江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年高一上学期数学综合练习16

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一上学期数学综合练习16 一、单选题 1．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3.已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B．（1，3） C． D． 6．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 8．若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（    ） A．点的纵坐标为1 B．在上单调递增 C．点是图象的一个对称中心 D．的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度得到 10．已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11.已知定义在上的函数，当时满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 三、填空题 12．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是 . 13.已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 14.若且，则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 16.已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 17．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 18.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 19．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（常数是自然对数的底数， 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明 (2)设函数 若在上的最小值为6，求实数的值. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一上学期数学综合练习16解析版 一、单选题 1．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为.故选：C. 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数定义域为，又， 所以函数为奇函数，排除BC，又，排除D，故选：A 3.已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【详解】在上的投影向量的模等于，又，所以， 因为，所以或．故选：D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，则的定义域为. 令，则在上单调递减，而当时，为增函数，当时，为减函数，故的单调递增区间是故选：C 5．已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B．（1，3） C． D． 【详解】因关于y轴对称，则关于对称， 因，则， 因函数在上是增函数，则，即，得， 故实数t的取值范围是.故选：A 6．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以；故选：C 7.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以.综上所述，的最小值为.故选：C 8．若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，， 则，，，. 在同一坐标系中作出函数，，，的图象，如图： 由图可知：当时，；当时，； 当时，.故ACD均有可能，B不可能成立.故选：B 二、多选题 9.如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（    ） A．点的纵坐标为1 B．在上单调递增 C．点是图象的一个对称中心 D．的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度得到 【详解】A选项，由题意得的最小正周期为，即， 又，故，解得， 故点的纵坐标为1，A正确； B选项，中，令得， 故，解得，又，求出，故， 当时，，由于在上不单调递增，故B错误；C选项，令，解得，当时，， 故点是图象的一个对称中心，C正确； D选项，的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到，再将得到的图象向左平移个单位，得到，D错误. 故选：AC 10．已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确；对于B，由，得， 则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因为， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则，即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 11.已知定义在上的函数，当时满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 【详解】令，得，解得正确； 令，得1，即，解得，B错误； 令，且，则， 因为当时，，所以，即，所以在单调递增，C正确； 令，则，由B项知1，则，故是偶函数，D正确；故选：ACD 三、填空题 12．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是 . 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为，所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 13.已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： .故答案为：. 14.若且，则的取值范围为 . 【详解】不等式 可化为. 设，因为是上的增函数， 所以，，则. 又因为，知的取值范围是.故答案为：. 四、解答题 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，或， ，，； （2）由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 16.已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【详解】（1）由，， 可得，， 所以函数的单调递减区间为； （2）由已知，所以，， 所以，所以， 所以当，即时，函数取最大值，最大值为， 当，即时，函数取最小值，最小值为. 17．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 19．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（常数是自然对数的底数， 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明 (2)设函数 若在上的最小值为6，求实数的值. 【详解】（1）由题意有：，又因为为奇函数，为偶函数， 所以，又，解得， 所以，由， 又，， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 令，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，令， 当时，函数在上单调递增，所以， 解得或，又，所以， 当时，，解得， 又，所以，综上有：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $