第十四章 一次函数（单元自测·提升卷）数学新教材北京版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十四章 一次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B D A D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．且 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16．或 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质，根据一次函数的图象平行于直线，设该一次函数的解析式为，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴设该一次函数的解析式为，·····························2分 ∵该一次函数经过点， ∴把代入，得， 解得，····························4分 ∴．············································5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， （1）根据“一次函数，，为任何数，随的增大而增大，，为任何数，随的增大而减小，”列出不等式求解即可； （2）根据“一次函数图象经过原点，，”列式求解即可； （3）根据“一次函数的图象经过一、二、三象限时，，， ”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， ∴，····························2分 （2）当m、n是满足时，即时函数图象经过原点；····························3分 （3）若图象经过一、二、三象限，则，． 解得．····························5分 19．（6分） 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用两点法画直线即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点 ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为；····························3分 （2）解：当时，；当时，， 过点和画直线，如图所示： ····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为；····························2分 （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为．····························6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是；····························2分 （2）解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 如图， 当时，， 把代入，得 ， ∴．····························4分 ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴．····························6分 22．（8分） 【答案】(1)当购买30件产品时，两种方案付费一样多； (2)方案二关于的函数解析式为：； (3)若购买件数件， 当，则选择方案一； 当，则两个方案选择哪一个都可以； 当，则选择方案二 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象获得必要的数学信息是解题的关键． （1）根据两图象交点坐标作答即可； （2）求出方案二奖品的单价，从而求出关于的函数解析式即可； （3）根据图象，比较两种方案的函数值即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当购买30件奖品时，两种方案付费一样多．··················2分 （2）解：由图象可知：方案二关于的函数图象经过点，， 设方案二关于的函数解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴方案二关于的函数解析式为．····························4分 （3）解：根据图象，当购买不足30件时，即当时，即选择方案一更省钱， 当购买30件时，即当时，方案一和方案二费用相同，任选一个方案购买即可， 当购买超过30件，即当时，选择方案二更省钱．····························8分 23．（8分） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴；····························2分 （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴；····························5分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得．····························8分 24．（8分） 【答案】(1)下，上 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征； （1）把和分别代入函数解析式求出函数值和点的纵坐标比较解答即可； （2）根据题意可得，然后分为点，在直线和上或点，在直线和上，两种情况令，根据横坐标的差列不等式求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， 故答案为：下，上；····························3分 （2） 解：∵对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得， ∴， 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得：； 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得， ∴m的取值范围为， 故答案为：．····························8分 25．（10分） 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；  ②两；  ③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为： 4 ；····························2分 （2）解：函数的图象如图所示： ····························4分 （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：；····························6分 ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两；····························8分 ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或．····························10分 26．（10分） 【答案】(1)① (2)30，10 (3)， (4)0.35 【分析】本题考查一次函数的应用．根据甲箱至最低水位时1号管启动，判断出甲的函数图象是解决本题的关键；难点是判断出需要加热的时间；易错点是得到消耗电量的相等关系． （1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得图中表示甲的函数图象的是①； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值；前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降，第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同，可得乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟，那么； （3）分别设出一次函数解析式，表示出当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式和当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，把直线上的两点代入后求得一次项系数和常数项，即可求得所求的函数解析式； （4）求出当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，分别算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量=加热的时间+乙水箱水管工作的8分钟的用电量+外部自来水水管10分钟的用电量． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴图中表示甲的函数图象的是①． 故答案为：①；····························2分 （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． ∵前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降．第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同， ∴乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟． ∴． 故答案为：30，10；····························4分 （3）解：当时，设甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点，， ∴． 解得：． ∴当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 故答案为：，；····························6分 （4）解：①当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热， ∴． 解得：． ②当时，． 解得：． ③当时，， 解得． ∴需要加热的时间为：． ∴消耗的电量为：（度）． 故答案为：0.35．····························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十四章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的识别，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．除圆与x轴交点外，任意1个x值对应2个y值，y不是x的函数； B．当时，任意1个x值对应2个y值，y不是x的函数； C．对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，y是x的函数； D． 一个x值对应2个y值，y不是x的函数； 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先根据一次函数中y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选C． 3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象性质．当，随的增大而减小，由时，，可知随的增大而减小，则比例系数，从而求出的取值范围． 【详解】解：当时，，随的增大而减小， ，得． 故选：D． 4．（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与轴的交点坐标为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数中，． ∴y随x增大而减小，故选项A错误； ∵当，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，故选项B正确； 当时，， ∴图象与y轴交点为，故选项C错误； ∵y随x增大而减小，且当时，， ∴当时，，故选项D错误； 故选：B． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 【详解】解：过点的直线l经过第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 一次函数，，，y随x的增大而减小， A、， ，故选项判断错误，不符合题意； B、当，则一次函数图象与交于， ∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断错误，不符合题意； C、∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断错误，不符合题意； D、∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】设的解析式为，把各点分别代入解析式，解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】设的解析式为， 点的坐标为，点B的坐标为，点和点均在直线AB上， 故，， 故，， 故． 故选：A． 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 内部（不包括边上）的整点满足、均为正整数，， 当时，只有一个整点，整点不足个，不符题意； 当时，整点有、、，共个，符合题意； 当时，有多个整点，不符合题意； 故选：D． 8．（23-24九年级上·北京通州·期末）嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据函数图象特征确定函数中参数的取值范围，关键是利用分母不为0的性质和函数图象经过的象限来分析．通过观察函数图象的特征，确定a的取值范围，再根据函数图象经过的象限确定b的取值范围． 【详解】解：函数， 分母， ， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ， 由图可知当时，函数图像位于x轴下方， 当时，， ， ， 故 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京海淀·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 10．（24-25八年级下·北京平谷·期末）若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数，随增大而增大， 则， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与y轴交于点，则这个一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题．根据直线与直线平行得到k的值；再根据直线交轴于点得到b的值，进而得出函数的表达式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ， 将点代入中，可得 ， 一次函数的表达式为：． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）已知点，在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，判断函数值的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，， ∴； 故答案为： 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 14．（24-25八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 15．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，根据题意理解复合函数的表达式是解题的关键．先根据复合函数的定义得出一次函数与的复合函数，再由复合函数的图象经过第一、三、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可；先求出一次函数与的复合函数，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数与的复合函数为， 复合函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 依题意，一次函数与的复合函数为， ， ， ， ， 当时，函数值与无关， 解得，此时， 复合函数的图象经过定点． 故答案为：；． 16．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标中，直线过，若原点到直线l距离，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点人的坐标特征，勾股定理和三角形面积的应用，利用三角形面积公式求得的取值是解题的关键． 设直线l与轴交于点，与轴交于点，由题意可知，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式求得，即，解不等式求得或，根据直线过，得到，继而求得或． 【详解】解：设直线l与轴交于点，与轴交于点， 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或． ∵直线过， ， ， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式. 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质，根据一次函数的图象平行于直线，设该一次函数的解析式为，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴设该一次函数的解析式为， ∵该一次函数经过点， ∴把代入，得， 解得， ∴． 18．（5分）（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， （1）根据“一次函数，，为任何数，随的增大而增大，，为任何数，随的增大而减小，”列出不等式求解即可； （2）根据“一次函数图象经过原点，，”列式求解即可； （3）根据“一次函数的图象经过一、二、三象限时，，， ”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， （2）当m、n是满足时，即时函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，． 解得． 19．（6分）（24-25八年级下·北京通州·期中）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用两点法画直线即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点 ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，；当时，， 过点和画直线，如图所示： 20．（6分）（24-25八年级下·北京怀柔·期中）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为． 21．（6分）（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； （2）解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 如图， 当时，， 把代入，得 ， ∴． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 22．（8分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示： (1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多； (2)求方案二y关于x的函数解析式：（不用体现自变量的取值范围） (3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？ 【答案】(1)当购买30件产品时，两种方案付费一样多； (2)方案二关于的函数解析式为：； (3)若购买件数件， 当，则选择方案一； 当，则两个方案选择哪一个都可以； 当，则选择方案二 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象获得必要的数学信息是解题的关键． （1）根据两图象交点坐标作答即可； （2）求出方案二奖品的单价，从而求出关于的函数解析式即可； （3）根据图象，比较两种方案的函数值即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当购买30件奖品时，两种方案付费一样多． （2）解：由图象可知：方案二关于的函数图象经过点，， 设方案二关于的函数解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴方案二关于的函数解析式为． （3）解：根据图象，当购买不足30件时，即当时，即选择方案一更省钱， 当购买30件时，即当时，方案一和方案二费用相同，任选一个方案购买即可， 当购买超过30件，即当时，选择方案二更省钱． 23．（8分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得． 24．（8分）（24-25八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解． 如图，已知直线，直线和直线． (1)点在直线的_____方，点在直线的_____方（填“上”或“下”）； (2)以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线（为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是_____． 【答案】(1)下，上 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征； （1）把和分别代入函数解析式求出函数值和点的纵坐标比较解答即可； （2）根据题意可得，然后分为点，在直线和上或点，在直线和上，两种情况令，根据横坐标的差列不等式求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， 故答案为：下，上； （2） 解：∵对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得， ∴， 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得：； 当点，在直线和上， 令，则，， 解得，， ∴， 解得， ∴m的取值范围为， 故答案为：． 25．（10分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；  ②两；  ③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为： 4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 26．（10分）（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 【答案】(1)① (2)30，10 (3)， (4)0.35 【分析】本题考查一次函数的应用．根据甲箱至最低水位时1号管启动，判断出甲的函数图象是解决本题的关键；难点是判断出需要加热的时间；易错点是得到消耗电量的相等关系． （1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得图中表示甲的函数图象的是①； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值；前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降，第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同，可得乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟，那么； （3）分别设出一次函数解析式，表示出当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式和当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，把直线上的两点代入后求得一次项系数和常数项，即可求得所求的函数解析式； （4）求出当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，分别算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量=加热的时间+乙水箱水管工作的8分钟的用电量+外部自来水水管10分钟的用电量． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴图中表示甲的函数图象的是①． 故答案为：①； （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． ∵前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降．第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同， ∴乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟． ∴． 故答案为：30，10； （3）解：当时，设甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点，， ∴． 解得：． ∴当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 故答案为：，； （4）解：①当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热， ∴． 解得：． ②当时，． 解得：． ③当时，， 解得． ∴需要加热的时间为：． ∴消耗的电量为：（度）． 故答案为：0.35． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十四章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与轴的交点坐标为 D．当时， 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．9 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·北京通州·期末）嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京海淀·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·北京平谷·期末）若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与y轴交于点，则这个一次函数的表达式为 ． 12．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）已知点，在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 14．（24-25八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 15．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 16．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标中，直线过，若原点到直线l距离，则k的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式. 18．（5分）（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 19．（6分）（24-25八年级下·北京通州·期中）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 20．（6分）（24-25八年级下·北京怀柔·期中）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 21．（6分）（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 22．（8分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示： (1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多； (2)求方案二y关于x的函数解析式：（不用体现自变量的取值范围） (3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？ 23．（8分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 24．（8分）（24-25八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解． 如图，已知直线，直线和直线． (1)点在直线的_____方，点在直线的_____方（填“上”或“下”）； (2)以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线（为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是_____． 25．（10分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 26．（10分）（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十四章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与轴的交点坐标为 D．当时， 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．9 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·北京通州·期末）嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京海淀·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·北京平谷·期末）若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与y轴交于点，则这个一次函数的表达式为 ． 12．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）已知点，在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 14．（24-25八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 15．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 16．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标中，直线过，若原点到直线l距离，则k的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式. 18．（5分）（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 19．（6分）（24-25八年级下·北京通州·期中）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 20．（6分）（24-25八年级下·北京怀柔·期中）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 21．（6分）（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 22．（8分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示： (1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多； (2)求方案二y关于x的函数解析式：（不用体现自变量的取值范围） (3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？ 23．（8分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 24．（8分）（24-25八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解． 以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解． 如图，已知直线，直线和直线． (1)点在直线的_____方，点在直线的_____方（填“上”或“下”）； (2)以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线（为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是_____． 25．（10分）（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 26．（10分）（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $