第1章 直角三角形的边角关系 学业质量自我评价-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

九年级数学BS版下册 第一章 学业质量自我评价 卷和答题卷 (考试时间：120分钟 满分：120分) 扫码下载模拟 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.在R△ABC中，若sinA的值为号，则cosA的值为 A合 B② 2 C③ 2 D.√3 2.如图所示的是科学计算器面板，利用该型号计算器计算号si34,按 键顺序正确的是 A.1a/c2×sin34= B.1☐-2sin34☐ C.a/c 12sin34= 第2题图 D.2a/1×sin34= 3.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则tanA的值为 A.①0 4 3 B.3Y0 10 c是 D. 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠B=45,anC-号，AB=4E,则△ABC的面积是（ A.12 B.16 C.12√2 D.20 5.“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC, AC=3m,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1m,冬至时的正午太阳高度 角∠ABC=a,则夏至到冬至，影长差BD的长为 () A.(3sing-1)m B(品)m C.(3tana-1)m n(高)m A 北（子B日 a 南（午） 圭 冬立春春分立夏夏 至立冬秋分立秋 线 线 图① 图② 第5题图 第6题图 6.小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图①、图②所示，花洒安装在离 地面高度160cm的A处，花洒AD的长度为20cm.已知花洒与墙面所成的角 ∠BAD=120°，当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时，水流喷射到 地面的位置点C与墙面的距离为 () A.205 cm B.200 cm C.10F5 em D.170 cm 129 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若0为三角形的一个锐角，且2sin0-√5=0，则0= 8.在R△ABC中，∠ACB=90,sin∠BAC-三.若将△ABC三边都扩大3倍得到 △A'B'C',则sin∠B'A'C'的值为 9.如图所示的是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12.李老师乘扶梯 从底端A以0.5m/s的速度用时40s到达顶端B,则李老师上升的垂直高度BC 多 m. 北 北 D 60° 45 B E G A B 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图，将三角形纸片折叠，使点B,C都与点A重合，折痕分别为DE,FG.若 ∠C=15°，AE=EG=2cm,则△ABC的边BC的长为 cm. 11.如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向 航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向.若渔船继续向 正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile. 12.在△ABC中，AC=25,D为直线AB上一点，且AB=3BD,直线CD与直线 BC所夹锐角的正切值为号，且CDLAC,.则BC的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)计算：√/12-2sin60°+2025°； (2)如下图，在Rt△ABC中，AB=6,BC=2,∠C=90°.求∠A的正弦值、余弦 值和正切值. B 14.随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活.小琪利用无人机从点O竖直上 升到点A,测得点A到点C的距离为800m,此时点C的俯角为30°（如下图）. 64s后无人机到达点B,此时测得点C的俯角为45°.求无人机从点A到点B 的平均速度（结果精确到0.1m/s,参考数据：√3≈1.73） 0 15.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E 和点D,且BD=2AC.求tan∠BAC的值. D 16.如下图，在△ABC中，AB=6,∠B=30°，tanC=3,AD⊥BC于点D.求AD和 AC的长. 17.某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B,层之间安装电梯，截 面图如下图所示，底层与B,层平行，层高AD为9m,A,B间的距离为6m, ∠ACD=20°（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）. 底层A6皿小心碰头 P 9 m i B层D C (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头（楼 板厚度忽略不计)？请说明理由； (2)若采取中段平台设计（如上图中虚线所示）.已知平台EF∥DC,且AE段和 FC段的坡度i=1:2,求平台EF的长度. 130 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨一利用水力春米的器械.《天工开 物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图①.碓杆AB的简意图如图②， OM是垂直水平地面的支柱，AB=8m,OA:OB=1:3.当点A位于最低点 时，∠AOM=60°；当点A位于最高点A'时，∠A'OM=108.2°.过点O作直线 EF垂直于OM,分别过点B,B'作BC⊥EF,B'D⊥EF,垂足分别为C,D.求： 4 M B 0 R- B 图① 图② (1)∠BOD和∠B'OD的度数； (2)点B从最高点到最低点B'之间的垂直距离（参考数据：sinl8.2°≈0.31， cosl8.2°≈0.95，tanl8.2°≈0.33). 19.如右图，某校教学楼AB后面有一山包，其坡度i 45 =1:√5，山包坡面上点E处有一休息亭，测得山 包坡脚C与教学楼AB的水平距离BC=20m, =1V3D 与亭子的距离CE-16m,数学周老师从楼房顶 、E 测得点E的俯角为45°.求： (1)山包坡角的度数； C 水平地面 (2)教学楼AB的高度（结果保留根号）， i31 20.如下图，在R1△ABC中，∠ACB=90,AC=3,sin∠ABC-号，D是边AB上- 点，且CD=AC,BE⊥CD的延长线于点E.求： (1)AD的长； (2)∠EBC的正切值. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.关于三角函数有如下公式： sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,sin (a-B)=sinacosB-cosasing,cos(a+B)= tana+tang (1 cosacos-sinasing,cos(a-cosacos+sinasing,tan()angtang -tatan≠0)，ana-g=na器1+1 tangtang≠0， 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来 求值. 如：tanl05°=tan(45°+60°)= tan45°+tan60°_1+，√5 1-tan45°tan60 -2 1-√3 -3. 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题： 如右图所示，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24m,从 点A测得点D的俯角a=15°，测得点C的俯角3=75°.求建筑 B C 物CD的高度. 22.小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有2h的满窗日照（图①为满 窗日照，图②为非满窗日照)，小强先查阅了相关资料，得到如下信息： 信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小.若这一天的 11:00和13：00这2个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有2h的满窗日照； 信息2：如图③，该小区每座楼均为16层，每层楼高2.8m且装有落地窗，小区 冬至日11：00和13：00的太阳高度角∠ANM均为28.36°. 某日小强到该小区进行实地勘测，他在6楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太 阳光线射在6楼窗户的上边缘)，此时太阳高度角∠AFE=22.8°. 太阳光线 太阳光线 第 22.89 窗户 E 6楼 2836w 1楼 满窗日照示意图 非满窗日照示意图 图③ 图① 图② (1)AE= m; (2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求（参考数据：si22.8°≈ 0.39,cos22.8°≈0.92，tan22.8°≈0.42，sin28.36°≈0.48，cos28.36°≈0.88， tan28.36°≈0.54)？ 六、解答题（本大题共12分） 23.在△ABC中，∠BAC=90,∠ABC=30,点D在斜边BC上，且满足BD=号BC 将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为a,连接CE,BE,以CE为斜边 在其右侧作Rt△CEF,且∠CFE=90°，∠ECF=60°，连接AF, B D 图① 图② 图③ (1)如图①，当a=180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 (2)当0°<a<180时， ①如图②，(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②当B,E,F三点共线时，如图③，连接AE.若AE=3,请直接写出cos∠EFA 的值及线段BC的值. 132第一章学业质量自我评价 1.C2A3.C4D5D6A7608号9g 10.4+25)1.(65+6)12.5y2或52 2 13解：原式-2厅-2×号+1=5+1 (2)BC=2,AB=6,∠C=90°，.AC=√JAB-BC=42, '.sinA BC=1 AB -日4=指-gd-器-看 14.解：由题意，得∠ACO=30°，∠BCO=∠CBO=45°，∠BOC =90°，.OB=OC :AC=800m,0A=zAC=2X800=400(m),0C= c0s∠AC0.AC=号X800=400/B(m, 2 .OB=400√3m,.AB=0B-OA=(400W5-400)m, :无人机从点A到点B的平均速度为05-40≈4.6m/S. 64 15.解：如图，连接AD. 由题意，得AD=BD. 设AC=m,则AD=BD=2m. 在Rt△ACD中，CD=√AD-AC=√3m, .BC=(2+J3)m. 在△Ac中，an∠BAC=8%-2+m=2+E. 7 16.解：在△ABD中， AB=6,∠B=30,AD⊥BC,∴AD=2AB=3. 在△ADC市.CD=品-号=l AC=√AD+CD=√3+1平=√I0. 故AD的长为3，AC的长为10. 17.解：(1)不会碰到头部.理由如下： 如图，连接AB,过点B作GB⊥AB,交AC于点G ∠ACD=20°，AB∥CD,.∠BAG=20°， .BG=tan20°·AB≈0.36×6=2.16(m). .2.16m>1.9m,.不会碰到头部 o m 底层4 小心碰头 B层D M C (2)如图，过点F作FM⊥CD,垂足为点M,过点E作EN⊥ AD,垂足为点V. 易知点N,E,F在同一直线上，四边形NMFD为矩形， .ND=FM,NF=DM. 9 AD=9 m,CD=tan2025(m). 设FM=xm,则AN=AD-ND=AD-FM=(9-x)m. :AE段和FC段的坡度i=1:2, ..CM=2x m,NE=(18-2x)m, ∴.CM+NE=2x+18-2x=18(m), .EF=CD-(CM+NE)≈25-18=7(m). 故平台EF的长度约为？m. 18.解：(1)：EF⊥OM,∴∠EOM=90. :∠AOM=60°，∠A'OM=108.2°， .∠AOE=30°，∠A'OE=18.2°， .∠BOD=30°，∠B'OD=18.2. (2)由题意可知，OB=OB'」 .'AB=8m,OA:OB=1:3, ∴.OB=6m,.OB'=6m 在Rt△BCO中，OB=6m,∠BOC=30°， :BC=0B·sin30=6× -=3(m). 在Rt△B'DO中，OB=6m,∠B'OD=18.2°， .B'D=OB·sin18.2°≈6×0.31=1.86(m), .BC+BD=3+1.86=4.86(m), 即点B从最高点到最低点B'之间的垂直距离为4.86m 19.解：(1)如图，过点E作EF⊥BF于点F 由坡度=1：5，得m∠BCF-怎， ∴.∠ECF=30. 故山包坡角的度数为30°. A 458H 口 口 i=1:V3 D ▣5 、E ▣h C (2)如图，过点E作EG⊥AB于点G ∠HAE=45°，EG⊥AB, .AH∥GE,.∠AEG=45°，.AG=GE. ·∠EGB=∠GBF=∠EFC=90°， ∴.四边形BFEG为矩形，∴.BG=EF,GE=BF .∠ECF=30°，CE=16m,BC=20m, ,∴.CF=CE·cos∠ECF=83m,EF=CE·sin∠ECF=8m, ∴.GE=BC+CF=(20+8√3)m,BG=8m, ..AB=AG+BG=(28+8/3)m. 故教学楼AB的高度为(28+8√3)m 20.解：(1)如图，过点C作CH⊥ AD于点H. 4 H 'CD=AC,∴.AH=DH. :∠ABC+∠BCH=90°， ∠ACH+∠BCH=90°， ∠ACH=∠ABC,∴.sin∠ACH=sin∠ABC=3 在Rt△ACH中，AH=AC·sin∠ACH=1, .AD=2AH=2. (2)由(1)可知，∠ACH=∠HCD=∠ABC. AC 在R△ABC中，AB=Sn2ABC=9BD=AB-AD=7, .'BE⊥CD,∠EDB=∠HDC,∴.∠HCD=∠EBD ∴sin∠EBD=sin∠ADC=S,∴DE=专BD=子， 3 BEBD-DE-√：-(3)-42 3 在R△EBC中，an∠EBC-CE3+了 =42 BE14√2 7 3 21.解：由题意，得tan75°=tan(30°十45)= tan30°+tan45° 1-tan30'an45=2 tan45°-tan30 +/5,tan15°=tan(45°-30)=1n30n时=2-5. 如图所示，延长CD交AE于点E,易知CE⊥AE. 下册参考答案 183 在Rt△AEC中，AE=BC=24m,∠CAE 75°，CE=AE·tan∠CAE=24×(2+√3)= (48+24√3)m. 在Rt△AED中，DE=AE·tan∠DAE=24X (2-√3)=(48-24V3)m, ∴.CD=CE-DE=48W3m. 故建筑物CD的高度为48√3m. 22.解：(1)28 (2)由题意，得AB=16×2.8=44.8(m). :m2.g-票=0.42，AE=28, AE 28 EF=an2.8≈0.42≈66.67(m, .MV=EF≈66.67(m). am28.36-0≈0.54， .AM=MN·tan28.36°≈66.67×0.54≈36(m), .BM=AB-AM=44.8-36=8.8(m). 8.8÷2.8≈3.1，.至少买5楼才能达到要求 23.解：(1)BE=2AF (2)①仍然成立.理由：在Rt△ABC中，sin∠ABC=sin30° 能- 在R△CEF巾，n(00-∠BCR)=n80-是=， 瓷-器=即%票 AC CF .'∠ACB=∠ECF=60°，.∠BCE+∠ACE=∠ACF+ ∠ACE,.∠BCE=∠ACF, △BCEAACF,能C-名BE=2AE, ②cos∠EFA=3,BC=2V2I. 第二章学业质量自我评价 1.B2.C3.B4.D5.C6.B7.-4 8.09.18 9 10.≥1 11.一16 12m=0或m=号或2≤n<得 13解：D根据次函数的定义，得”什1)20，② 由①，得m=2,2=-1,由②，得m≠-1， .m=2,.函数表达式是y=一3x2十5x (2)由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线x=一3， .h=3,.二次函数的表达式为y=-3(x十3)2 当x=-1时，y=-3×(-1十3)2=-12. 14.解：(1)把x=一1，y=0和x=2,y=9分别代入二次函数的 表达式利邮和公 .二次函数的表达式为y=2x2十x一1. (2)当x=1时，m=2十1-1=2. 15.解：(1由题意可知，如十8·解得a=1. a+b=5, 1b=4. (2)由(1)可知，函数的表达式为y=x2十4. 将点(12，m),(n,17)分别代入，得m=122十4,17=n2+4, 解得m=148,n=士√13 16解：1)由题意，得-罗=1.解得m=-2. (2)由(1)知，y=x2-2x十1=(x-1)2,.将此抛物线先向 左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线表达 式为y=(x-1+2)2-1,即y=(x十1)2-1. 43 184 九年级数学BS版 17.解：(1)y=x2-4x-6=(x2-4x+4)-4-6=(x-2)2 10,.抛物线的顶点式为y=(x一2)2-10. (2)完善表格如下： x…-20246… y … 6-6-10-66… 函数图象如图所示。 人 (3)-10≤y<6 (4)-1.2,5.2 18.解：(1)把点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)分别代入抛物线y (a-b+c=0, a=-1, =ax+bx+c,得16a十4b十c=0,解得b=3, c=4, c=4 故抛物线的表达式为y=一x2十3x十4. (2)依题意画出图象如图所示，连接OP,设点P的坐标为 (x,-x2十3x十4)， .S四边形0OBP=S△Op十S△OP= 4x+号×4(-r+3x+4)=-2x +8x+8. 直线BC平分四边形COBP的面 积，.S四边形00BP=2S△c0B, ÷-2x+8x+8=2×合×4X4 解得x1=x2=2. 将x=2代入抛物线的表达式，得y=6, 故点P的坐标为(2,6). 19.解：1)证明：①当4a十2=0，即a=一2时，函数表达式为 1 y=12x+6,令y=0,解得x=-之 .此时函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4的图象与x 轴有交点： ②当4a十2≠0，即a≠2时，y=(4a十2)r+(9-6a)x-4n 十4为二次函数 .'△=(9-6a)2-4(4a+2)(-4a+4)=100a2-140a+49 =(10a-7)2≥0，∴.函数y=(4a十2)x2+(9-6a)x-4a+4 的图象与x轴有交点. 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点 (2)存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有“整点”. 当a= 一2时，不符合题意： 当a≠2时，在y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4中，令y =0,得0=(4a十2)x2+(9-6a)x-4a+4, 解得三二（不符题意，舍去）x=十1 :x=22a 6 2a+1