4.2提公因式法 讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦提公因式法因式分解核心知识点，前承整式乘法（逆用乘法分配律），后启其他因式分解方法，通过确定公因式“四步法则”（定系数、字母、指数、形式）和分解步骤（找、提、写、验证）构建学习支架。 该资料特色在于融入“玲龙一号”管路长度、刘禹锡诗句等生活科技与文化实例，培养抽象能力与应用意识。课中通过易错点解析（如含负号、多项式公因式）强化推理意识，课后分层作业助力学生查漏补缺，提升因式分解熟练度。

2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第二节提公因式法》讲义 ( 一． 学习 目标 1.经历探索多项式各项公因式的过程，能准确确定多项式各项的公因式，发展抽象思维能力。 2.理解提公因式法因式分解的理论依据（逆用乘法分配律），掌握提公因式法因式分解的基本步骤。 3.能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，解决含符号变化、公因式为多项式的复杂问题，体会因式分解与整式乘法的互逆关系。 4.在应用提公因式法解决实际问题的过程中，感受数学与生活、科技的联系，培养 “ 言之有据 ” 的推理习惯。 ) ( 二．重点难点 1.重点：确定多项式各项的公因式，掌握提公因式法因式分解的步骤和方法。 2.难点：准确提取含负号、相同多项式因式的公因式，避免漏项或符号错误。 ) 三．课前预习 1.几个单项式中都含有的________，叫做这几个单项式的公因式；把多项式各项中的公因式提出来，将多项式化为两个整式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做________。 2.确定公因式时，系数取各项系数的________，字母取各项中都含有的________，字母的指数取各项中该字母的________。 3.提公因式法的理论依据是________（用字母表示为：ma + mb + mc = m(a + b + c)）。 4.因式分解与整式乘法是________运算，如2x(x + 3) = 2x2 + 6x是整式乘法，则2x2+ 6x因式分解的结果为________。 5.多项式3x2y - 6xy2 + 9xy中，各项系数的最大公因数是________，相同字母有________，各项中x的最低指数是________，y的最低指数是________，因此该多项式的公因式是________。 【答案】1.相同因式；提公因式法 2.最大公因数；相同字母；最低次幂 3.乘法分配律的逆用 4.互逆；2x(x + 3) 5. 3；x、y；1；1；3xy 四．课堂探秘 探究一：公因式的确定方法 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢?尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流. 多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b.我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式(commonfactor).如b就是多项式ab+bc各项的公因式. 1.公因式的定义：几个整式（单项式或多项式）中都含有的相同因式，叫做它们的公因式。 【议一议】 （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么? 【解析】系数：2 和 6 的最大公因数是 2。字母：两项都含有 x，取最低次幂 x2。公因式：2x2。 （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?与同伴交流. 【解析】2x2+6x3 = 2x2(1 + 3x) 2.确定公因式的“四步法则” （1）定系数：取各项系数的最大公因数（若首项系数为负，公因式通常带负号，方便后续计算）。 （2）定字母：取各项中都含有的相同字母。 （3）定指数：取相同字母的最低次幂。 （4）定形式：若各项含相同的多项式因式（如 (x-2)、(a+b)），这个多项式也是公因式。 例1.（1）求多项式 4a2b - 6ab2 + 8ab 的公因式： （2）求多项式 3(x-1) + 5(x-1)2 的公因式： （3）求多项式 -2x^3y + 4x^2y^2 - 6xy^3 的公因式： 首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数 x^1y^1 → 公因式为 -2xy。 【解析】（1）系数最大公因数是 2，相同字母是 a,b，最低指数都是1 → 公因式为 2ab。 （2）相同多项式因式是 (x-1)，系数最大公因数是 1 → 公因式为 (x-1)。 （3）首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数都是 1 → 公因式为 -2xy。 3.易错点提醒 （1）公因式可以是单项式，也可以是多项式。 （2）提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得 1，不能省略（如 2x2 - 6x + 2 = 2(x2- 3x + 1)，最后一项的 1 必须保留）。 （3）遇到互为相反数的因式（如 (x-y) 与 (y-x)），先变形：(y-x) = -(x-y)，再提取公因式。 探究二：提公因式法的分解步骤 1.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例2.把下列各式因式分解: (1)3x+x3; (2)7x3-21x2; (3)8a3b2-12ab2c+ab; (4)-24x3+12x2-28x. 解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2); (2)7x3-21x2=7x2·x-7x ·3=7x2(x-3); (3)8a3b2-12ab2c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1); (4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7). 2.提公因式法的分解步骤 （1）第一步“找”：找出公因式为； （2）第二步“提”：将各项除以公因式，得到另一个因式； （3）第三步“写”：将多项式表示为公因式与另一个因式的乘积； （4）验证：用整式乘法展开结果，看是否与原多项式相等。 “一找、二提、三写、四验证”，提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得1，1不能省略。 五．课堂检测 （一）．选择题 1．多项式各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵系数的公约数是，相同字母的最低指数次幂是，∴多项式各项的公因式是，故选D． 2．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，∴，，的公因式为．故选：A． 3．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(  ) A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2 C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b） 【答案】C 【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b) =8(7a-8b)(b-a).故选C. 4．下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 【答案】B 【解析】A、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故此选项错误；B、3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2，正确；C、2x2+3x3+x＝x（2x+3x2+1），故此选项错误；D、m2+n2，故此选项错误；故选：B． 5.下列各组多项式中，没有公因式的一组是（　　） A．ax﹣bx与by﹣ay B．6xy+8x2y与﹣4x﹣3 C．ab﹣ac与ab﹣bc D．（a﹣b）3x与（b﹣a）2y 【答案】C 【解析】A、ax﹣bx＝（a﹣b）x，by﹣ay＝（b﹣a）y，有公因式（a﹣b），故本选项错误； B、6xy+8x2y＝2xy（3+4x）与﹣4x﹣3＝﹣（4x+3）有公因式（4x+3），故本选项错误；C、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项正确；D、（a﹣b）3x与（b﹣a）2y有公因式（a﹣b）2，故本选项错误．故选：C． 6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式正确的是（　　） A．（a﹣2）（m2+m ） B．m（a﹣2）（m﹣1） C．m（a﹣2）（m+1） D．m（2﹣a）（m﹣1） 【答案】B 【解析】m2（a﹣2）+m（2﹣a）＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）＝m（a﹣2）（m﹣1）．故选：B． 7．边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．120 B．60 C．80 D．40 【答案】B 【解析】：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，∴a+b＝6，ab＝10，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×6＝60．故选：B． 8．利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：原式，故选：B． 9．将分解因式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】＋＝＝；故选C． 10．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc，如1×4﹣2×3＝﹣2．求的值为（　　） A．2c（a﹣b）2 B．2a（a﹣b）2 C．（a﹣c）（a﹣b） D．（a﹣c）（a+c） 【答案】A 【解析】∵ad﹣bc，∴原式＝（a+c）（a﹣b）2﹣（b﹣a）2（a﹣c） ＝（a+c）（a﹣b）2﹣（a﹣c）（a﹣b）2＝（a﹣b）2（a+c﹣a+c）＝2c（a﹣b）2；故选：A． （二）．填空题 11.2025年海南“玲龙一号”冷态试验成功，其设备管路长度可表示为代数式，因式分解：-10x2y + 15xy2 = ________。 【答案】：-5xy(2x - 3y) 【解析】：首项符号为负，公因式取-5xy（系数10和15的最大公约数5，带负号），各项除以公因式得2x - 3y，故结果为-5xy(2x - 3y)。 12.刘禹锡《浪淘沙》“千淘万漉虽辛苦”传递坚持精神，因式分解：14x3y3 - 21x2y4 = ________。 【答案】：7x2y3(2x - 3y) 【解析】：系数14和21的最大公约数是7，字母x、y的最低次幂分别为x2、y3，公因式为7x2y3，提取后括号内为2x - 3y，即分解结果为7x2y3(2x - 3y)。 13.八年级班级筹备2026年新春联欢会，购买糖果花费5x2z + 10xyz元，因式分解该代数式得________。 【答案】：5xz(x + 2y) 【解析】：公因式为5xz（系数5和10的最大公约数5，字母x、z的最低次幂x、z），提取后括号内为x + 2y，因此5x2z + 10xyz = 5xz(x + 2y)。 14.2026年中国核电智能化升级，用到的AI巡检机器人算法中，因式分解：8a3b2 - 12a2b3 = ________。 【答案】：4a2b2(2a - 3b) 【解析】：系数8和12的最大公约数是4，字母a、b的最低次幂分别为a2、b2，公因式为4a2b2，提取后得2a - 3b，故分解结果为42ab(22a - 3b)。 15.史青《应诏赋得除夜》“寒随一夜去”描写岁末迎新，因式分解：-6m3n2 + 9m2n3 = ________。 【答案】：-3m2n2(2m - 3n) 【解析】：公因式取-3m2n2（系数6和9的最大公约数3，首项为负带负号，字母取最低次幂），各项除以公因式得2m - 3n，即结果为-3m2n2(2m - 3n)。 16.学生计算2025年校园植树棵数，得到代数式7x2y - 14xy2，因式分解得________。 【答案】：7xy(x - 2y) 【解析】：公因式为7xy（系数7和14的最大公约数7，字母x、y的最低次幂x、y），提取后括号内为x - 2y，因此7x2y - 14xy2 = 7xy(x - 2y)。 17．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为________. 【答案】12 【解析】∵a＝2，a﹣2b＝3，∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12． 18．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为________. 【答案】5xy 【解析】5xy2-25x2y系数最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，故其公因式是5xy. 19．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于　　 ． 【答案】13 【解析】（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）] ＝（7x﹣3）（8x﹣9）∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c）， 20．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2030的值等于 　2023　 ． 【答案】2026 【解析】由x2﹣2x﹣1＝0得：x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，原式＝3x（2x+1）﹣10x2+5x+2030 ＝6x2+3x﹣10x2+5x+2030＝﹣4x2+8x+2030＝﹣4（x2﹣2x）+2030＝﹣4×1+2030＝2026． 故答案为：6． （三）．解答题 21．因式分解： (1)m2(a－2)－m(a－2)； (2)6a(b－1)2＋2(1－b)． 解:(1)原式＝m(a－2)(m－1). (2)原式＝6a(1－b)2＋2(1－b)＝2(1－b)[3a·(1－b)＋1]＝2(1－b)(3a－3ab＋1)． 22．把下列各式因式分解： （1）； （2）． 解:（1）； （2） ． 23．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共应用了 　　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2026，则需应用上述方法 　 　 次，结果是 　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 解：（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；故答案为：提公因式法，2； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+xx（x+1）2026，则需应用上述方法2026次，结果是（1+x）2027； 故答案为：2026，（1+x）202； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝（1+x）n+1． 24．阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式． 解法一：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 解法二：am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（m+n）（a+b） 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n； （2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，试判断△ABC的形状． 解：（1）m2x﹣3m+mnx﹣3n＝m（mx﹣3）+n（mx﹣3）＝（mx﹣3）（m+n）； （2）∵a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，∴a2（a﹣b）+5c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a2+5c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边，∴a2+5c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形． 25．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）． 展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是（3x+b），根据题意，得3x2+10x+m=（x+4）（3x+b）．展开，得3x2+10x+m=3x2+（b+12）x+4b．所以，，解得，所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8． 26．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． 解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x2+x+2025＝1+2025＝2026；故答案为：2026； （2）∵a+b＝3，∴2（a+b）﹣a﹣b+21＝2（a+b）﹣（a+b）+21＝（a+b）+21＝3+21＝24； （3）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，∴a2+b2+4ab＝（a2+2ab）+（b2+2ab）＝20+8＝28；故答案为：28； （4）当x＝1时，ax5+bx3+cx﹣5＝a+b+c﹣5＝m，∴a+b+c＝m+5，∴当x＝﹣1时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣a﹣b﹣c﹣5＝﹣（a+b+c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣10． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个多项式化成几个整式________的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式。 2.多项式各项都含有的________因式，叫做这个多项式各项的公因式。 3.提公因式法是指如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式________出来，从而将多项式化成两个整式乘积的形式。 4.公因式的确定需从系数、字母、字母的指数三方面考虑：系数取各项系数的________；字母取各项都含有的________字母；字母的指数取各项中该字母的________次幂。 5.若多项式的首项系数为负数，提取公因式时通常先提取一个________号，使括号内的首项系数为正数。 6.用提公因式法分解因式的基本步骤：第一步，________公因式；第二步，用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的_______________；第三步，写出因式分解的结果（公因式与括号内多项式的乘积）。 7.提取公因式后，括号内的多项式的项数与原多项式的项数________。 8.若多项式各项含有相同的多项式因式，可将其视为一个________，再提取公因式。 9.分解因式的结果必须是几个________的乘积，且每个因式中不再含有公因式（即分解到不能再分解为止）。 10.提取公因式时，容易忽略多项式中________的项（该项提取公因式后结果为1，不能省略）。 11.当公因式中含有负号时，提取后括号内各项的符号要________（与原多项式各项符号相反）。 12.确定公因式的字母部分时，要注意只取各项________的字母，不同时含有的字母不能作为公因式的一部分。 13.分解因式与整式乘法是________运算，可通过整式乘法检验因式分解的结果是否正确。 14.提取公因式后，括号内多项式的各项系数应是原多项式各项系数除以公因式系数后的________，确保不再含有公因数。 【答案】1.乘积 2. 相同的整式 3. 提取 4. 最大公约数；相同；最低 5. 负 6. 确定；另一个因式 7. 相同 8. 整体 9. 整式 10. 系数为1或-1 11. 改变 12. 都含有 13. 互逆 14. 商 （二）强化训练 一．选择题 1．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ） A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1 【答案】C 【解析】多项式-2an-1-4an+1中，系数的最大公约数是-2，相同字母的最低指数次幂是an-1， 因此公因式是-2an-1，故选C． 2．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则余下的部分是x．故选：C． 3．下列各式由左到右的变形正确的是(    ) A．-x-y=-(x-y) B．-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2) C．(y-x)2=(x-y)2 D．(y-x)3=(x-y)3 【答案】C 【解析】A．-x-y=-(x+y)，故本选项错误；B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本选项错误； C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本选项正确；D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本选项错误．故选C． 4．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（　　） A．3a2﹣2a+1 B．6a2﹣4a+2 C．3a2﹣2a D．3a2+2a﹣1 【答案】A 【解析】﹣6a3+4a2﹣2a＝﹣2a（3a2﹣2a+1），故选：A． 5．已知mn＝1，m﹣n＝2，则m2n﹣mn2的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解析】m2n﹣mn2＝mn（m﹣n），∵mn＝1，m﹣n＝2，∴原式＝1×2＝2，故选：C． 6．把多项式（1+x）（1﹣x）﹣（x﹣1）提取公因式（x﹣1）后，余下的因式是（　　） A．（x+1） B．﹣（x+2） C．﹣（x+1） D．x 【答案】B 【解析】：（1+x）（1﹣x）﹣（x﹣1），＝﹣（1+x）（x﹣1）﹣（x﹣1），＝（x﹣1）（﹣1﹣x﹣1），＝（x﹣1）（﹣2﹣x），＝﹣（x﹣1）（x+2），故选：B． 7．计算（﹣2）2026+（﹣2）2025所得的结果是（　　） A．﹣22025 B．﹣1 C．﹣2 D．22025 【答案】D 【解析】：（﹣2）2026+（﹣2）2025＝（﹣2）2025×（﹣2+1）＝22025．故选：D． 8．下列各式成立的是（    ） A．－x－y＝－（x－y） B．y－x＝x－y C．（x－y）2＝（y－x）2 D．（x－y）3＝（y－x）3 【答案】C 【解析】根据添括号法则，可知-x-y=-（x+y），故不正确；根据x-y与y-x互为相反数，故不正确；根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）2＝（y－x）2，故正确；根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）3＝-（y－x）3，故不正确.故选C. 9．下列代数式中，没有公因式的是（    ） A．ab与b B．a＋b与 C．a＋b与 D．x与 【答案】B 【解析】A选项：ab与b的公因式是b，故不符合题意；B选项：a＋b与没有公因式，故符合题意；C选项：因为a2－b2＝（a＋b）（a－b），所以a＋b与的公因式为a＋b，故不符合题意；D选项：x与的公因式是x，故不符合题意．故选：B 8．已知x2+x﹣1＝0，求2025x3+2024x2﹣2026x+1的值是（　　） A．2026 B．2027 C．1 D．0 【答案】D 【解析】：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴2025x3+2024x2﹣2026x+1＝2025x3+2025x2﹣x2﹣2026x+1＝2025x（x2+x）﹣x2﹣2026x+1＝2025x﹣x2﹣2026x+1＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x2+1）+1 ＝﹣1+1＝0，故选：D． 二．填空题 11.2026年“华龙一号”漳州核电2号机组投入商业运行，核电站的部分设备原理可简化为代数式运算，因式分解：15x3y2 - 25x2y3 = ________。 【答案】：5x2y2(3x - 5y) 【解析】：先确定公因式为5x2y2（系数取15和25的最大公约数5，字母取x、y的最低次幂x2、y2），再用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的式子，即(15x3y2÷5x2y2) - (25x2y3÷5x2y2) = 3x - 5y，最终结果为5x2y2(3x - 5y)。 12.苏轼在《望江南》中写道“且将新火试新茶”，某茶社整理茶叶时用到代数式，因式分解：-8a2b + 12ab 2= ________。 【答案】：-4ab(2a - 3b) 【解析】：公因式为-4ab（系数取8和12的最大公约数4，考虑首项符号为负，故公因式带负号，字母取a、b的最低次幂a、b），多项式各项除以公因式得(-8a2b÷(-4ab)) + (12ab2÷(-4ab)) = 2a - 3b，因此结果为-4ab(2a - 3b)。 13.八年级学生制作2026年新年贺卡，共用mx + my张彩纸，因式分解该代数式得________。 【答案】：m(x + y) 【解析】：观察代数式，两项都含有公因式m，提取公因式后，括号内为x + y，即mx + my = m(x + y)。 14.2025年我国“和福一号”项目实现镥—177规模化供应，相关技术运算中，因式分解：6x4z - 9x2yz = ________。 【答案】：3x2z(2x2 - 3y) 【解析】：公因式为3x^2z（系数取6和9的最大公约数3，字母取x、z的最低次幂x2、z），用各项除以公因式得2x2- 3y，故分解结果为3x2z(2x2- 3y)。 15.王安石《元日》“爆竹声中一岁除”描绘了新年景象，因式分解：12m2n - 18mn2 = ________。 【答案】：6mn(2m - 3n) 【解析】：系数12和18的最大公约数是6，字母m、n的最低次幂分别为m、n，公因式为6mn，提取后括号内为2m - 3n，即12m2n - 18mn2 = 6mn(2m - 3n)。 16.某学生整理2025年数学错题集，共记录4a3b - 6a2b2道题目，因式分解该代数式得________。 【答案】：2a2b(2a - 3b) 【解析】：公因式为2a^2b（系数4和6的最大公约数2，字母a的最低次幂a2、b的最低次幂b），提取后得2a - 3b，因此分解结果为2a2b(2a - 3b)。 17．分解因式: . 【答案】 【解析】原式=.故答案为 18．已知实数a，b，x，y满足，，则 . 【答案】20 【解析】∵，∴，∵，∴， ，故答案为：20． 19．分解因式： ． 【答案】 【解析】，故答案为：． 20.若，，则 ． 【答案】15 【解析】∵，，∴ ．故答案为：15． 三．解答题 21．把下列各式分解因式： (1)5xy－10x； (2)． 解：（1）原式． （2）原式． 22. 用简便方法计算： (1)1.992＋1.99×0.01； (2)20212＋2021－20222. 解：（1）原式=1.99（1.99+0.01）=1.99×2=3.98 （2）原式=2021（2021+1）-20222=2021×2022-2022=2022（2021-2022）=－2022 23.(1)因式分解: (2)设，是否存在，使得(1)中式子的化简结果为?若存在，求出所有满足条件的的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在，使得将代入上式得令即解得或 24. 先因式分解，再求值： (1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102； (2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值． 解：(1)原式＝x(a－2)×(5－4)＝x(a－2)，当x＝0.4，a＝102时，原式＝0.4×(102－2)＝40 (2)原式＝ab(a－b)＝－ab(b－a)＝－7×6＝－42 25. 如图，长方形的长为a，宽为b，试说明长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半． 解：长方形中带有阴影的三角形的面积之和为： a1b＋a2b＋a3b＋a4b＝b(a1＋a2＋a3＋a4)＝ab， 所以长方形中带阴影的三角形面积之和等于该长方形面积的一半． 26．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； (2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 解：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3＝（1+a）3+a（1+a）3＝（1+a）3（1+a）＝（1+a）4； （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4＝（1+a）4+a（1+a）4＝（1+a）4（1+a）＝（1+a）5；答案为：（1+a）5； 发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；故答案为：（1+a）n+1； 问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7＝47．故答案为：47． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第二节提公因式法》讲义 ( 一． 学习 目标 1.经历探索多项式各项公因式的过程，能准确确定多项式各项的公因式，发展抽象思维能力。 2.理解提公因式法因式分解的理论依据（逆用乘法分配律），掌握提公因式法因式分解的基本步骤。 3.能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，解决含符号变化、公因式为多项式的复杂问题，体会因式分解与整式乘法的互逆关系。 4.在应用提公因式法解决实际问题的过程中，感受数学与生活、科技的联系，培养 “ 言之有据 ” 的推理习惯。 ) ( 二．重点难点 1.重点：确定多项式各项的公因式，掌握提公因式法因式分解的步骤和方法。 2.难点：准确提取含负号、相同多项式因式的公因式，避免漏项或符号错误。 ) 三．课前预习 1.几个单项式中都含有的________，叫做这几个单项式的公因式；把多项式各项中的公因式提出来，将多项式化为两个整式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做________。 2.确定公因式时，系数取各项系数的________，字母取各项中都含有的________，字母的指数取各项中该字母的________。 3.提公因式法的理论依据是________（用字母表示为：ma + mb + mc = m(a + b + c)）。 4.因式分解与整式乘法是________运算，如2x(x + 3) = 2x2 + 6x是整式乘法，则2x2+ 6x因式分解的结果为________。 5.多项式3x2y - 6xy2 + 9xy中，各项系数的最大公因数是________，相同字母有________，各项中x的最低指数是________，y的最低指数是________，因此该多项式的公因式是________。 四．课堂探秘 探究一：公因式的确定方法 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢?尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流. 多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b.我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式(commonfactor).如b就是多项式ab+bc各项的公因式. 1.公因式的定义：几个整式（单项式或多项式）中都含有的相同因式，叫做它们的公因式。 【议一议】 （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么? （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?与同伴交流. 2.确定公因式的“四步法则” （1）定系数：取各项系数的最大公因数（若首项系数为负，公因式通常带负号，方便后续计算）。 （2）定字母：取各项中都含有的相同字母。 （3）定指数：取相同字母的最低次幂。 （4）定形式：若各项含相同的多项式因式（如 (x-2)、(a+b)），这个多项式也是公因式。 例1.（1）求多项式 4a2b - 6ab2 + 8ab 的公因式： （2）求多项式 3(x-1) + 5(x-1)2 的公因式： （3）求多项式 -2x^3y + 4x^2y^2 - 6xy^3 的公因式： 首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数 x^1y^1 → 公因式为 -2xy。 3.易错点提醒 （1）公因式可以是单项式，也可以是多项式。 （2）提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得 1，不能省略（如 2x2 - 6x + 2 = 2(x2- 3x + 1)，最后一项的 1 必须保留）。 （3）遇到互为相反数的因式（如 (x-y) 与 (y-x)），先变形：(y-x) = -(x-y)，再提取公因式。 探究二：提公因式法的分解步骤 1.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例2.把下列各式因式分解: (1)3x+x3; (2)7x3-21x2; (3)8a3b2-12ab2c+ab; (4)-24x3+12x2-28x. 2.提公因式法的分解步骤 （1）第一步“找”：找出公因式为； （2）第二步“提”：将各项除以公因式，得到另一个因式； （3）第三步“写”：将多项式表示为公因式与另一个因式的乘积； （4）验证：用整式乘法展开结果，看是否与原多项式相等。 “一找、二提、三写、四验证”，提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得1，1不能省略。 五．课堂检测 （一）．选择题 1．多项式各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 2．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(  ) A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2 C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b） 4．下列因式分解正确的是（　　） A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2 5.下列各组多项式中，没有公因式的一组是（　　） A．ax﹣bx与by﹣ay B．6xy+8x2y与﹣4x﹣3 C．ab﹣ac与ab﹣bc D．（a﹣b）3x与（b﹣a）2y 6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式正确的是（　　） A．（a﹣2）（m2+m ） B．m（a﹣2）（m﹣1） C．m（a﹣2）（m+1） D．m（2﹣a）（m﹣1） 7．边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．120 B．60 C．80 D．40 8．利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(   ) A． B． C． D． 9．将分解因式，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc，如1×4﹣2×3＝﹣2．求的值为（　　） A．2c（a﹣b）2 B．2a（a﹣b）2 C．（a﹣c）（a﹣b） D．（a﹣c）（a+c） （二）．填空题 11.2025年海南“玲龙一号”冷态试验成功，其设备管路长度可表示为代数式，因式分解：-10x2y + 15xy2 = ________。 12.刘禹锡《浪淘沙》“千淘万漉虽辛苦”传递坚持精神，因式分解：14x3y3 - 21x2y4 = ________。 13.八年级班级筹备2026年新春联欢会，购买糖果花费5x2z + 10xyz元，因式分解该代数式得________。 14.2026年中国核电智能化升级，用到的AI巡检机器人算法中，因式分解：8a3b2 - 12a2b3 = ________。 15.史青《应诏赋得除夜》“寒随一夜去”描写岁末迎新，因式分解：-6m3n2 + 9m2n3 = ________。 16.学生计算2025年校园植树棵数，得到代数式7x2y - 14xy2，因式分解得________。 17．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为________. 18．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为________. 19．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于　　 ． 20．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2030的值等于 　　 ． （三）．解答题 21．因式分解： (1)m2(a－2)－m(a－2)； (2)6a(b－1)2＋2(1－b)． 22．把下列各式因式分解： （1）； （2）． 23．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共应用了 　　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2026，则需应用上述方法 　 　 次，结果是 　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 24．阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式． 解法一：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 解法二：am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（m+n）（a+b） 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n； （2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，试判断△ABC的形状． 25．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）． 展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值． 26．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个多项式化成几个整式________的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式。 2.多项式各项都含有的________因式，叫做这个多项式各项的公因式。 3.提公因式法是指如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式________出来，从而将多项式化成两个整式乘积的形式。 4.公因式的确定需从系数、字母、字母的指数三方面考虑：系数取各项系数的________；字母取各项都含有的________字母；字母的指数取各项中该字母的________次幂。 5.若多项式的首项系数为负数，提取公因式时通常先提取一个________号，使括号内的首项系数为正数。 6.用提公因式法分解因式的基本步骤：第一步，________公因式；第二步，用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的_______________；第三步，写出因式分解的结果（公因式与括号内多项式的乘积）。 7.提取公因式后，括号内的多项式的项数与原多项式的项数________。 8.若多项式各项含有相同的多项式因式，可将其视为一个________，再提取公因式。 9.分解因式的结果必须是几个________的乘积，且每个因式中不再含有公因式（即分解到不能再分解为止）。 10.提取公因式时，容易忽略多项式中________的项（该项提取公因式后结果为1，不能省略）。 11.当公因式中含有负号时，提取后括号内各项的符号要________（与原多项式各项符号相反）。 12.确定公因式的字母部分时，要注意只取各项________的字母，不同时含有的字母不能作为公因式的一部分。 13.分解因式与整式乘法是________运算，可通过整式乘法检验因式分解的结果是否正确。 14.提取公因式后，括号内多项式的各项系数应是原多项式各项系数除以公因式系数后的________，确保不再含有公因数。 （二）强化训练 一．选择题 1．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ） A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1 2．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式由左到右的变形正确的是(    ) A．-x-y=-(x-y) B．-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2) C．(y-x)2=(x-y)2 D．(y-x)3=(x-y)3 4．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（　　） A．3a2﹣2a+1 B．6a2﹣4a+2 C．3a2﹣2a D．3a2+2a﹣1 5．已知mn＝1，m﹣n＝2，则m2n﹣mn2的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．2 D．﹣2 6．把多项式（1+x）（1﹣x）﹣（x﹣1）提取公因式（x﹣1）后，余下的因式是（　　） A．（x+1） B．﹣（x+2） C．﹣（x+1） D．x 7．计算（﹣2）2026+（﹣2）2025所得的结果是（　　） A．﹣22025 B．﹣1 C．﹣2 D．22025 8．下列各式成立的是（    ） A．－x－y＝－（x－y） B．y－x＝x－y C．（x－y）2＝（y－x）2 D．（x－y）3＝（y－x）3 9．下列代数式中，没有公因式的是（    ） A．ab与b B．a＋b与 C．a＋b与 D．x与 8．已知x2+x﹣1＝0，求2025x3+2024x2﹣2026x+1的值是（　　） A．2026 B．2027 C．1 D．0 二．填空题 11.2026年“华龙一号”漳州核电2号机组投入商业运行，核电站的部分设备原理可简化为代数式运算，因式分解：15x3y2 - 25x2y3 = ________。 12.苏轼在《望江南》中写道“且将新火试新茶”，某茶社整理茶叶时用到代数式，因式分解：-8a2b + 12ab 2= ________。 13.八年级学生制作2026年新年贺卡，共用mx + my张彩纸，因式分解该代数式得________。 14.2025年我国“和福一号”项目实现镥—177规模化供应，相关技术运算中，因式分解：6x4z - 9x2yz = ________。 15.王安石《元日》“爆竹声中一岁除”描绘了新年景象，因式分解：12m2n - 18mn2 = ________。 16.某学生整理2025年数学错题集，共记录4a3b - 6a2b2道题目，因式分解该代数式得________。 17．分解因式: . 18．已知实数a，b，x，y满足，，则 . 19．分解因式： ． 20.若，，则 ． 三．解答题 21．把下列各式分解因式： (1)5xy－10x； (2)． 22. 用简便方法计算： (1)1.992＋1.99×0.01； (2)20212＋2021－20222. 23.(1)因式分解: (2)设，是否存在，使得(1)中式子的化简结果为?若存在，求出所有满足条件的的值;若不存在，请说明理由. 24. 先因式分解，再求值： (1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102； (2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值． 25. 如图，长方形的长为a，宽为b，试说明长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半． 26．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； (2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $