第1章 教材变式专题 构造直角三角形解决问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

4解直角三角形 1.C 6 2.解：1D在R1△ABC中，anA=合-2后-5， .∠A=60°，.∠B=90°-60°=30°， ∴.c=2b=2×23=4V5. (2)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得b=√c2一a= V24②-20=241mA=号=1，∠A=∠B=45. 3.A4.15.(3√2-3) 6.解：根据题意，得∠A=90°-∠B=90°一55°=35°. 在R△ABC中，AB=AC= 4 sinB sins55≈4,9， BC=AC=4 。tanB tans55≈2.&. 7.C8.C 9.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在R△BCD中oB-设-台 .设BD=4k,BC=5k. .CD=BC2-BD2, .'.CD=3k. :siA-9光-3AC=0k ΓAC 10 :AD=√AC-CD=k, ..AB=AD++BD=+4=5k=15, 解得k=3,∴.AC=√10X3=3√10. 10.②1.号或9 12.解：(1)AB=BC=13,BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF,BF⊥AC,AF=7AC=5. 在Rt△ABF中，BF=/AB-AF=12, mA-器-号 (2)如图，过点E作EG⊥BD,垂足 为G. CE平分∠ACD,EF⊥AC,EGI BD,∴.EF=EG. 在Rt△EBG中，.sin∠CBE= ∠AB器 5 ∴.13EF=5×12+5EF, EF-5G=5 故点E到直线BD的距离为只。 13.解：(1)由题意知，∠ADC=60°，DC=8km,AD=24×2 60 8Ckm）∴Sac=2DC·AD·sin∠ADC =子×8x8×sin60 =号×8×8×9号=165km). 2 故△ADC的面积为16√3km. (2)6 3 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D 由题意可知，∠DCA=30°，.AD= AC =5,CD=AC·c030°=25×5=3. 2 D .∠BCA=75°， .∠BCD=75°-30°=45°， .CD=BD=3,.AB=AD+BD=3+√3，BC=3√2，∴.AB +BC=3+√5+3√2≈3+1.7+3X1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m, 2.解：如图，延长BD交AC的延长线于 点E,过点D作DF⊥AE于点F. :i=tan∠DCF=是=3， 33 .∠DCF=30°，∴.∠CDF=60 又.∠DAC=15°，.∠ADC=15°， ∴.CD=AC=10m,∠BDF=45°+15°+60°=120°，.∠E= 120°-90°=30°. 在R△DCF中，DF=CD·sin30=10X号-5(m, CF=CD.c080=10x9-5v5m. 在R△DFE中，EF=DE=点=55(m, tanE .AE=10+5√3+5√3=(10W3+10)m. 在R△BAE中，AB=AE.anE=(I0万+10)×=(10 +0y)m 故斑杆AB的高度为(10+10)m 3.解：如图，延长DA交CB的延长线 于点E .∠ABC=90°，∠DAB=120°， ∴.∠ABE=90°，∠EAB=60°， .BE=AB·tan60°=12√/5. .∠D=90°，∴.∠C=60°， .DE=CD·tan60°=30， ∴该四边形的面积为2CD·DE-号AB·BE=×10,5 ×30-7×12×125=78V3. 4.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E,CFD ⊥AD于点F,则∠AEC=∠AFC =90°. 又：∠A=90°， ∴四边形AECF为矩形，∴AE=CF,AF=CE 设BC=CD=xm. 在Rt△BCE中，.∠B=30°，∴.CE=BC·sin30°=0.5xm, BE=BC·cos30°-5 m. 在Rt△CDF中，∠D=72°， .∠DCF=90°-∠D=90°-72°=18，∴.DF=CD·sin18 ≈0.31xm,CF=CD·cos18°≈0.95xm. .'AD=DF+AF=DF十CE, 下册参考答案 155 .0.31x+0.5x=405,解得x=500, :BE=5×500=2505(m. 2 CF=0.95×500=475(m), ∴.AB=AE+BE=CF+BE=(475+250√3)m. 5.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB的延 长线于点G,交DE的延长线于点H, :∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， 160cm .GH=CD=120 cm,DH=CG,H= 120cm 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°，AB D =30cm, 图① .AG=15cm,BG=15√3cm, ∴.AH=120-15=105(cm). AE⊥AB,.∠EAH=30 又.∠H=90°，.EH=AH·tan30°=353cm, .DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+15√3-353≈ 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在Rt△BCD中， BD=BC+CD=200 cm, s1-器-0.6 160cm ∴.∠1≈36.9° 120cm 在Rt△BAD中，AB=30cm. D(E) ∴sm∠2-部0=015. 图② .∠2≈8.6°， ∠3≈90°-8.6°=81.4°， a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7° 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25tan60°=25√3 (m), 在Rt△BOC中，BC=OC·tan∠BOC=25tan30°= 25√3 3 (m), ·AB=AC-BC=503 3 m ÷小汽车从A到B的速度为505÷3-1005(m/s. 32 9 3.D变式题(23十1) 4.解：(1)如图，过点A作AD⊥纪念广场 D 纪念馆 BC于点D. B 由题意，得AB=100m, 渡口 ∠BAD=70°， .AD=c0s70°·AB≈0.34×100=34(m) 故渡口A与步道BC的距离为34m. (2)由题意可得∠DAC=65°， .CD=tan65°·AD≈2.14×34≈73(m) 又.BD=AB·sin70°≈100×0.94=94(m), ∴.BC=BD+CD=94+73=167(m), 故步道BC的长为167m. 5.D 6.解：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥ 431443 156 九年级数学BS版 AE于点F,则CF=DE 根据题意可知，AE=5 n mile,∠BAE =22°，，.BE=AE·tan22°≈5X A ,东 0.404=2.02(n mile), 2 ..DE=BD-BE=6-2.02= 3.98(n mile),.'.CF=3.98 n mile. 海岸 B E D 在Rt△AFC中，∠CAF=67°， ac=器3ame 故此时观测塔A与C处的距离约为4.3 n mile. 7.解：(1)如图，过点D作DF⊥FP EA的延长线，垂足为F. 45e 东 易得四边形ABCF是矩形， ∴.AF=BC=10km. 60° 在Rt△ADF中，∠DAF=45°， AD=AE=0≈14km, c0s45° .AD的长度约为14km. (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km, ∴.DF=AF=10km. 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°，AB=CF=DF+ CD=24km.AE=AB·lan30°=24×5=85(km, ..EB=2AE=2X8√3=16√3(km) 按路线①A一D一C一B走的路程为AD十DC+CB=14+14 +10=38(km), 按路线②A一E-B走的路程为AE+EB=8√3十16V3≈24 ×1.73=41.52(km). 38km<41.52km,∴小明应该选择线路①. 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A2.3 3.解：如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E, 则∠AED=∠BED=90°. 8y 由题意可知，BC=78m,∠ADE=48°， D ∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°， .四边形BCDE为矩形， ..DE=BC=78 m,DC=EB AB 在Rt△ABC中，tan∠ACB=BC, .AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125(m). 在R△AED中，a∠ADE-是， .AE=DE·tan48°≈78×1.11≈87(m), .∴.DC=EB=AB-AE=125-87=38(m) 故甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约 为38m. 4.B 5.解：由题意可知，DF=AE. 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=6Em, 则AE=AB,inB=62×9=6(m)DF=6m 2 背水坡CD的坡度i=1:3,.FC=6√3m, .CD=DF+FC=/62+(6√3)2=12(m) 6.9.67.B8.(30-53)9.60√5 10.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN⊥ED,垂足 为V.教材变式专题构造 【例】（教材第27页题20）一块四边形空地如下图 所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m). 30m 50m 60° 60° 50m /20m 【解】如图，连接BD,作DE⊥AB于点E,作 BF⊥CD于点F. D 30m 50m ○60 人 60°℃C 50m 20m .∠A=∠C=60°， .DE=30·sin60°=15√3(m), BF=20·sin60°=10√/3(m), :S活边EAcD=S6ABD十SAmC=号AB·DE十 3CD.BF=号×50X15VB+2×50×10B≈ 1082.53(m2). 【方法指导】锐角三角函数是在直角三角形中 定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形 中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察 图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三 角形来解.一般在遇到有直角而没有三角形 时，通常连接两个定点或延长两条边相交于一 点构造直角三角形.遇见无直角、无等角涉及 三角函数时，通常作高得到直角三角形 变式①无直角、无等角三角形作高 1.如右图，一滑板运动场斜 坡上的点A处竖直立着一 根旗杆，旗杆在其点B处 折断，旗杆顶部落在斜坡 A 0 上的点C处，AC=2√3m,折断部分与斜坡 的夹角∠BCA为75°，斜坡与水平地面的夹 金12 九年级数学BS版 直角三角形解决问题 角为30°.求旗杆原来的高度（√2≈1.4，√3≈ 1.7,结果精确到1m). 2.如下图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下 落在一个斜坡上的点D处.某校数学课外兴 趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆 的底部A处测得∠DAC=15°，AC=10m. 若∠BDA=45°，斜坡CD的坡度i=1:√3， 求旗杆AB的高度（结果保留根号）. 变式②有直角、无三角形连接顶点或延长边 3.如右图，已知四边形AB- CD,其中∠B=∠D=90°， ∠A=120°.若AB=12,CD =10,√，求该四边形的面积. 4.某校组织一个数学研究小组测量校园内的 一块四边形空地，其平面图如下图所示，测 得BC=CD,AD=405m,∠A=90°，∠B= 30°，∠D=72°.求AB的长（结果保留根号， 参考数据：sinl8°≈0.31，cos18°≈0.95， tanl8°≈0.32). 5.图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动 调节点B(可以上下调整高度)离地面CD的 初始距离BC=160cm.设花洒臂与墙面的 夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒 臂长AB=30cm.假设水柱AE垂直AB直 线喷射，小华在离墙面120cm处淋浴. ix A Ba B 160cm 160cm 120cm 120cm D D(E 图① 图② (1)当α=30°时，水柱正好落在小华的头顶 上，求小华的身高DE; (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE,使 点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移 动即可，移动的距离BF与小华的身高DE之 间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点B不动，只要调整α的大小， 如图②，试求α的度数.（结果保留一位小数， 参考数据：√5≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈ 0.60,tan36.9≈0.75) 下册第一章 13△