第1章 应用技巧专题 解直角三角形与特殊几何图形的综合应用-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

应用技巧专题解直角三角形 题型个解直角三角形与特殊三角形的综合 应用 1.图①是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣 架左右晾衣臂张开后的示意图如图②所示， 两支脚OC=OD=10dm,展开角∠COD= 60°，晾衣臂OA=OB=10dm,晾衣臂支架 GH=EF=6dm,且HO=FO=4dm(参考 数据：√3≈1.73) B G MC D水平地面 图① 图② (1)当∠AOC=90°时，求点A离地面的距离 AM(结果精确到0.1dm); 720 九年级数学BS版 与特殊几何图形的综合应用 (2)当OB从水平状态旋转到OB'(CO延长 线上)时，点E绕点F随之旋转至OB'上的 点E处，求B'E-BE的值. 2.图①是一把钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳 光，钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折 并旋转任意角.图②是钓鱼伞直立时的示意 图，当伞完全撑开时，伞骨AB,AC与水平方 向的夹角∠B=∠C=30°，伞骨AB与AC水 平方向的最大距离BC=2m,BC与AN交 于点M,撑杆AN=2.2m,固定点O到地面 的距离ON=1.6m(结果精确到0.01m,参 考数据：√3≈1.732). (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B 到地面的距离； (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面 积，人们会将钓鱼伞倾斜至与铅垂线HN成 30°夹角，如图③.求此时点B到地面的 距离. 图② 图③ 题型② 解直角三角形与特殊四边形的综合 应用 3.(2024上海虹口区二模)根据以下素材，完成 探索任务. 探究斜坡上两车之间距离 图①是某高架入口 B M 的横断面示意图， 高架路面用BM 素材1 图① 表示，地面用AN表示，斜坡用AB表示 已知BM∥AV,高架路面BM离地面的距 离BH为25m,斜坡AB长为65m. 续表 探究斜坡上两车之间距离 如图②，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面 示意图，CK长为10m,EC长为3.5m.如 图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的 斜坡上，矩形ECKG的顶点K与点B重 合，点B与指示路牌底端P点之间的距离 BP为6.5m,且BP⊥BM.小张驾驶一辆 素材2小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼晴到斜 坡的距离FD为1m. B(K M 图② D 图③ 任务一：如图①，求斜坡AB的坡比 问题 任务二：如图③，当小张正好可以看到整个 解决 指示路牌（点P,E,F在同一条直线上）时， 试求小张与大巴车车尾EC的距离CD 下册第一章 2△CB∥ED,AB⊥BC, .∠AME=90°. 又CN⊥ED, B 水坡 迎水坡 .四边形BCVM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. 背水坡坡比为1： 号设CN=rm,则DN= 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根据勾殿定理，得+（停） =62 解得x1=33,x2=-3√5（不合题意，舍去）， .BM=CN=3√3m,DN=3m ED=275 m,.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， .AM-tanE.EM-x288-96/5(m), 3 .AB=AM-BM=96√3-33≈158(m). 故扬中塔AB的高度为158m. 6利用三角函数测高 1.D 2.解：(1)如图，过点E作EM⊥AB,垂足为M, 00 0 00 00…42 2 设AB=xm. 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， .△ABF为等腰直角三角形，.BF=AB=xm, .'BC=BF++FC=(x+13)m. 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE= (x-2)m,EM=BC=(x+13)m, m22=品号12 故教学楼AB的高度约为12m. (2)由(1)可得ME=BC=25m. 在R△AME中，o2-, AE=ME≈25≈27(m. cos22≈1 6 故点A,E之间的距离约为27m. 3.(300+100√2)m4.255.696.B7.110 8.解：(1)76 (2)3.8 (3)如图，延长AE交PB的延长线于点K 由(2)可知，KE=3.8m. 设AE=xm,则AK=(x+3.8)m. ∠P=45°，.PK=AK. PQ=4, ∴.KQ=x十3.8-4=(x-0.2)m. m∠AQK=胎=an60=F, 品，解得 .8+合5 ≈5.7(m). √/5-1 故旗杆AE的高度约为5.7m. 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. :AM⊥CD,∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， .四边形OQMP是矩形，.QM=OP :OC=0D=10dm,∠COD=60°， .△COD是等边三角形. :OP1cD.∠cop=∠c0D=30, .QM=OP=OC·cos30°=5√3dm. .∠AOC=∠QOP=90°， '.∠AOC-∠COQ=∠QOP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP=30°， AQ=20A=5dm,∴AM=AQ+MQ=5+55≈13.7(dm. 故点A离地面的距离AM约为13.7dm. B B M C D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J 由(1)，得△COD是等边三角形，.∠ODC=60° OB∥CD,∠BOD=∠ODC=60. 在Rt△OFK中，OK=OF·cos60°=2dm,FK=OF·sin60 =2√/3dm. 在Rt△FKE中，EK=√EF2-FK=√/62-(2√3)2=2√6 (dm),.BE=OB-OK-KE=10-2-2√6=(8-2/6)dm. 在Rt△OFJ中，OJ=OF·cos60°=2dm,FJ=OF·sin60 =2√3dm. 在R△FJE中，EJ=√EF-F=√62-(2√3)2=2√6 (dm),.B'E'=OB'-(EJ-OJ)=10-(2√6-2)=(12 2√6)dm,∴.B'E'-BE=12-2√6-(8-26)=4(dm). 故B'E'一BE的值为4dm 2.解：(1)由题意可知，AN⊥BC,点B到地面的距离即为MN 的长度 .AB=AC,:.BM=BC=1m,:.MN=AN-AM=AN- 2 BM.an30°=2.2-1×5≈1.62(m. 3 故点B到地面的距离约为1.62m. (2)如图，过点A,B分别作地面的垂线， 垂足分别为Q,T,延长CA,TB交于点S, 则ST∥AQ∥HN. 设HN交AC于点P. :∠AOH=30°，∴∠OAQ=30. .∠ABC=30°，AO⊥BC, .∠BAO=90°-∠ABC=60°， .∠BAQ=∠BAO-∠OAQ=30°， .∠ABS=30 ∠S=∠BMA, 在△ABS和△ABM中，∠ABS=∠ABM, AB-AB. △ABS≌△ABM(AAS),.BS=BM=1m. 下册参考答案 157 OA=2.2-1.6=0.6(m), ∴.BT=ST-BS=OP+ON-BS=OA·cos30°+ON-BS =0.6× +1.6-1≈1.12(m). 故此时点B到地面的距离约为1.12m 3.解：任务一： 由题意，得在Rt△ABH中，BH为25m,斜坡AB长为 65m, .AH=√/652-252=60(m), BH-5-1:2.4 :斜坡AB的坡比i=A月品 任务二：如图，过点P作PO⊥ DB,交DB的延长线于点O, 过点F作FQ⊥PO于点Q,交 CE于点R, 则四边形CRQO为矩形，四边 形FDCR为矩形， ..RQ-CO,FR=DC,FD=CR=OQ=1m, ∴.ER=3.5-1=2.5(m). :∠ABH=∠PBO,∠O=∠H=90°，BP=6.5m, cos∠PB0=9=cos∠ABH-3B0=2.5m, 6.5 ∴.P0=√6.5-2.5=6(m), .PQ=6-1=5(m),RQ=C0=10+2.5=12.5(m). EC⊥AB,PQ⊥AB,.ER∥PQ, △EO△FpQ颺-器 :2 FR 5FR+12.5FR=12.5m, .CD=FR=12.5 m. 易错重难专练 易错易混专练 1.①②③ 2.解：如图，过点B作BD⊥AC于点D,则 ∠BDA=90. .∠A=60°，∴.∠ABD=30°， AD-2AB=1-AC: C(D) .点D与点C重合， ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90°，BC=√3， .cos 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CD⊥AB于点D, 则AD=40cos30=205(cm),CD=号×40=20(cm) ∴DB=√/25-20=15(cm),△ABC的面积为×20× (20√3+15)=(200√3+150)cm2: 图① 图② ②如图②，过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40cos30° 20√3(cm),CD= 1×40=20(cm),∴DB=√/252-20=15 (cm),△ABC的面积为2X20X(20W5-15)=(200V5 150)cm. 4343433 158 九年级数学BS版 综上，△ABC的面积为(200√3十150)cm或(200√3-150)cm2. 4.66.7 重点难点专练 1.A2.B3.3万4.B5y=-房+2r 6.(1)4(2)2+15 2 7.解：如图，过点A作AG⊥BD于点G, AF⊥DE于点F, 则四边形AGDF是矩形， ..∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D= 45.F 90°，AF=DG,AG=DF. 五60° AG5 B G C 在Rt△ABG中，AB=130m,BCG=12' D .设AG=5km,BG=12km, .AB=AG+BG=13k=130,.k=10, .AG=50m,BG=120m,.DF=50m. .'CG=30 m,.'.AF=DG=(30+CD)m. .∠EAF=45°，∴.∠AEF=∠EAF=45°， .EF=AF=(30+CD)m. 在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=30+CD+50=(80+ CDm,an∠DCE-2S. .80+CD=√3CD,∴.CD=(40+403)m, ∴.DE=80+40+40√3≈189.3(m). 189.3在190士5的范围内， 说明书上写的烟花燃放高度属实。 章未对点导练 1.A2.C3.34.D5.B6.30 7.解：1)原式=2×号+4×分-5=5+2-5=2. (2)原式=2x+14×号-25+1-25=1 (3原式=8×复-2×号+号-5-万+号-号 2 2 8.B9.22010.√3+1 11.解：如图，过点B作BE⊥CM于点E. 在Rt△ABC中，BC=/AB-AC =10, nA福是 M E 在Rt△BCE中，sin∠BCE=sinA=BC=3' BE 5 BE-c-×10- 13 即点B到直线NMC的距离为器 12.A13.5w/1714.0.21 15.解：该公路没有穿过纪念园 过点A作AD⊥BC于点D,如图. ↑北 D B 60 由题意，得∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°， ·BD=AD -ia30-3AD,CD-AD.