第1章 6 利用三角函数测高-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

CB∥ED,AB⊥BC, .∠AME=90°. 又CN⊥ED, B 水坡 迎水坡 .四边形BCVM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. 背水坡坡比为1： 号设CN=rm,则DN= 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根据勾殿定理，得+（停） =62 解得x1=33,x2=-3√5（不合题意，舍去）， .BM=CN=3√3m,DN=3m ED=275 m,.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， .AM-tanE.EM-x288-96/5(m), 3 .AB=AM-BM=96√3-33≈158(m). 故扬中塔AB的高度为158m. 6利用三角函数测高 1.D 2.解：(1)如图，过点E作EM⊥AB,垂足为M, 00 0 00 00…42 2 设AB=xm. 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， .△ABF为等腰直角三角形，.BF=AB=xm, .'BC=BF++FC=(x+13)m. 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE= (x-2)m,EM=BC=(x+13)m, m22=品号12 故教学楼AB的高度约为12m. (2)由(1)可得ME=BC=25m. 在R△AME中，o2-, AE=ME≈25≈27(m. cos22≈1 6 故点A,E之间的距离约为27m. 3.(300+100√2)m4.255.696.B7.110 8.解：(1)76 (2)3.8 (3)如图，延长AE交PB的延长线于点K 由(2)可知，KE=3.8m. 设AE=xm,则AK=(x+3.8)m. ∠P=45°，.PK=AK. PQ=4, ∴.KQ=x十3.8-4=(x-0.2)m. m∠AQK=胎=an60=F, 品，解得 .8+合5 ≈5.7(m). √/5-1 故旗杆AE的高度约为5.7m. 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. :AM⊥CD,∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， .四边形OQMP是矩形，.QM=OP :OC=0D=10dm,∠COD=60°， .△COD是等边三角形. :OP1cD.∠cop=∠c0D=30, .QM=OP=OC·cos30°=5√3dm. .∠AOC=∠QOP=90°， '.∠AOC-∠COQ=∠QOP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP=30°， AQ=20A=5dm,∴AM=AQ+MQ=5+55≈13.7(dm. 故点A离地面的距离AM约为13.7dm. B B M C D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J 由(1)，得△COD是等边三角形，.∠ODC=60° OB∥CD,∠BOD=∠ODC=60. 在Rt△OFK中，OK=OF·cos60°=2dm,FK=OF·sin60 =2√/3dm. 在Rt△FKE中，EK=√EF2-FK=√/62-(2√3)2=2√6 (dm),.BE=OB-OK-KE=10-2-2√6=(8-2/6)dm. 在Rt△OFJ中，OJ=OF·cos60°=2dm,FJ=OF·sin60 =2√3dm. 在R△FJE中，EJ=√EF-F=√62-(2√3)2=2√6 (dm),.B'E'=OB'-(EJ-OJ)=10-(2√6-2)=(12 2√6)dm,∴.B'E'-BE=12-2√6-(8-26)=4(dm). 故B'E'一BE的值为4dm 2.解：(1)由题意可知，AN⊥BC,点B到地面的距离即为MN 的长度 .AB=AC,:.BM=BC=1m,:.MN=AN-AM=AN- 2 BM.an30°=2.2-1×5≈1.62(m. 3 故点B到地面的距离约为1.62m. (2)如图，过点A,B分别作地面的垂线， 垂足分别为Q,T,延长CA,TB交于点S, 则ST∥AQ∥HN. 设HN交AC于点P. :∠AOH=30°，∴∠OAQ=30. .∠ABC=30°，AO⊥BC, .∠BAO=90°-∠ABC=60°， .∠BAQ=∠BAO-∠OAQ=30°， .∠ABS=30 ∠S=∠BMA, 在△ABS和△ABM中，∠ABS=∠ABM, AB-AB. △ABS≌△ABM(AAS),.BS=BM=1m. 下册参考答案 1576利用三 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点个测量底部可到达的物体的高度 1.如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD,在点 A处测得∠BAD=45°，在点C处测得 ∠BCD=60°.已知AC=8m,点A,C,D在 同一直线上，则旗杆的高度BD为() A.(4√/3+4)m B.(7√3+7)m C.(14√3+14)m D D.(4√/3+12)m 第1题图 2.如右图，某校教学楼 0 AB的后面有一建筑 0ǒ 00 物CD,当光线与地面 45℃ 22E 的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留 下高2m的影子CE,而当光线与地面的夹 角是45°时，FC=13m(参考数据：sin22°≈ c0s21号tan22≈号). 3 15 (1)求教学楼AB的高度； (2)学校要在点A,E之间挂一些彩旗，请你 求出点A,E之间的距离（结果保留整数）. 金18 九年级数学BS版 角函数测高 知识点②测量底部不可到达的物体的高度 3.如图，一名游客从山脚A沿坡角为30°的山 坡AB行走600m到达景点B,再由景点B 沿山坡BC行走200m到达山顶C.若在山顶 C观测得到景点B的俯角为45°，则山的高 度CD为 43 A D 第3题图 第4题图 4.如图，垂直于水平面的信号塔AB建在垂直 于水平面的悬崖边BC上.某测量员从山脚 点C出发沿水平方向前行78m到点D,再 沿斜坡DE前行78m到点E(点A,B,C,D, E在同一平面内).在点E处测得信号塔顶端 A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5m,斜坡 DE的坡度i=1:2.4,则信号塔AB的高度 约为 m(参考数据：sin43°≈0.68， cos43°≈0.73，tan43°≈0.93). 5.石鼓阁是宝鸡市地标性建筑，位于石鼓山 顶.刘亮想测量石鼓阁的高度，但因石鼓阁 的底部B处（如图）无法到达，于是他在点C 处，眼睛位于点D处，用测角仪测得石鼓阁 顶端A的仰角为45°，从C处沿BC方向走 34m到达点E处，眼睛位于点F处时，测得 石鼓阁顶端A的仰角为34°.已知点B,C,E 在同一条直线上，AB⊥BE,DC⊥BE,FE BE,CD=EF=1m,则石鼓阁的高度AB为 m参考数据：sin装0s3 ≈ 83 45D34F 第5题图 已课外拓展提高 6.某校九年级数学小组发现校园里有一棵被强 台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的 一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马 上利用其测量旁边的钟楼AB的高度.如图所 示的是根据测量活动场景抽象出的平面图 形.活动中测得的数据如下：①大树被摧折倒 下的部分DE=10m:②sin∠CDE=号；③点 E到钟楼底部的距离EB=7m;④钟楼AB的 影长BF=(20√3+8)m;⑤从点D看钟楼顶 端A点的仰角为60°.点C,E,B,F在一条直 线上，则钟楼AB的高度为 ( A.15√3m B.(15√/5+6)m C.(12√/3+6)m D.15m 1B Ax36.87 太阳光线 63.449 M 太阳光线 60 CE B 第6题图 第7题图 7.(2024淄博一模)如图，一架无人机在空中A 处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在 水中的倒影C的俯角为63.44°.若此时无人 机距水面的距离AD为50m,则点B到水面 的距离BM为 m(参考数据： sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87° ≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45， tan63.44°≈2.00). 已综合能力提升 8.数学核心素养·应用意识九(1)班同学在 下学期的社会实践活动中，对学校旁边的山 坡护墙和旗杆进行了测量。 图① 图② 图③ (1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在 护墙上，使得BD与BC的长度相等，且测量 得到∠CDB=38°，则护墙与地面的倾斜角α 的度数为 (2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16m (E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB 的高度为1.9m,则点E离地面FB的高度 为 m; (3)如图③，第三小组在点P处测得旗杆顶 端A的仰角为45°，向前走4m到达点Q,此 时测得旗杆顶端A的仰角为60°.求旗杆AE 的高度（结果精确到0.1m,参考数据：tan60 ≈1.732，tan30°≈0.577，√5≈1.732，√2≈ 1.414). 知识要点归纳 1.测量底部可以到达的物体的高度：所谓“底部可 以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测 点与被测物体的底部之间的距离；实际上是先测 量一个直角三角形中的一个锐角的度数和一条直 角边的长，然后利用三角函数得出物体的高度· 2.测量底部不可以到达的物体的高度：所谓“底部 不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与 被测物体的底部之间的距离，需测出四个数据，即 测倾器在两个测点分别所得的物体的仰角，两个 测点之间的距离及测倾器的高度 下册第一章 19个