第2章 1 二次函数&2 第1课时 二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 1 二次函数 学习课件 课内基础闯关 7.数学核心素养·模型 知识点①二次函数的相关概念 观念如右图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12, 1.下列函数中，是二次函数的是 ( A.y=3.x-1 B.y=x3+2 BC=24,动点P以每秒 C.y=(x-2)2-x2D.y=x(4-x) 2个单位长度的速度从点A开始沿边AB向 点B移动（不与点B重合），动点Q以每秒4 2.在二次函数y=一x2十1中，二次项系数、一 次项系数、常数项的和为 个单位长度的速度从点B开始沿边BC向 3.如果函数y=mxm2十x是关于x的二次函 点C移动（不与点C重合）.如果点P,Q同 数，那么m的值是 时出发，设移动的时间为xs,四边形APQC 的面积为y 变式题如果y=(k-3)x-1川十x一3是二 (1)求y与x之间的函数关系式； 次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k (2)求自变量x的取值范围； 的值为一1，她们俩中求得结果正确的是 (3)四边形APQC的面积能否等于172？若 能，求出移动的时间；若不能，请说明理由. 知识点②列二次函数关系式 4.根据某省统计局数据，该省某年的地区生产 总值为43903.89亿元，两年后该省的地区 生产总值为53109.85亿元.设这两年该省 的地区生产总值的年平均增长率为x,根据 题意可列方程 A.43903.89(1+x)=53109.85 B.43903.89(1+x)2=53109.85 C.43903.89x2=53109.85 D.43903.89(1+x2)=53109.85 5.(教材第59页题10变式)已知一个直角三角 知识要点归纳 形的两条直角边的和为10cm.若设此直角三 角形的面积为Scm,其中一条直角边长为x, 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2十bx十c (a,b,c是需数，a≠0)的函数叫做y关于x的二次 则S与x的函数关系式为 函数。 自变量的取值范围是 2.二次函数的一般形式：通常把y=a.x2十bx十c 已课外拓展提高 (a,b,c是常数，a≠0)称为二次函数的一般形式. 其中a.x,b.x,c分别为二次项，一次项和常数项. 6.已知函数y=(m+1)xm+1十4x-5是关于 x的二次函数，则一次函数y=mx一m的图 3.列二次函数关系式：(1)审清题意.(2)找出等量 关系.(3)列出函数关系式， 象不经过第 象限 27 下册第二章 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 色课内基础闯关 知识点②二次函数y=一x2的图象与性质 知识点① 二次函数y=x2的图象与性质 5.二次函数y=一x的图象一定经过() 1.对于函数y=x2,下列结论正确的是( A.第一、二象限 B.第三、四象限 A.图象的开口向下 C.第一、三象限 D.第二、四象限 B.y随x的增大而增大 6.如下图，梯形ABCD的顶点都在抛物线y= C.图象关于y轴对称 一x2上，且AB∥CD∥x轴.点A的坐标为 D.对于任意实数，都有y>0 (a,一4)，点C的坐标为(3，b). 2.已知正方形的边长为x,则表示它的面积y (1)求a,b的值： 与边长x之间的函数关系的图象是( (2)求B,D两点的坐标. -11x A B C D 3.(2024广东)若点(0，y1),(1,y2),(2,y)都 在二次函数y=x2的图象上，则 ( A.ya>y2>y B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.ys>y>y2 7.已知函数)广份：1是关于x的二次函数 4.(教材第34页题2变式)二次函数y=x2的 (1)求满足条件的m的值及抛物线的对 图象的顶点坐标是什么？点A(-4,16)在 称轴； 二次函数y=x2的图象上吗？请分别写出 (2)当抛物线有最高点时，写出m的值与最 点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴 高点坐标，判断抛物线的增减性，画出该函 的对称点C的坐标.点B,C在二次函数y 数的图象 x2的图象上吗？ 28 九年级数学BS版 色课外拓展提高 综合能力提升 -- 8.下列关于抛物线y=x2和y=一x的异同点 11.中考导向·新定义题在平面直角坐标系 说法错误的是 中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛 A.有共同的顶点和对称轴 物线上关于对称轴对称的两点A,B(A点 B.在同一平面直角坐标系中，抛物线y=x 在B点左侧)，以AB为直径作⊙M取线段 和y=一x既关于x轴对称，又关于原点 AB下方的抛物线部分和线段AB上方的 对称 圆弧部分（含端点A,B),组成一个封闭图 C.开口方向相反 形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段 D.点A(-3,9)既在抛物线y=x2上，又在抛 AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被 物线y=-x2上 “抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，“纵径” 9.如图，已知抛物线y=一x2 长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆” 上有A,B两点，其横坐标分 的“扁度”. 别为一1，一2，在y轴上有一 已知抛物线的表达式为y=x2 动点C,则AC+BC的最小 (1)若点A的横坐标为一2，则得到的“抛物 圆”的“横径”长为 ,“纵径”长为 值为 第9题图 10.有一城门洞呈抛物线形，拱高（最高点到地 (2)若点A的横坐标为t,用t表示此“抛物 面的距离)为4m.如下图，把它放在平面直 圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2 角坐标系中，其表达式为y=一x. 时t的值. (1)求城门洞最宽处AB的长； (2)现在有一辆高2.6m,宽2.2m的小货 车，它能否安全通过此城门洞？请说明 理由. 知识要点归纳 二次函数y=x和y=一x 图象的形状相同，只是开口方 向不同，这两个函数既关于x 轴对称又关于原点对称 下册第二章 29△.BC=2.4km=2400m,.√3AD+AD=2400, 解得AD=1200×(√3-1)≈876(m). .876m>800m,.该公路没有穿过纪念园 16.解：(1).AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN, .四边形AMND是矩形， ∴.AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m). 故“大碗"的口径AD的长为80.0m (2)延长EB交AD于点H,如图. 日光 四边形BEFC为矩形， .EH⊥AD, ∴.四边形AMEH为矩形， ∴.AM=EH,AH=ME .∠ABE=152°， ∴.∠ABH=180°-∠ABE=28°， ∠HAB=90°-28=62，.月=tan62≈1.88,7 .BH=20.0×1.88≈37.6(m), ∴.AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m). 故“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 17.解：(1)如图，延长CD,AE相交于点F,过 点E作EG⊥AF,垂足为G,过点D'作 D'H⊥BC,垂足为H,D'H交AF于点P 过点E作E'Q⊥D'H,垂足为Q, Gh PE ∴.EG=QP,PH=FC,∠F=90°，∠GEQ =90°. .∠AED=150°， .∠FED=180°-∠AED=30. 在Rt△EFD中，ED=40cm, ·FD=2ED=20em .'DC=25 cm,.PH=FC=FD+DC=20+25=45(cm) 由旋转，得ED=E'D'=40cm,AE=AE=80cm,∠AED =∠AED'=150°，∠EAE=60°. .∠AGE=90°， ∴.∠AEG=90°-∠EAG=30°， ∴.∠D'E'Q=∠AED'-∠AEG-∠GEQ=30° 在R△D'E'Q中，DQ=DE'=20cm 在Rt△AEG中，EG=AE·sin60°=80X5 2 =40√3 (cm), ∴.QP=E'G=40W3cm, ∴.点D到地面MN的距离=DQ十QP+PH+CN=20+ 40√3+45+25=90+40√3≈90+40×1,73≈159(cm. (2)如图，连接AD,AD,DD'. 由旋转，得∠DAD=60°，AD=AD', ∴.△ADD是等边三角形， ..DD'=AD. 由(1)，得∠FED=30°，FD=20cm, FD EF=an30=20/5cm, ..AF=AE+EF=(80+203)cm. 在Rt△ADF中， AD=√AF+DF=√(80+20/3)2+202=40√5+25≈116 (cm), ∴.DD=AD=116cm 故D,D'两点的距离约为116cm 第二章二次函数 1二次函数 1.D2.03.4变式题敏敏4.B 5.S=-2r+5x0x<106.= 7.解：(1)由题意，得AP=2x,BQ=4x,则BP=12-2x, 则y=合BC·AB-号BQ·BP=号×24X12-号×4x· (12-2x)=4x2-24x+144. (2).0<AP<AB,0<BQ<BC, 即02x<12,0<4x<24,.0x<6. (3)不能 理由：当y=172时，4x2-24x+144=172, 解得x1=7,x2=-1. "0<x<6, ∴.四边形APQC的面积不能等于172. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一2的图象与性质 1.C2.C3.A 4.解：二次函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0). 当x=-4时，y=(-4)2=16, ·点A(-4,16)在二次函数y=x2的图象上. ,点B为点A关于x轴的对称点，点C为点A关于y轴的 对称点， .点B的坐标为(-4，一16)，点C的坐标为(4,16). 当x=一4时，y=(-4)2=16≠-16，故点B不在二次函数 y=x2的图象上， 当x=4时，y=42=16,故点C在二次函数y=x2的图象上. 5.B 6.解：(1)当y=-4时，-4=-a2,.a=±2. .点A在第三象限，.a=一2. 当x=3时，y=-9,.b=-9. (2).AB∥CD∥x轴， ∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同 y=一x2关于y轴对称， ∴点B的坐标为(2，-4)，点D的坐标为(-3，-9) 7.解：(1：函数y=号+是关于x的二次函数， -m+11=2且号≠0m=士3. 当m=3时，抛物线为y=x,对称轴为直线x=0, 当m=一3时，抛物线为y=一x2,对称轴为直线x=0, .满足条件的m的值为士3，抛物线的对称轴为直线x=0. (2)抛物线有最高点， y 图象开口向下， 0. ∴.m=一3，最高点坐标为(0,0)，抛 4-3-2-1N 234 物线y=一x2在x<0时，y随x的 3 增大而增大：在x>0时，y随x的增 大而减小. 画出函数图象，如图所示 8.D9.3√2 10.解：(1).点O到AB的距离为4m, A,B两点的纵坐标均为一4. 令一4=一x2,解得x=士2， 点A的坐标为（一2，一4），点B的坐标为(2，一4)， .AB=4m,即城门洞最宽处AB的长为4m. (2)能.理由如下： 下册参考答案 159 如图所示，当小货车行驶到城门洞正 中间，用矩形CDEF表示小货车的横 截面，则ED,FC均垂直于AB,点E, F到AB的距离均为2.6m,点F的横 坐标为1.1.设CF所在直线交抛物线 AD 于点G,则点G的横坐标为1.1， .点G的纵坐标为y=-1.1=-1.21, .点G到AB的距离为4-1.21=2.79(m). :2.79m>2.6m,.该小货车能安全通过此城门洞. 11.解：(1)46 (2)y=x关于y轴对称，点A的横坐标为t, ∴.点A的坐标为(t,t),点B的坐标为（一t,) ∴.“抛物圆”的“横径”长为一t一t=一2t, “纵径”长为22+=-1十已. 它的附度”为2若=2， 解得t=一3或t=0(舍去)，即t的值为一3. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的 图象与性质 1.D2.C3.a>b>c>d 4.解：(1)将点A(-2,-4)代入y=ax,得a=-1, 这个函数的表达式为y=一x. 当x=-3时，y=一9≠4， ∴.点B(一3,4)不在此抛物线上。 (2),当x<0时，函数值y随x的增大而增大，x1<x2<0, ∴.y1<y2 5.B6.D 7.y=一x2十2（答案不唯一） 8.解：(1)点P(1,m)在一次函数y=2x-1的图象上， .m=2×1一1=1，.点P的坐标为(1,1). 又点P(1,1)在二次函数y=ax2一2的图象上， .1=a-2,.a=3. (2)由(1)，得二次函数的表达式为y=3x2一2. 当x>0时，y随x的增大而增大. 9.C10.D11.y=-2x2+412.D13.1+√2 14.解：1)由-子x十3=0，得x=2或x=一2∴点B的坐标 为(2,0).将B(2,0)代入2=- 子+6，得6=， “直线BC对应的函数表达式为y=一子十多 由-子+3=-是十号得x=2或=-1. 由题图可知，点C在第二象限， x=-1,此时=-子×(-1十=号， “点C的坐标为(-1，号)： (2(1,)或(F,-)或(-万，-） 15.解：(1)如图所示. (2)由题意，得点A(x,y)的“关联点”为 A(x,y-x). 由点A(x,y)在函数y=x2的图象上，可 得A(x,x2),.A1(x,x2-x), 又：A(x,x2-x)在函数y=x2-2的 图象上， 160 九年级数学BS版 x2-x=x2-2,解得x=2. 将x=2代入A(x,x一x),得A(2,2). (3)由题意可知，点A(x,y)的“待定关联点”为A2(x,x2一 na). .A2(x,x2-nx)在函数y=x2一n的图象上， .x2-nx=x2-n,∴.n-nx=0,n(1-x)=0. 又n≠0，.x=1, .点A2的坐标为(1,1-). 第3课时二次函数y=a(x一h)2和y= a(x-h)2+k的图象与性质 1.D2.B3.<变式题>4.B5.C 6.解：(1)将(1,11)代入y=a(x+3)2-5,得16a-5=11,解得 a=1 (2)开口向上，对称轴是直线x=一3， 顶点坐标是（一3，一5）. (3)①当x=一3时，函数取最小值，最小值是一5. ②当x<一3时，y随x的增大而减小. 7.D8.C9.右上10.C11.y2<y1<y3 12.解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D :抛物线的表达式为y=一子一2， ∴点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为 (0,-1), .AO=2,BO=1. .'AB⊥AC,.∠OAB+∠CAD=90° .∠OAB+∠ABO=90°，.∠ABO=∠CAD, R△AB0 oRACAD.8-0 即品=DCD=2AD 由y=一 (x-2)=-x+x-1, 可设C,-十+1-1)，则AD=1-2, .-(-+4-1）=21-20, 整理，得t-12t十20=0， 解得t=2(舍去)，t2=10. 当=10时，-2+4-1=-16， .点C的坐标为(10，-16). 13.解：1)y=3x (2)由题意，得点P1的纵坐标为5或一5，则抛物线沿着直线 向上平移了1个单位长度或向下平移了9个单位长度，即 点O的纵坐标为1或一9. 将y=1代入y=子，得x=3:将y=-9代入y=子，得 x=-27,则点O1的坐标为(3,1)或(-27，一9). 故平移后二次函数图象所对应的函数表达式为y=(x 3)2+1或y=(x+27)2-9. 第4课时二次函数y=axr2十br十c的图象与性质 1.A2.C3.-2变式题A 4.解：(1)当y=0时，-x2+4x十5=0， 解得x1=一1，x2=5,∴·点A的坐标为（一1,0），点B的坐标 为(5,0)，.AB=6. 当x=0时，y=5,∴.点C的坐标为(0,5)，.OC=5, ∴Sa做=X6X5=15.