第六章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 8．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 9．（2025·河北廊坊·一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 11．（24-25七年级下·河北邢台·月考）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 12．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·月考）把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式是 14．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知和是二元一次方程的两个解，则 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 16．（2026九年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为 个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解下列方程组： (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下面是琪琪同学解方程组的过程，根据计算过程，回答下面问题． 解：②得：③第一步 ①③得：第二步 将代入②得：．第三步 所以该方程的解是第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______； (2)第_______步开始出现了错误； (3)请你帮琪琪同学写出正确的解题步骤． 19．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，求被△和□遮盖的两个数． 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 21．（9分）（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求b的值． 22．（9分）（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 23．（11分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 24．（12分）（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否等于． 【详解】解：A、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； B、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； C、把代入方程得，是方程的解，符合题意； D、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河北·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”列出方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒x斗，行酒y斗， ∵总酒量为2斗， ∴； ∵醇酒每斗50钱，行酒每斗10钱，总钱数为30钱， ∴． 故列方程组为． 故选D． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 将①式代入②式消去去括号，即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式，得 ， 即． 故选D． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确求出y的值是解题关键． 把代入，求出y的值，再将x，y的值代入中，进而求出m的值即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 把代入，得 ， 解得． 故选：A． 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 6．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的几何应用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后根据图2找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意，得， 解得， ∴小长方形的长为，宽为， 故小长方形的周长为． 故选D． 7．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 8．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于的方程组，求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 9．（2025·河北廊坊·一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，根据题意分若，有或和若，有或两种情况分析求出，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵密匙，都表示的是个相同的有理数， ∴（）若，有或， 当时，，不符合题意； 当时，则，所以， ∴密匙，的三个数为，，， （）若，有或， 当时，则，，不符合题意； 当时，则，，不符合题意； 综上可知：，， ∴； 故选：． 10．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解． 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 11．（24-25七年级下·河北邢台·月考）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键； 观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 由③得： 则合作中出现错误的同学为丙； 故答案为：C 12．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·月考）把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式是 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看成已知数表示出y即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴． 故答案为： 14．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知和是二元一次方程的两个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 把方程的解代入方程，得到一个关于、k的方程组，求出方程组的解，再求出的值即可． 【详解】解：和是二元一次方程的两个解， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ， 故答案为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值． 【详解】解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得： ， 解得：， ∴第一次购进箱，第二次购进箱， ∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．（2026九年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为 个． 【答案】40 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用知识点，掌握根据两种纸盒所需正方形和长方形硬纸片的数量关系，建立二元一次方程组求解是解题的关键． 本题基于“资源总量与消耗分配的等量关系”，即现有正方形硬纸片和长方形硬纸片的总量是固定的，制作甲、乙两种纸盒时，这两种硬纸片的消耗数量之和分别等于其总量，通过分析甲、乙纸盒各自所需正方形、长方形硬纸片的数量，建立二元一次方程组来刻画这种 “总量与消耗的平衡关系”，即可求解出甲种纸盒的数量． 【详解】解：设制作甲种纸盒个，乙种纸盒个， 甲种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 由此得到方程组： 解得： 因此，制作的甲种纸盒的数量为个． 故答案为：40． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据代入法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 由①得：③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得， 所以方程组的解是． （2）解：， 由①②得， 解得：． 将代入②得， 解得：． 则方程组的解为． 18．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下面是琪琪同学解方程组的过程，根据计算过程，回答下面问题． 解：②得：③第一步 ①③得：第二步 将代入②得：．第三步 所以该方程的解是第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______； (2)第_______步开始出现了错误； (3)请你帮琪琪同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)加减消元法 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）根据解题过程可知用的加减消元法； （2）第二步计算时，合并同类项时y的系数计算错误． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法； （2）第二步开始出现了错误； （3）②得：③ 得： 解得： 将代入②得： 所以该方程组的解是． 19．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，求被△和□遮盖的两个数． 【答案】被△和□遮盖的两个数分别为2， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 被△和□遮盖的两个数分别为2，． 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 【答案】任务（1）1盒水笔元，1包笔记本元 任务（2）可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）， 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组及方程组的解运用是解题的关键． 任务（1）设1盒水笔元，1包笔记本元，由此列二元一次方程组求解即可； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，根据二元一次方程的解的概念，分别代入计算即可求解； 任务（3）根据（2）中的计算，得到水笔的数量，笔记本的数量，则有水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，代入计算即可求解． 【详解】解：任务（1）购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元， ∴设1盒水笔元，1包笔记本元， ∴， 解得，， ∴1盒水笔元，1包笔记本元； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数， ∴， 整理得，， ∴当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）已知1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， ∴当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 已知计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1水笔记本， ∴水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且， 当，时，，不符合题意，舍去； 当，时，，，符合题意； 当，时，，，，不符合题意； ∴，． 21．（9分）（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求b的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组. （1）直接列举即可 （2）先求出x、y的值，再代入求解即可. 【详解】（1）， （2）依题意得： ①②得， 把代入①解得： 方程组的解为： 把，代入到中，解得 22．（9分）（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【答案】(1)，；1，3 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 23．（11分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案． （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台． 24．（12分）（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D D A D D D B C D C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16．40 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据代入法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 由①得：③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得， 所以方程组的解是．·······························3分 （2）解：， 由①②得， 解得：． 将代入②得， 解得：． 则方程组的解为．······························7分 18．（8分） 【答案】(1)加减消元法 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）根据解题过程可知用的加减消元法； （2）第二步计算时，合并同类项时y的系数计算错误． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；······························2分 （2）第二步开始出现了错误；······························4分 （3）②得：③ 得： 解得： 将代入②得： 所以该方程组的解是．······························8分 19．（8分） 【答案】被△和□遮盖的两个数分别为2， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，······························3分 将代入①得：， 解得：， ······························6分 被△和□遮盖的两个数分别为2，．······························8分 20．（8分） 【答案】任务（1）1盒水笔元，1包笔记本元 任务（2）可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）， 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组及方程组的解运用是解题的关键． 任务（1）设1盒水笔元，1包笔记本元，由此列二元一次方程组求解即可； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，根据二元一次方程的解的概念，分别代入计算即可求解； 任务（3）根据（2）中的计算，得到水笔的数量，笔记本的数量，则有水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，代入计算即可求解． 【详解】解：任务（1）购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元， ∴设1盒水笔元，1包笔记本元， ∴， 解得，， ∴1盒水笔元，1包笔记本元；·····························3分 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数， ∴， 整理得，， ∴当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包；······························6分 任务（3）已知1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， ∴当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 已知计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1水笔记本， ∴水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且， 当，时，，不符合题意，舍去； 当，时，，，符合题意； 当，时，，，，不符合题意； ∴，．······························8分 21．（9分） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组. （1）直接列举即可 （2）先求出x、y的值，再代入求解即可. 【详解】（1），······························4分 （2）依题意得： ①②得， 把代入①解得： 方程组的解为： 把，代入到中，解得······························9分 22．（9分） 【答案】(1)，；1，3 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3．······························4分 （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得，······························5分 把代入， 得， ∴······························6分 ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴，······························7分 把代入， 得， 解得，······························8分 ∴原方程组的解为．······························9分 23．（11分） 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台；······························3分 （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案．······························6分 （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，；······························7分 当时， ，；······························8分 当时，，；······························9分 当时，，；······························10分 ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台．······························11分 24．（12分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：；······························4分 （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， ······························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北保定·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 8．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 9．（2025·河北廊坊·一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 11．（24-25七年级下·河北邢台·月考）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 12．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·河北唐山·月考）把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式是 14．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知和是二元一次方程的两个解，则 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 16．（2026九年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为 个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）解下列方程组： (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下面是琪琪同学解方程组的过程，根据计算过程，回答下面问题． 解：②得：③第一步 ①③得：第二步 将代入②得：．第三步 所以该方程的解是第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______； (2)第_______步开始出现了错误； (3)请你帮琪琪同学写出正确的解题步骤． 19．（8分）（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，求被△和□遮盖的两个数． 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 21．（9分）（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求b的值． 22．（9分）（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 23．（11分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 24．（12分）（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $