精品解析：河南省周口市郸城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

郸城一高2025—2026上期高三年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再由并集的定义求. 【详解】，又， 所以. 故选：B 2. 在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数，从而由对称性得复数，再根据共轭复数的概念得所求. 【详解】因为复数， 所以复数，则. 故选：C. 3. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直数量积为0，再应用模长公式及数量积运算律计算求解. 【详解】由得：， 则，又， 所以， 故选：C. 4. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，不正确； ②：由图得，则， 则有，所以图中事件A，B相互独立，正确； ③：设图中的小的长方形的面积为， 由，， 所以，则题图中事件A，B相互独立，正确， 故选：C 5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 6. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，由题意可知，利用平面向量坐标的线性运算得出，将点的坐标代入抛物线的方程，得出，考虑，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】易知抛物线的焦点为， 设点，因为在线段上，且满足，则， 设点，可得， 所以，解得，即点， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以，要求的最大值，只需考虑， 此时， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故直线斜率的最大值为. 故选：D. 7. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得. 【详解】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 8. 已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】合理赋值即可判断A；根据，再升幂作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C；求出，再代入求解一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A，由，得，，两式相减得，故A正确； 对于B，又由，， 两式相加得，故B正确； 对于C，由，可得，又，两式相减得， 所以 ，故C错误； 对于D，由 ， 即，结合，得，故 D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分． 9. 如图，在正四面体中，点E满足，，F，G，H分别为棱，，的中点，则（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若，则E，F，G，H四点共面 C. 若，则 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由题根据异面直线的定义判断；对B，由题可得，利用平面的性质判断；对C，利用反证法求解判断；对D，通过证明平面，进而判断. 【详解】对于A，当时，点与点重合，直线即直线， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，， 所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故A正确； 对于B，当时，即，则是的中点，则， 同理，所以，所以四点共面，故B正确； 对于C，当时，即，则点与点重合， 假设，又由正四面体性质可知，而，平面， 所以平面，则，即，这与正四面体性质矛盾， 故假设错误，即与不垂直，故C错误； 对于D，如图，连接，，因为正四面体，所以，均为正三角形， 又是的中点，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令，结合指数函数的性质求解判断A，对函数求导，判断函数的区间单调性，进而研究区间的函数值范围，再由根的个数确定参数范围判断B，由，结合函数的区间单调性有，结合基本不等式判断C，令，则，结合对勾函数、指数函数的性质确定符号判断D. 详解】对于A，，即，A正确； 对于B，，由，故， 所以在和上单调递增， 注意趋近于时，趋近于， 从小于0一侧趋近于0时，趋近于1， 从大于0一侧趋近于0时，趋近于， 趋近于时，趋近于， 故若方程有两实根，，B错误； 对于C，由，又在上单调递增， 如果，则，则矛盾， 故有，故，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，令，则， 由于在上单调递增， 当时，，， 当时，，， 当时，，D错误， 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为第一象限角，且，________． 【答案】 【解析】 【分析】由是第一象限角，利用同角三角函数的基本关系求得，再根据二倍角的余弦函数公式计算即可求得结果. 【详解】已知 且 为第一象限角，由解得 ，. 由二倍角公式 ， 因此 . 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理求解即可得. 【详解】二项式展开式的通项为， 所以， 则展开式中的系数. 故答案：. 14. 已知椭圆内有一个定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于点A，C和点B，D，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据向量的倍数关系得出点的坐标之间的关系式，再利用“点差法”得出，结合直线的斜率关系推出，即可得之间的关系，即可求得答案. 【详解】由题意可设，，，，且，， 因为，且，所以，即， 同理有， 将A，B两点坐标代入椭圆方程得，化简得， ，即， 同理，， 由于，，则，所以， 即， 即， ①＋②得，， 即，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题考查椭圆离心率的求解，难点在于找到之间的关系，解答时要结合向量的数乘得出点的坐标之间的关系，再结合点在椭圆上以及直线的斜率关系化简得出之间的关系，计算过程较为复杂. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合即可求解； （2）由，得到，确定 由余弦定理即可求解. 小问1详解】 由和正弦定理可得： ， 因， 代入化简得， 在中，，且， 则，即，因为，所以. 【小问2详解】 由，则，因为， 所以， 则，因为均是锐角， 所以，则， 又，于是有， 在中，由余弦定理，， 则. 16. 已知函数，是的导函数. （1）求的值，并求的单调区间； （2）若存在零点，求的最大值. 【答案】（1）0；增区间为，减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：求导，通过和判断导数符号即可求解；法二：通过二次求导，确定一阶导单调性，进而求解； （2）由（1）得到，构造函数，求导确定最值，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 法一：当时，，，则； 当时，，，则，即； 所以的增区间为，减区间为. 法二：令，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又当时，， 而时，，且， 所以当时，，则的减区间为， 当时，，则的增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，而时，， 为使得存在零点，只需， 则，则， 设，则， 由可得，由可得， 上单调递增，在上单调递减， 所以，故得的最大值为. 17. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别相交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为，设直线与线段交于点.求证：三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率定义和点到直线的距离公式列方程，求出的值，即得双曲线标准方程； （2）依题意设直线的方程为，与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，得到点，进而求出和，化简计算推出即可. 【小问1详解】 由离心率，可得， 从而双曲线的渐近线方程为， 因右顶点到的距离，解得，则， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由题意 ，设直线的方程为，联立得：， 因直线与的左、右两支相交，则，解得：或， 设，则， 因，则直线，令得， 即得，则， 由 ， 又有公共点，故三点共线. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是一个平行四边形，，，. （1）求证：； （2）若，设是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面?若存在请求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若，当四棱锥的体积最大时，求钝二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）. 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直判定定理证明； （2）设，再应用线面平行得出，计算求参； （3）设，则，高，结合棱锥体积公式应用导函数得出，最后应用向量法求二面角余弦. 【小问1详解】 设是的中点，连接，因为，所以等腰中，，平面， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 则，又，且，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 在线段上存在点，使得平面，此时， 因为，平面， 所以以为原点，所在的直线为轴，轴，过点作的平行线为轴建立如图2所示的空间直角坐标系： ，， 设，即有，可得：， 于是，， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则， 因为平面，所以，即有，解得， 即线段上存在点，使得平面，此时. 【小问3详解】 因为，设，则，高， 于是， 设，则， 当时，，该函数单增；当时，，该函数单减， 所以当时，四棱锥的体积最大， 此时，则， 由， 设平面的一个法向量为，则， 令可得，； 设平面的一个法向量为，则， 令可得，； 设钝二面角为，则， 于是钝二面角的余弦值为. 19. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求的表达式. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，则可取，再求出相应概率，即可列出分布列，即可求解； （2）分别求出时子集数量有个和时，子集数量有个，从而可得；同理可求得，即可求解； （3）由题可求得，再结合错位相减即可求出，由对称性可知，则可求出，即可求解. 【小问1详解】 记个等间隔的质量检测的时间点为，则，每天选若干个时间点进行检测等价于考虑集合的非空子集. （1）当时，， 所有抽检的结果为：共7种情况， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 当时，符合的有共种情况，则， 从而的分布为： 1 2 3 因此． 【小问2详解】 所有抽检子集的总数为个， ：表示最小编号不超过，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个，从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． ：表示最大编号至少有，即或． 当时，这要求编号在子集中，且编号不在子集中，这样的子集数量有个， 从而有； 当时，这要求编号在子集中，这样的子集数量有个，从而有． 从而有． 【小问3详解】 ：表示最小编号为，这要求在子集中，不在子集中，这样的子集的个数有个， 因此， 所以． ①-②相减得： 所以， 所以． 由对称性可知， 所以， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郸城一高2025—2026上期高三年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 6. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，部分选对的按比例得分． 9. 如图，在正四面体中，点E满足，，F，G，H分别为棱，，中点，则（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若，则E，F，G，H四点共面 C. 若，则 D. ， 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若第一象限角，且，________． 13. 已知，则________． 14. 已知椭圆内有一个定点，过点P两条直线，分别与椭圆交于点A，C和点B，D，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长. 16. 已知函数，是的导函数. （1）求的值，并求的单调区间； （2）若存在零点，求的最大值. 17. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别相交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为，设直线与线段交于点.求证：三点共线. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是一个平行四边形，，，. （1）求证：； （2）若，设是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面?若存在请求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若，当四棱锥的体积最大时，求钝二面角的余弦值. 19. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了（）个等间隔的质量检测时间点，编号从到，相邻时间点间隔为小时.每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为（最早抽检时间），最大编号为（最晚抽检时间）.称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围. （1）当时，求； （2）求和； （3）求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $