 优惠方案 甲 每购买10套队服，送1个足球 乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折 (1)按照以上方案，到甲商家购买装备需要_________元，到乙商家购买装备需要_________元．（用含的代数式表示，填化简结果） (2)当购买多少个足球时，到甲、乙两商家购买装备的费用相等？ 题型 一元一次方程的应用之配套问题 解题贴士 根据配套比例，用代数式表示各部件数量，按比例相等列方程。关键找“几个A配几个B”，常用方法：交叉相乘相等或设倍数为x。注意统一单位，检查结果是否为整数。 ▌例4（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． ▌对点练4-1（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架． ▌对点练4-2（25-26七年级上·江西赣州·期末）某生产车间有25名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝500个或螺母1500个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东阳江·期末）炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 题型 一元一次方程的应用之工程问题 解题贴士 工作总量通常看作1（或单位“1”），工作效率=1÷工作时间。各阶段工作量之和=总工作量，或用“效率×时间”表示。注意“合作”用效率相加，“剩余”用减法。 ▌例5（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ ▌对点练5-1（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试） 某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ ▌对点练5-2（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划生产一批零件，若单独交给甲车间，需要10天完成；若单独交给乙车间，需要15天完成．为了尽快完成任务，决定让甲乙两车间合作生产，多少天可以完成这批零件的？ ▌对点练5-3（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 题型 一元一次方程的应用之行程问题 解题贴士 核心公式：路程=速度×时间。相遇问题：路程和=总距；追击问题：路程差=追及距。设未知数表示时间或路程，画线段图辅助分析，注意单位统一（如km/h与m/min）。 ▌例6（26-27七年级·全国·小升初衔接）只列方程不计算． 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，小时后相距千米．甲车的速度是千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ ▌对点练6-1（26-27七年级·全国·小升初衔接）两列火车从相距630千米的两地同时相向开出．甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米．经过几小时两车相遇？ ▌对点练6-2（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） ▌对点练6-3（25-26七年级上·山东青岛·期末）以下是两张不同类型火车的车票： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向__________，出发时刻__________（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 题型 一元一次方程的应用之数字问题 解题贴士 设某一位数字为x，用数位表示法表示整数（如两位数=10a+b）。找数字间关系（和、差、倍数或对调）列方程。注意：数位上的数字只能取0-9（首位不能为0），结果要检验。 ▌例7（25-26七年级上·湖北荆州·期末）我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 2025 1 5 ▌对点练7-1（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的倍与这个数的的和等于，求这个数． ▌对点练7-2（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ ▌对点练7-3（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 题型 一元一次方程的应用之比赛问题 解题贴士 常用“胜场数×胜场积分+平场数×平场积分+负场数×负场积分=总积分”。设胜（或平）场数为x，用总场数表示其他场次，负场积分常为0，注意积分数值要准确。 ▌例8（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ ▌对点练8-1（25-26七年级上·山西吕梁·期末）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，汾阳市教育体育局持续推动全民阅读行动，扎实建设“书香校园”，不断丰富阅读内涵、拓展育人载体，使书香氛围日益浓厚、阅读品牌持续擦亮．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，每题必答，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分80分，他答对了几道题? ▌对点练8-2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）七年级一班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 ▌对点练8-3（25-26七年级上·河南安阳·期末）2026年安阳市“甲骨文杯”中学生篮球联赛采用单循环赛制，每队均赛12场，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．下表是部分球队的参赛成绩： 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 安阳一中 12 8 2 2 26 林州二中 12 6 m 2 22 滑县实验中学 12 n 1 3 25 根据表格信息，解答下列问题： (1)求表格中m为______，n为______． (2)某队在本次联赛中胜场数是负场数的2倍，总积分为18分，求该队的胜场、平场、负场数； (3)若某队打完12场比赛后，胜场是平场的3倍，总积分能否为32分？请说明理由． 题型 一元一次方程的应用之几何问题 解题贴士 设未知数表示边长、半径或高，用周长、面积、体积公式列方程。注意等量关系：等长变形（周长不变）或等体积变形。单位统一，结果符合几何实际（如边长为正）。 ▌例9（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． ▌对点练9-1（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． ▌对点练9-2（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． ▌对点练9-3（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某饮料公司有一种底面直径和高分别为，的圆柱形易拉罐饮料，经市场调研决定对该产品外包装进行改造成如图所示形状． (1)改造后的几何体名称为_________，侧棱条数为_________． (2)计划将它的底面面积改为，那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?（用一元一次方程求解，结果保留） 题型 一元一次方程的应用之电费和水费问题 解题贴士 分段计费问题，先判断用量落在哪个区间，再按对应单价分别计算各段费用，相加等于总费用。注意各段单价不同，设未知数时需用分段函数思想列方程。 ▌例10（25-26七年级上·天津河北·期末）在甲复印店用纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为元．在乙复印店用纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费元．复印页数超过25页时，复印页数为多少时，两店的收费相同？ ▌对点练10-1（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ ▌对点练10-2（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） ▌对点练10-3（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 基础通关 一、单选题 1.（2026·河北邯郸·三模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南信阳·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）超市一品牌花生油按进货价提高后标价，后进行促销活动，按标价的折出售，每桶仍获利元，该品牌花生油每桶的进价是__________元． 7．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 12．（25-26七年级上·广东河源·期末）某商场花费元购进甲、乙两种服装共件，进价和售价如下表所示： 种类 进价/(元/件) 售价/(元/件) 甲 乙 (1)商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)将这些服装全部售完，可获利多少元？ 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 14．（25-26七年级上·江西抚州·期中）将连续的偶数2，4，6，8．．．．．．排列成如下的数表，用十字框框出5个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 ．．．．．． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2025吗？请说明理由． 15．（25-26七年级上·吉林·期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 素养提升 1.（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期中）为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛？ (2)“五一”活动中需要按期制作胸花和花环共80个，已知每2名学生能按期制作10个胸花，每3名学生能按期制作10个花环，通过调度，安排20名学生按期完成制作胸花和花环的任务，求制作胸花和花环的学生各多少人？ 8．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）为发展校园足球运动，某学校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买10套队服，送1个足球；乙商场的优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． (1)每套队服和每个足球的价格分别是多少？ (2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所需的费用． (3)假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？ 9．（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 10．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）水是生命之源，日常生活中我们都应该节约用水．为增强公民节水意识，合理利用水资源，遵义市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准如下： 收费方式 年用水量 单价（元） 第一阶梯 （包含，不包含） 第二阶梯 （包含，不包含） 第三阶梯 以上（不包含） （例如：该城市某户家庭年用水量为，则实际应交水费为元） (1)若某年用水量为时，则该年实际应交水费为 元；若某年用水量为时，则该年实际应交水费为 元； (2)已知某户居民某年的实际应交水费为元，则这户居民该年用水量是多少立方米？ (3)若该城市某户居民某年的年用水量为立方米，这户居民的该年应交水费是多少元？（用含的代数式表示并化简） 迁移创新 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 2.（25-26七年级上·河南郑州·期末）春节期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙两个商场的促销活动信息如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠 （比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据上述活动信息，解答以下问题： (1)甲、乙两个商场同时出售一件标价400元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想购买这套衣服，选择______家商场更合算（填“甲”或“乙”）． (2)李先生发现，甲、乙两商场同时出售一条标价300多元（不足400元）的裤子，最终付款金额相同，求这条裤子的标价． (3)春节前最后几天，乙商场进一步推出“先打折，再满100元减50元”的活动．李先生趁此活动购买了一件标价400元的上衣，付款后发现，实际付款金额比未打折前的付款金额还多10元，请问乙商场是先打______折再开展满减活动的（直接填写折扣数）． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数V 4 6 6 20 面数F 4 5 8 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________； (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数； (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的应用 课标要点 1.建立模型：在几何、行程等实际情境中，分析已知量与未知量的关系，找出等量关系，建立一元一次方程模型。 2.掌握步骤：掌握列方程解决实际问题的一般步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。 3.体会思想：经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效模型和“化归”思想。 学习重难点 教学重点 1.寻找等量关系：能从实际问题中准确分析数量关系，找出列方程的核心等量关系。 2.建立方程模型：能根据等量关系正确列出方程，并规范求解，解决实际问题。 教学难点 1.抽象等量关系：在复杂情境（如行程、图形变化）中，准确找到并抽象出题目中的等量关系。 2.灵活建模求解：面对不同问题类型，能灵活选择设未知数的方法，并正确建立方程模型。 知识点 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 特别提醒 审题（找准等量关系）→设元（带单位）→列方程（左右意义一致）→解方程→检验（方程解和应用题实际意义）→作答。切勿跳步，检验易忽略。 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 特别提醒 常见类型：和差倍分、行程（相遇、追及）、工程（总量为1）、利润（售价-进价）、数字、方案选择等。关键找准不变量或等量关系，设未知数时注意单位统一。 随学随练 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 【答案】(1)该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 (2)现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． （2）解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 2．（25-26七年级上·山西运城·期末）2026年“活力小天使”少儿才艺展示活动票价为成人票60元/张，儿童票40元/张．为了让更多儿童受益，主办方推出两种优惠方案． 方案一：购买一张成人票赠送一张儿童票． 方案二：所有票实行七五折优惠． 某社区有4名家长和名儿童去参加本次活动． (1)按方案一需支付_____元，按方案二需支付_____元．（用含有的代数式表示） (2)当儿童人数为多少时，两种方案的金额相同？ (3)若儿童人数为25，则选择哪种方案更加优惠？ 【答案】(1)； (2)当儿童人数为10时，两种方案的金额相同 (3)当儿童人数为25时，选择方案二更优惠 【分析】本题考查列代数式解决实际问题，一元一次方程的实际应用．根据题意，正确地列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据两种方案的优惠方法，列出代数式即可； （2）根据两种方案的费用相同，列出方程进行求解即可； （3）将代入两个代数式，求值后进行比较即可． 【详解】（1）解：方案一需支付元， 方案二需支付元； 故答案为：； （2）解：令， 解得， ∴当儿童人数为10时，两种方案的金额相同； （3）若儿童人数为25人， 则方案一需支付元， 方案二需支付元， ∵， ∴当儿童人数为25时，选择方案二更优惠． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．其自来水收费的价目表如下：（注：水费按每户家庭每月份结算）； 类别 每月用水量 单价 第一阶梯 立方米（包括20立方米） 元/立方米 第二阶梯 立方米（包括30立方米） 元/立方米 第三阶梯 30立方米以上 元/立方米 (1)小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费_____元； (2)小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？ (3)小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？ 【答案】(1)25 (2)70元 (3)38立方米 【分析】此题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．注意水费分段计算． （1）根据表格数据直接列式计算即可． （2）根据表格数据直接列式计算即可． （3）先确定小颖家12月份用水量超过30立方米，设小颖家12月份用水量立方米，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费元； 故答案为：25． （2）解： 元， 答：小明家应缴水费70元． （3）解：（元）， ， 小颖家12月份用水量超过30立方米， 设小颖家12月份用水量立方米， 依题意得，， 解得：， 答：小颖家12月份用水量38立方米． 4．（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 拓展 一元一次方程的应用之销量和配套问题 1.抓等量，明关系：销量问题紧扣“总价=单价×数量”或“利润=售价-进价”；配套问题紧扣“比例相等”，如螺栓与螺母的个数比需满足2:1。 2.巧设元，表代数：通常设“销售数量”或“生产天数”为x，然后用含x的代数式表示出另一类物品的总量或总费用。 3. 列方程，解验答：根据找到的等量关系列出方程求解。最后务必检验解的合理性，特别是配套比是否符合实际整数件数。 活学活用 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套 (2)每套原售价应为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套，根据题意列方程，求解即可； （2）设每套原售价应为y元，根据利润率为列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套， 由题意得 解得， ∴（人）， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套； （2）解：设每套原售价应为y元，由题意得 解得， 答：每套原售价应为300元． 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）某玩具作坊制作一套“组合玩具”，由1个款玩具和3个款玩具组合而成.玩具作坊的师傅用1千克的材料可制作20个款玩具或180个款玩具，现玩具作坊有120千克的材料． (1)如何分配材料才能使制作的款与款玩具刚好配套成“组合玩具”？ (2)玩具作坊欲将“组合玩具”全部出售，尽快收回资金，决定以标价的七五折出售，每套“组合玩具”仍可获利，这样全部出售后总获利27000元，求每套“组合玩具”的标价为多少元． 【答案】(1)用千克材料制作款玩具，千克材料制作款玩具，才能使制作的款与款玩具刚好配套成“组合玩具” (2)每套“组合玩具”的标价为元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，包含配套问题与利润问题两个考点； （1）通过分析、两款玩具的配套数量关系，建立一元一次方程求解材料分配方案； （2）整合利润、折扣、利润率的关系，列方程直接求解标价． 【详解】（1）解：设用千克材料制作款玩具，则用千克材料制作款玩具． 根据题意，可得方程， 解得， 则． 答：用千克材料制作款玩具，千克材料制作款玩具，才能使制作的款与款玩具刚好配套成“组合玩具”； （2）解：设每套“组合玩具”的标价为元， 由（1）知组合玩具的总套数为套， 根据题意，可得方程， 解得， 答：每套“组合玩具”的标价为元． 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）电子厂要制作一批电子产品，每个产品由2个部件和4个部件组成，两种部件使用同种原材料，制作1个部件要用原材料，1个部件要用原材料． (1)若制作若干个电子产品共用了原材料，请问制作，两种部件各用了多少原材料？（列方程解应用题） (2)在（1）的条件下，该电子厂将销售价定为每个产品900元，测算发现每个产品的利润是成本的，若该厂按此售价销售完这批电子产品，共可盈利多少元？ 【答案】(1)A部件用了原材料，B部件用了原材料 (2)共可盈利10000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设产品数量为x，求出总原材料用量，根据总原材料用量列方程求解即可； （2）设每个产品成本为C元，则盈利为元，求出，进而求出总成本和总售价，即可求出总盈利． 【详解】（1）解：设制作电子产品x个， 则A部件数量为个，B部件数量为个， A部件总原材料用量为，B部件总原材料用量为， 总原材料用量为， 根据题意，， 解得， 所以A部件用了原材料，B部件用了原材料． 答：A部件用了原材料，B部件用了原材料； （2）解：设每个产品成本为C元，则盈利为元， ∵每个产品的利润是成本的， ∴， 即， 解得：， 总产品数量为25个， 总成本为元， 总售价为元， 总盈利为元． 答：共可盈利10000元． 4．（25-26七年级上·陕西安康·期末）一张书桌由1个桌面和4条桌腿组成，某家具公司的木工师傅用1立方米木料可以制作书桌的桌面25个或制作桌腿300条，现在公司有20立方米木料．该公司的书桌每张的标价为90元． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿恰好配套？ (2)行知中学的王老师计划在该公司购买书桌．在和销售人员沟通过程中，销售人员说：“如果您再多购买2张书桌，就可以全部打九五折了，这样算下来比现在还省189元．”王老师原来计划购买多少张书桌？ 【答案】(1)应该用15立方米木料制作桌面，用5立方米木料制作桌腿 (2)王老师原来计划购买80张书桌 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系桌腿数桌面数列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）设应该用x立方米木料制作桌面，用立方米木料制作桌腿．根据“1立方米木材可制作25个桌面，或者制作300条桌腿”建立方程求出其解即可； （2）设王老师原来计划购买y张书桌，根据比现在还省189元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应该用x立方米木料制作桌面，用立方米木料制作桌腿． 根据题意，得，解方程，得． 进而， 答：应该用15立方米木料制作桌面，用5立方米木料制作桌腿； （2）解：设王老师原来计划购买y张书桌． 根据题意，得，解方程，得， 答：王老师原来计划购买80张书桌． 题型 一元一次方程的应用之古代问题 解题贴士 读懂文言文，用现代语言翻译题意，设未知数表示关键量，找等量关系列方程。注意单位换算（如“里”“步”），常见问题类型：盈亏、行程、工程、鸡兔同笼等。 ▌例1（2024·安徽合肥·一模）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） 【答案】大船有3条，小船有5条 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设有条大船，则小船有条，根据大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设有条大船，则小船有条．     根据题意，得，         解得，             ， 答：大船有3条，小船有5条． ▌对点练1-1（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 【答案】竹竿有62竿 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设竹竿有竿，根据人数相等列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意列方程得： 解得 答：竹竿有62竿． ▌对点练1-2（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． ▌对点练1-3（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 【答案】 这批住店的客人共人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x间，根据每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；每一间客房住9个人，就会多出来一间房，列方程求解即可． 【详解】解：设间房有x间，根据题意得， 解得， 则（人）． 答：这批住店的客人共人． 题型 一元一次方程的应用之销售问题 解题贴士 牢记核心公式：售价=进价×（1+利润率），利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。设未知数时用“进价”或“标价”作基准，找售价相等关系列方程。注意打折、降价等条件。 ▌例2（25-26七年级下·北京海淀·期中）3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． ▌对点练2-1（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）肖丽去商店买练习本，回来后告诉同学们：“店主给我说，如果多买一些就给我折优惠，所以我就买了本，结果便宜了元，”请求原来每本练习本价格． 【答案】 原来每本练习本的价格为元． 【详解】解：设原来每本练习本价格为元， 根据题意可得， 化简得， 解得． 即原来每本练习本价格为元． ▌对点练2-2（2026·陕西西安·二模）2026年春晚武术表演的宇树科技GI EDU U2进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买了A、B两种型号的同款机器人，已知A型号机器人的单价比B型号机器人的单价多4万元，且5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等．请问A、B两种型号机器人的单价分别是多少万元？ 【答案】A型号机器人的单价为24万元，B型号机器人的单价是20万元 【分析】设A型号机器人的单价为x万元，则B型号机器人的单价是万元，根据“5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等”列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A型号机器人的单价为x万元，则B型号机器人的单价是万元． 依题意得：， 解得． 所以（万元）． 所以A型号机器人的单价为24万元，B型号机器人的单价是20万元． ▌对点练2-3（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 【答案】(1)每本A类书刊进价8元，每本B类书刊进价10元 (2)B类书刊打折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）设类书刊打了折，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了折． 题型 一元一次方程的应用之方案问题 解题贴士 分别用代数式表示不同方案的费用或数量，根据“相等”或“最优”条件列方程。注意分类讨论（如按人数范围或用量区间），计算后比较各方案结果，选择符合题意的答案。 ▌例3（25-26六年级下·全国·课后作业）某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 【答案】该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个， 由题意，得，解得． 所以该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个． ▌对点练3-1（24-25七年级上·河北沧州·期末）班级想购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问：当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ 【答案】 当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设购买乒乓球盒，根据题意列出方程即可解题． 【详解】解：设购买乒乓球盒，由题意知， 在甲店付款：元； 在乙店付款：元； 当时， 解得． 答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样． ▌对点练3-2（25-26七年级上·河南·期末）初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 【答案】 第一次购买12千克，第二次购买36千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先根据题意说明（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克，再设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意列出方程，并求出解即可． 【详解】解：∵，且第二次购买数量多于第一次， ∴（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克， 设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意，得 ， 解得，． 所以（1）班学生第一次购买12千克，第二次购买36千克． ▌对点练3-3（25-26七年级上·云南大理·期末）2025年11月29日，云南省城市足球联赛（“滇超”）在云南玉溪火热开赛，这是云南历史上规模最大的全省性比赛，受到全国百万观众关注．某校为积极响应这场“足球热”，计划在课后服务开设足球训练营，现需要采购一批足球运动装备，每套队服150元，每个足球90元．该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自的优惠方案如下： 商家 优惠方案 甲 每购买10套队服，送1个足球 乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折 (1)按照以上方案，到甲商家购买装备需要_________元，到乙商家购买装备需要_________元．（用含的代数式表示，填化简结果） (2)当购买多少个足球时，到甲、乙两商家购买装备的费用相等？ 【答案】(1)； (2)当购买15个足球时，到甲、乙两商家购买装备的费用相等 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题干，根据甲乙的优惠方案，进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，结合甲、乙两商家购买装备的费用相等，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即到甲商家购买装备需要元， 依题意，， 即到乙商家购买装备需要元； （2）解：由（1）得到甲商家购买装备需要元，到乙商家购买装备需要元； 依题意，， 解得， ∴当购买15个足球时，到甲、乙两商家购买装备的费用相等． 题型 一元一次方程的应用之配套问题 解题贴士 根据配套比例，用代数式表示各部件数量，按比例相等列方程。关键找“几个A配几个B”，常用方法：交叉相乘相等或设倍数为x。注意统一单位，检查结果是否为整数。 ▌例4（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． ▌对点练4-1（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架． 【答案】12名工人生产镜片，10名工人生产镜架 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设应该分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设应该分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 由题意，得：， 解得：； ∴； 答：应该分配12名工人生产镜片，10名工人生产镜架． ▌对点练4-2（25-26七年级上·江西赣州·期末）某生产车间有25名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝500个或螺母1500个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ 【答案】应分配15人生产螺丝 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，列出方程是解题关键．设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母，根据一个螺丝要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得， 答：应分配人生产螺丝． ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东阳江·期末）炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 【答案】安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． 设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套，即可建立方程． 【详解】解：设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套， ∴ 解得：， 则生产原味炒米饼的工人：（名） 答：安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套． 题型 一元一次方程的应用之工程问题 解题贴士 工作总量通常看作1（或单位“1”），工作效率=1÷工作时间。各阶段工作量之和=总工作量，或用“效率×时间”表示。注意“合作”用效率相加，“剩余”用减法。 ▌例5（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【答案】80个 【分析】设每小时加工产品10个时，总加工小时，列式得，再解方程即可． 【详解】解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． ▌对点练5-1（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试） 某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ 【答案】还需要9天 【分析】先表示出甲，乙两个车间的工作效率，再根据工作总量相等得出方程，然后求出解即可． 【详解】解：设还需要x天完成，根据题意，得 ， 解得， 答：还需要9天 ▌对点练5-2（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划生产一批零件，若单独交给甲车间，需要10天完成；若单独交给乙车间，需要15天完成．为了尽快完成任务，决定让甲乙两车间合作生产，多少天可以完成这批零件的？ 【答案】4天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲乙两车间合作x天可以完成这批零件的，根据题意可知甲车间每天完成乙车间每天完成结合题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲乙两车间合作x天可以完成这批零件的， 甲车间每天完成乙车间每天完成 依题意列方程： ， 解得， 答：4天可以完成这批零件的． ▌对点练5-3（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 【答案】(1)5天 (2)甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意列方程，再解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 题型 一元一次方程的应用之行程问题 解题贴士 核心公式：路程=速度×时间。相遇问题：路程和=总距；追击问题：路程差=追及距。设未知数表示时间或路程，画线段图辅助分析，注意单位统一（如km/h与m/min）。 ▌例6（26-27七年级·全国·小升初衔接）只列方程不计算． 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，小时后相距千米．甲车的速度是千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 【答案】 【分析】根据“路程时间速度和”，两车行驶时间为小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米，则，据此解答． 【详解】解：设乙车的速度是x千米/时， 两车行驶时间为小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米， 可得． ▌对点练6-1（26-27七年级·全国·小升初衔接）两列火车从相距630千米的两地同时相向开出．甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米．经过几小时两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】设经过小时两车相遇，根据数量关系式甲的速度相遇时间乙的速度相遇时间甲乙两地的距离就可列出方程． 【详解】解：设经过小时两车相遇，根据题意得： ， 解得：， 答：经过3小时两车相遇． ▌对点练6-2（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） 【答案】小时 【分析】题目中存在的等量关系为甲车行驶的路程乙车行驶的路程． 【详解】解：设出发小时两车相遇．根据题意，得： ， 解得：， 所以，出发小时两车相遇． ▌对点练6-3（25-26七年级上·山东青岛·期末）以下是两张不同类型火车的车票： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向__________，出发时刻__________（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)相同，不同 (2)动车的平均速度为，高铁的平均速度为 【分析】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键； （1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同，但出发时间分别是与，所以出发时刻不同； （2）设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为，而两车同时到达终点，于是可列方程，解方程即可求出高铁和动车的平均速度． 【详解】（1）解：车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同； 两车出发时间分别是与，所以出发时刻不同； 故答案为：相同，不同． （2）解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为 由题意得： 解得，， ， 答：动车的平均速度为，高铁的平均速度为． 题型 一元一次方程的应用之数字问题 解题贴士 设某一位数字为x，用数位表示法表示整数（如两位数=10a+b）。找数字间关系（和、差、倍数或对调）列方程。注意：数位上的数字只能取0-9（首位不能为0），结果要检验。 ▌例7（25-26七年级上·湖北荆州·期末）我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． ▌对点练7-1（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的倍与这个数的的和等于，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这个数为 ，根据题意列出方程，然后解方程求出的值即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得，， 解得：， 答：这个数是． ▌对点练7-2（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 【答案】(1) (2)58，59，60，61，62 【分析】本题考查整式加减及解方程． （1）表示出这五个连续整数，再求和即可； （2）根据题意得出方程，解方程求最小数n，即可求解． 【详解】（1）解：设其中最小的数为n，则五个连续整数为， ∴它们的和为． （2）解：根据题意可得， ， ， ∴五个数为58，59，60，61，62． ▌对点练7-3（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【答案】(1)2 (2) 解：差为，能被9整除，理由如下： 两位数与新两位数的差为：， 根据题意可知、均为整数， 所以能被9整除． 【分析】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据数位问题，数字的表示方法，及“原两位数比新两位数大9”列方程求解即可； （2）根据题意分别表示出原两位数和新两位数，并作差化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 即的值是2； （2）略 题型 一元一次方程的应用之比赛问题 解题贴士 常用“胜场数×胜场积分+平场数×平场积分+负场数×负场积分=总积分”。设胜（或平）场数为x，用总场数表示其他场次，负场积分常为0，注意积分数值要准确。 ▌例8（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班胜场数是11场，负场数为4场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该班胜场数是x场，则负场数为场，利用总积分胜场数负场数，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即胜场数），再将其代入中，即可求出负场数． 【详解】解：设该班胜场数是x场，则负场数为场， 根据题意得：， 解得：， ∴（场）． 答：该班胜场数是11场，负场数为4场． ▌对点练8-1（25-26七年级上·山西吕梁·期末）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，汾阳市教育体育局持续推动全民阅读行动，扎实建设“书香校园”，不断丰富阅读内涵、拓展育人载体，使书香氛围日益浓厚、阅读品牌持续擦亮．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，每题必答，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分80分，他答对了几道题? 【答案】他答对了18道题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，设他答对了道题，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， ， 解得：， 答：他答对了18道题． ▌对点练8-2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）七年级一班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 【答案】(1)5， (2)答对了17道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的运算，熟练掌握根据题意列方程求解的方法是解题的关键． （1）先根据全对的得分算出答对一题的分值，再通过其他同学的得分求出答错一题的分值． （2）设第6名同学答对的题数为未知数，根据答对得分+答错得分=总得分列方程求解． 【详解】（1）解：（分）， （分） ∴答对一题得分，答错一题得分； （2）解：设第6名同学答对了道题，则答错了道题． ， ， ， ， 故第6名同学答对了道题． ▌对点练8-3（25-26七年级上·河南安阳·期末）2026年安阳市“甲骨文杯”中学生篮球联赛采用单循环赛制，每队均赛12场，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．下表是部分球队的参赛成绩： 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 安阳一中 12 8 2 2 26 林州二中 12 6 m 2 22 滑县实验中学 12 n 1 3 25 根据表格信息，解答下列问题： (1)求表格中m为______，n为______． (2)某队在本次联赛中胜场数是负场数的2倍，总积分为18分，求该队的胜场、平场、负场数； (3)若某队打完12场比赛后，胜场是平场的3倍，总积分能否为32分？请说明理由． 【答案】(1)4，8 (2)胜4场，平6场，负2场 (3) 解：总积分不能为32分．理由如下： 设平场y场，则胜场场，负场， 列方程：，解得：， 由于不是整数，不符合场数为正整数的实际情况，因此该队总积分不能为32分． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准数量关系是解题的关键．依据比赛总场次胜场数平场数负场数、总积分胜场积分平场积分负场积分，通过设未知数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得 由， 解得，， 故答案为：； （2）解：设负场数为x场，则胜场数为场，平场为场， 列方程：，解得． 平场：（场），胜场：（场）． 答：胜4场，平6场，负2场． （3）略 题型 一元一次方程的应用之几何问题 解题贴士 设未知数表示边长、半径或高，用周长、面积、体积公式列方程。注意等量关系：等长变形（周长不变）或等体积变形。单位统一，结果符合几何实际（如边长为正）。 ▌例9（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． 【答案】长为、宽为． 【分析】根据长方形的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形的周长为34， ∴， 解得：， ∴长方形的长为、宽为． ▌对点练9-1（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)正方形纸片的边长为 (2) 【分析】（1）设正方形纸片的边长为．根据题意，得，解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为，求解即可． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为． 根据题意，得， 解得，经检验，符合题意． 故正方形纸片的边长为． （2）解：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为． ▌对点练9-2（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【答案】圆柱的高为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据圆柱的体积长方体的体积，列方程，即可求解． 【详解】解：设圆柱形水桶的高为，由题意，得 ， 解得． 答：圆柱的高为． ▌对点练9-3（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某饮料公司有一种底面直径和高分别为，的圆柱形易拉罐饮料，经市场调研决定对该产品外包装进行改造成如图所示形状． (1)改造后的几何体名称为_________，侧棱条数为_________． (2)计划将它的底面面积改为，那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?（用一元一次方程求解，结果保留） 【答案】(1)五棱柱，5 (2)易拉罐的高度将变为厘米 【分析】本题考查了几何体的认识、一元一次方程的应用，掌握圆柱和五棱柱的体积公式是解题的关键． （1）根据五棱柱的几何特征即可求解； （2）设易拉罐的高度将变为x厘米，根据圆柱和五棱柱的体积相等，列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：改造后的几何体名称为五棱柱，侧棱条数为5； 故答案为：五棱柱，5； （2）解：设易拉罐的高度将变为x厘米， 根据题意，得， 解得， 答：易拉罐的高度将变为厘米． 题型 一元一次方程的应用之电费和水费问题 解题贴士 分段计费问题，先判断用量落在哪个区间，再按对应单价分别计算各段费用，相加等于总费用。注意各段单价不同，设未知数时需用分段函数思想列方程。 ▌例10（25-26七年级上·天津河北·期末）在甲复印店用纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为元．在乙复印店用纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费元．复印页数超过25页时，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确的列方程；设复印页数为页，根据两店的收费相同列方程求解即可． 【详解】解：设复印页数为页时，两店的收费相同， 由题意，得， 解得：， 答：当复印页数为40页时，两店的收费相同． ▌对点练10-1（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ 【答案】(1)用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元 (2)水费用代数式表示为元 (3)该月小红家用了30吨水 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，进行列式计算，即可作答． （2）结合收费情况以及用字母表示小红家每月用水的吨数，进行分析列式化简，即可作答． （3）先得出，故设该月小红家用了吨水（），得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， （元）， 即用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元； （2）解：依题意，， ∴水费用代数式表示为元， （3）解：依题意，， ∴设该月小红家用了吨水（） ∴， 解得， 即该月小红家用了30吨水． ▌对点练10-2（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． ▌对点练10-3（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 基础通关 一、单选题 1.（2026·河北邯郸·三模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 2．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 3．（2026·河南信阳·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 观察右上到左下的对角线，三个数和为：， ∴所有行、列、对角线的和均为 ， 又第一列三个数的和为：， ∴可得方程， 解得 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 5．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 二、填空题 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）超市一品牌花生油按进货价提高后标价，后进行促销活动，按标价的折出售，每桶仍获利元，该品牌花生油每桶的进价是__________元． 【答案】 【分析】设该品牌花生油每桶的进价是元，根据题意得出售价为，根据每桶仍获利元列出一元一次方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设该品牌花生油每桶的进价是元， ∵花生油按进货价提高后标价，按标价的折出售， ∴售价为， ∵每桶仍获利元， ∴， 解得：． ∴该品牌花生油每桶的进价是元． 7．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（方案优惠问题），解题的关键是设出商品原价，根据两种方案付款金额相等建立方程求解． 设商品原价为元（，否则方案二无超额折扣，无法与方案一付款相等）；表示出方案一付款为元，方案二付款为元；根据付款相等列方程求解，再计算付款金额． 【详解】解：设商品原价为元（）， 方案一付款：元， 方案二付款：元， 由付款相等得， ， ， ， 相等付款额为元． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 【答案】 8 【详解】解：∵两个长方形的面积相等 ∴ 解得； ∴图形的周长是． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 【答案】1或/或1 【分析】设出发小时后两车相距，分两种情况讨论，根据路程和的等量关系列方程求解． 【详解】解：设出发小时后两车相距， 分两种情况讨论：当相遇前两车相距时， 根据题意得， 解得； 当相遇后两车相距时， 根据题意得， 解得； 综上，出发小时或小时两车相距． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江西赣州·期末）“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 【答案】分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 通过设未知数，根据配套关系列出方程，即一个笼身配两个笼底，建立等式并求解． 【详解】解：设有x根毛竹制作笼身，则有根毛竹制作笼底， 由题意，得，解得，则， 答：分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套． 12．（25-26七年级上·广东河源·期末）某商场花费元购进甲、乙两种服装共件，进价和售价如下表所示： 种类 进价/(元/件) 售价/(元/件) 甲 乙 (1)商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)将这些服装全部售完，可获利多少元？ 【答案】(1)购进甲种服装6件，乙种服装5件； (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用及利润计算，核心是根据总进价与总件数的等量关系求解服装数量，再利用利润公式计算总获利． （1）通过设甲种服装的件数为未知数，结合总件数表示出乙种服装的件数，依据“甲的总进价乙的总进价总花费”建立方程，解方程即可得到两种服装的数量； （2）先分别计算甲、乙两种服装的单件利润，再结合（1）中所求的数量，根据“总利润单件利润销售数量”计算总获利． 【详解】（1）解：设购进甲种服装件，则购进乙种服装件． 根据题意列方程：， 解得：， 则， 答：购进甲种服装6件，乙种服装5件． （2）解：甲种服装每件获利(元)， 乙种服装每件获利(元)， 总获利为(元)； 答：可获利元． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【答案】(1)5， (2)参赛者答对13题 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）由参赛者A可求得答对一题得分，由参赛者B可求得答错一题得分； （2）设参赛者答对题，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 14．（25-26七年级上·江西抚州·期中）将连续的偶数2，4，6，8．．．．．．排列成如下的数表，用十字框框出5个数． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 ．．．．．． (1)将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用含a的代数式表示十字框中五个数之和； (2)十字框中五个数之和能等于2025吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能等于2025，理由如下： 设十字框中五个数之和等于2025，则， 解得：，此时a不是偶数，不符合题意，舍去； ∴十字框中五个数之和不能等于2025． 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则． （1）根据题意列出代数式，再相加即可； （2）根据求出，再根据a为偶数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设中间的数为a， 则十字框中五个数之和为： ， ∴十字框中五个数之和为； （2）略 15．（25-26七年级上·吉林·期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1)80；120 (2)元 (3)12月用电量为度 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据表格计算即可； （2）根据表格中信息列出代数式即可； （3）求出12月电费所在位置，进而列方程计算即可． 【详解】（1）解：（元） ∴9月的电费是80元； （元） ∴10月的电费是120元； （2）解：依题意，当时，电费是： 元； （3）解：用电量为280度，电费为： ； 可知12月用电量在第三档， 设12月用电量为度， 则， 解得：， 即12月用电量为度． 素养提升 1.（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 【答案】A 【分析】先设出果奶单价，根据价格差表示可乐单价，再根据总花费的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设1听果奶的单价为元， ∵1听可乐比1听果奶贵0.5元， ∴1听可乐的单价为元， 小刚付20元，找回3元，因此总花费为元， 根据题意列方程得： 展开得 ， 整理得 ， 解得 ， 因此可乐单价为 元， 即1听果奶3元，1听可乐3.5元． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 4．（25-26六年级下·山东泰安·期中）为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 【答案】 【分析】把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程即可． 【详解】解：设乙单独完成剩下的任务还需要x小时， 由题意得∶ ． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 【答案】5 【分析】先根据总场数与负场数确定胜场与平场的总场数，再设未知数，根据总得分列出一元一次方程求解即可. 【详解】解：设这个队胜了场， 由题意得，总比赛9场，负2场，因此平的场数为场， 根据得分规则，总得分满足方程 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. ∴这个队胜了场． 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 【答案】 【分析】先设九宫格，则根据题意得“幻方”和为，由得到，再根据，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：设九宫格如下： “幻方”和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛？ (2)“五一”活动中需要按期制作胸花和花环共80个，已知每2名学生能按期制作10个胸花，每3名学生能按期制作10个花环，通过调度，安排20名学生按期完成制作胸花和花环的任务，求制作胸花和花环的学生各多少人？ 【答案】(1)七年级有52人，八年级有40人 (2)制作胸花的学生为8人，制作花环的学生为12人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设七年级有x人，则八年级有人，然后判断出七年级每套服装50元，八年级每套服装60元，再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）设制作胸花的学生为a人，制作花环的学生为人，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级的人数超过46人但不足90人 ∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， 根据题意得， 解得 ∴（人） 答：七年级有52人，八年级有40人； （2）解：设制作胸花的学生为a人，制作花环的学生为人， 根据题意得， 解得 ∴（人） 答：制作胸花的学生为8人，制作花环的学生为12人． 8．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）为发展校园足球运动，某学校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买10套队服，送1个足球；乙商场的优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． (1)每套队服和每个足球的价格分别是多少？ (2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所需的费用． (3)假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)每套队服150元，每个足球100元 (2)当时，甲商场15000元，当时，甲商场：元；乙商场：元 (3)当时，两家花费一样；当时，到甲商场购买更合算；当时，到乙商场购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设每个足球的价格为x元，则每套队服的价格为元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可； （2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解； （3）先求出到两家商场购买一样合算时足球的个数，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格为x元，则每套队服的价格为元， 根据题意， 解得 答：每套队服150元，每个足球100元； （2）解：每购买10套队服送1个足球，购买100套送10个足球， 当时，到甲商场购买：购买100套队服，费用为元； 当时，实际支付足球个数为个，每个100元，则足球费用为元 故总费用为元 到乙商场购买：购买队服超过80套，足球打八折，每个足球80元 则队服费用元，足球费用元 总费用为元； （3）解：当时，甲商场费用元显然小于乙商场费用元； 由题意得，， 解得 ∴当时，两家花费一样； 当时，到甲商场购买更合算； 当时，到乙商场购买更合算， 综上：当时，两家花费一样； 当时，到甲商场购买更合算； 当时，到乙商场购买更合算 9．（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【答案】(1)，， (2)场 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）借助表格中各队伍的比赛场次、胜平负场数与积分的对应关系，通过计算推导胜、平、负一场的积分值； （2）根据总积分的构成，设未知数建立一元一次方程，求解火焰队剩余比赛的胜场数． 【详解】（1）解：由未来巨人队场平积分，可得平一场积分． 由火焰队胜平积分，可得胜一场积分． 由超音速队平负积分，可得负一场积分． 故答案为：，，． （2）解：设火焰队在剩余的场比赛中赢了场剩余场输了场，所以平的场次为场 已知火焰队前场积分，总积分分． 根据积分规则列方程： 解得 答：火焰队在剩余的场比赛中一共赢了场． 10．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）水是生命之源，日常生活中我们都应该节约用水．为增强公民节水意识，合理利用水资源，遵义市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准如下： 收费方式 年用水量 单价（元） 第一阶梯 （包含，不包含） 第二阶梯 （包含，不包含） 第三阶梯 以上（不包含） （例如：该城市某户家庭年用水量为，则实际应交水费为元） (1)若某年用水量为时，则该年实际应交水费为 元；若某年用水量为时，则该年实际应交水费为 元； (2)已知某户居民某年的实际应交水费为元，则这户居民该年用水量是多少立方米？ (3)若该城市某户居民某年的年用水量为立方米，这户居民的该年应交水费是多少元？（用含的代数式表示并化简） 【答案】(1)， (2)立方米 (3)当时，应交水费为元；当时，应交水费为元；当时，应交水费为元 【分析】本题是阶梯收费的实际应用问题，解题的关键是根据不同用水量对应的阶梯单价进行计算． （1）直接根据对应阶梯单价计算水费即可解答； （2）先判断水费所在的阶梯范围，再通过列方程求解用水量即可解答； （3）需分三种情况讨论，根据不同的用水量范围列出对应的水费代数式并化简即可求解 ． 【详解】（1）解：当用水量为时， 应交水费为（元）， 当用水量为时， 应交水费为（元）， 答：用水量为时应交水费元，用水量为时应交水费元； （2）解：先计算第二阶梯最高水费：（元）， ， 该户居民用水量在第三阶梯， 设这户居民该年用水量为， 根据题意列方程：， 解得， 答：这户居民该年用水量是立方米； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，应交水费为元； ②当时，应交水费为元； ③当时，应交水费为元； 综上所述，当时，应交水费为元；当时，应交水费为元；当时，应交水费为元． 迁移创新 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)一共做了8个无盖长方体纸盒； (2)大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； (3) 解：该说法正确，理由如下： 设按图①方式裁剪的大长方形纸板有张，按图②方式裁剪的大长方形纸板有张，按图③方式裁剪的大长方形纸板有张(为自然数)， 根据裁剪规律，裁剪得到的小长方形总数为，正方形总数为， ∵制作纸盒恰好用完所有材料， ∴，展开整理得， ∵按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张， ∴设(为正整数)， 将其代入得， ∵为正整数， ∴为正整数，即是4的倍数， ∴按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料，故该说法正确． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及方案设计的数学问题，核心是根据三种裁剪方式得到的小长方形、正方形数量，结合无盖长方体纸盒的制作要求建立数量等量关系，通过设未知数、列方程、分析数量需求和代数推理解决问题． （1）设出两种裁剪方式的纸板张数，分别表示出小长方形和正方形的总数，根据纸盒制作的数量关系列一元一次方程求解； （2）先明确制作14个纸盒所需的小长方形和正方形数量，再分别分析任选两种裁剪方式的三种组合，计算每种组合所需的大长方形纸板总数，对比后确定耗材最少的方案； （3）设出三种裁剪方式的纸板张数，列出小长方形总数与正方形总数的等量关系，化简得到三者的代数关系式，结合图②裁剪纸板张数为偶数的条件，通过代数变形推导出图①裁剪纸板张数为4的倍数． 【详解】（1）解：设将张大长方形纸板按图①方式裁剪，则张大长方形纸板按图②方式裁剪，则小长方形总数为，正方形总数为， 根据题意，列方程， 解得， 则正方形个数为，即为无盖长方体纸盒的个数， 答：一共做了8个无盖长方体纸盒； （2）解：制作14个无盖纸盒，根据制作要求可知至少需要14个正方形纸板和个小长方形纸板， ①采取图①、图②方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪，此方式同时得到个小长方形纸板，还需要小长方形纸板个， 故需要张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ②若采取图①、图③方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图③裁剪得到， ∴需要张，即需3张大长方形纸板按图③裁剪， 张，即需19张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ③若采取图②、图③方式裁剪， ∵小长方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪； ∵， ∴大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； （3）略 2.（25-26七年级上·河南郑州·期末）春节期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙两个商场的促销活动信息如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠 （比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据上述活动信息，解答以下问题： (1)甲、乙两个商场同时出售一件标价400元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想购买这套衣服，选择______家商场更合算（填“甲”或“乙”）． (2)李先生发现，甲、乙两商场同时出售一条标价300多元（不足400元）的裤子，最终付款金额相同，求这条裤子的标价． (3)春节前最后几天，乙商场进一步推出“先打折，再满100元减50元”的活动．李先生趁此活动购买了一件标价400元的上衣，付款后发现，实际付款金额比未打折前的付款金额还多10元，请问乙商场是先打______折再开展满减活动的（直接填写折扣数）． 【答案】(1)乙 (2)元 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用；一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）分别计算在甲、乙商场购买这套衣服的实际付款金额，比较大小后得出更合算的商场． （2）设裤子标价为未知数，根据甲、乙商场付款金额相等的关系列一元一次方程求解，结合标价的取值范围验证结果． （3）先算出未打折前的付款金额，再根据实际付款金额的关系设折扣数为未知数，列方程求解． 【详解】（1）解：这套衣服的标价总和为（元） 在甲商场的付款金额为（元） 在乙商场的付款金额为（元） 因为 所以选择乙商场更合算． 故答案为：乙． （2）解：设这条裤子的标价为元，由题意得 在甲商场的付款金额为元 在乙商场的付款金额为元 根据题意列方程得 解得： 答：这条裤子的标价为元 （3）解：设乙商场先打折再开展满减活动， 未打折前在乙商场购买该上衣的付款金额为（元）， 实际付款金额为（元）， 上衣打折后的价格为（元）， 设打折后价格为元，满减次数为（为正整数），则且． 联立可得， 解得． 又因打折后价格不高于原价400元，即， 解得． 综上，只能取整数3， 因此打折后价格中包含3个100元． 列方程得 解得： 故答案为：． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【项目式学习】根据素材，探索完成任务： 材料：十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着一个关系式，被称为欧拉公式，其实，你也可以做到！ 名称 四面体 三棱柱 正八面体 正十二面体 图形 顶点数V 4 6 6 20 面数F 4 5 8 12 棱数E 6 9 12 30 (1)任务一：通过表格，你发现简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是______________________________； (2)任务二：某设计师创作了一款多面体形状的灯具，已知它的面数比顶点数多10，且棱数比面数多8，求这个多面体的面数； (3)任务三：如图，有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮的是正五边形，白皮的是正六边形．它们的边长都相等并且每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形周围又连着3个正五边形和3个正六边形，求正五边形和正六边形的个数． 【答案】(1) (2)这个多面体的面数为20 (3)正五边形有12个，正六边形有20个 【分析】（1）直接根据表格总结数量关系式即可； （2）设顶点数为V，则面数，棱数，代入欧拉公式求解即可； （3）设正五边形有x个，正六边形y个，则顶点数为；面数；棱数，代入欧拉公式求出，进而可知． 【详解】（1）解：由表格可知，简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的数量关系式是； （2）解：设顶点数为V，则面数，棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ， 答：这个多面体的面数为20； （3）解：设正五边形有x个，正六边形y个， 则顶点数为；面数；棱数． 代入欧拉公式得：， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：，所以． 答：正五边形有12个，正六边形有20个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $