第1章 5 第1课时 方向角问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

5三角☒ 第1课时 已课内基础闯关 ---0 知识点①同一地点的两个方向角的应用 1.如图，小明位于景点大门P的北 北 偏东60°方向，距离景点大门86m 60 东 的A处，他沿正南方向走到了位 45 于景点大门P的南偏东45°方向 上的B处.此时，B处与景点大门第1题图 P的距离约为 m(结果取整数， 参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41). 2.如下图，一辆小汽车在一条城市街道上由西 向东行驶，在距路边25m处有车速检测仪 O,测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏 西30°的B点，所用时间为1.5s.试求该车 从A点到B点的平均速度（结果保留根号）. 知识点②不同地点的两个方向角的应用 3.如图，轮船从B处以50 n mile/h的速度沿南 偏东30°方向匀速航行，在B处观测到灯塔A 位于南偏东75°方向上.轮船航行半小时到达 C处，在C处观测到灯塔A位于北偏东60°方 向上，则C处与灯塔A的距离是 ( A.25√3 n mile B.25√2 n mile C.50 n mile D.25 n mile ↑1km 75 A6 30 4 km 北 个东 第3题图 变式题图 14 九年级数学BS版 数的应用 方向角问题 变式题如图所示，某施工方计划把一座山 的C,D两点用隧道打通，并利用北斗卫星定 位技术确定A,C,D三点在东西方向的同 条直线上.在隧道没有打通之前，技术监督员 李工每天需要驾车先从隧道口点C向正西 方向行驶1km到达点A,然后再沿南偏东 60°方向行驶4km到达点B,接着再沿北偏 东45°方向行驶一段路程才能到达隧道口D, 则隧道CD的长度为 km. 4.(2024鹰潭月考)如下图，这是由长征渡口 A、纪念广场B、中央红军长征出发纪念馆C 三个景点组成的三角形景区平面示意图，其 中纪念广场B与纪念馆C在东西方向的步 道上.已知纪念广场B在渡口A北偏西70° 方向距离渡口100m处（结果保留整数，参 考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70° ≈2.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65° ≈2.14). (1)求渡口A与步道BC的距离； (2)若纪念馆C在渡口A北偏东65°的方向 上，求步道BC的长， 纪念广场 纪念馆 已课外拓展提高 5.某区域平面示意图如 图，点O在河的一侧， AC和BC表示两条互相 垂直的公路.若甲勘测 员在A处测得点O位于 第5题图 北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于 南偏西73.7°，测得AC=840m,BC=500m,则 点O到BC的距离约为（参考数据：sin73.7°≈ 2器s78.7T云m73.7 24 ( A.140mB.340mC.360mD.480m 6.如下图所示，在东西方向的海岸上有两个相 距6 n mile的码头B,D.某海岛上的观测塔A 距离海岸5 n mile,在A处测得码头B位于 南偏西22°方向.一艘渔船从码头D出发，沿 正北方向航行至C处，此时在A处测得C处 位于南偏东67°方向.求此时观测塔A与C 处的距离（结果精确到0.1 n mile,参考数据： sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈ 0.404,sin67°≈0.921，cos67°≈0.391，tan67° ≈2.356). 东 2267 已综合能力提升 7.数学核心素养·几何直观如下图，为了满 足市民的需求，某市在一条小河AB两侧开 辟了两条长跑锻炼线路：①A一D一C一B; ②A一E一B.经勘测，点B在点A的正东方 向，点C在点B的正北方向10km处，点D 在点C的正西方向14km处，点D在点A的 北偏东45°方向，点E在点A的正南方向，点 E在点B的南偏西60°方向（参考数据：√2≈ 1.41,3≈1.73). (1)求AD的长度（结果精确到1km); (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短 线路进行锻炼，请通过计算说明他应该选择 线路①还是线路② 0 45 609 知识要点归纳 方向角：以观察点为中心，以正北或正南为始边 旋转到观察目标所成的锐角，称为方向角. 下册第一章 15个.0.31x+0.5x=405,解得x=500, :BE=5×500=2505(m. 2 CF=0.95×500=475(m), ∴.AB=AE+BE=CF+BE=(475+250√3)m. 5.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB的延 长线于点G,交DE的延长线于点H, :∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， 160cm .GH=CD=120 cm,DH=CG,H= 120cm 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°，AB D =30cm, 图① .AG=15cm,BG=15√3cm, ∴.AH=120-15=105(cm). AE⊥AB,.∠EAH=30 又.∠H=90°，.EH=AH·tan30°=353cm, .DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+15√3-353≈ 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在Rt△BCD中， BD=BC+CD=200 cm, s1-器-0.6 160cm ∴.∠1≈36.9° 120cm 在Rt△BAD中，AB=30cm. D(E) ∴sm∠2-部0=015. 图② .∠2≈8.6°， ∠3≈90°-8.6°=81.4°， a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7° 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25tan60°=25√3 (m), 在Rt△BOC中，BC=OC·tan∠BOC=25tan30°= 25√3 3 (m), ·AB=AC-BC=503 3 m ÷小汽车从A到B的速度为505÷3-1005(m/s. 32 9 3.D变式题(23十1) 4.解：(1)如图，过点A作AD⊥纪念广场 D 纪念馆 BC于点D. B 由题意，得AB=100m, 渡口 ∠BAD=70°， .AD=c0s70°·AB≈0.34×100=34(m) 故渡口A与步道BC的距离为34m. (2)由题意可得∠DAC=65°， .CD=tan65°·AD≈2.14×34≈73(m) 又.BD=AB·sin70°≈100×0.94=94(m), ∴.BC=BD+CD=94+73=167(m), 故步道BC的长为167m. 5.D 6.解：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥ 431443 156 九年级数学BS版 AE于点F,则CF=DE 根据题意可知，AE=5 n mile,∠BAE =22°，，.BE=AE·tan22°≈5X A ,东 0.404=2.02(n mile), 2 ..DE=BD-BE=6-2.02= 3.98(n mile),.'.CF=3.98 n mile. 海岸 B E D 在Rt△AFC中，∠CAF=67°， ac=器3ame 故此时观测塔A与C处的距离约为4.3 n mile. 7.解：(1)如图，过点D作DF⊥FP EA的延长线，垂足为F. 45e 东 易得四边形ABCF是矩形， ∴.AF=BC=10km. 60° 在Rt△ADF中，∠DAF=45°， AD=AE=0≈14km, c0s45° .AD的长度约为14km. (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km, ∴.DF=AF=10km. 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°，AB=CF=DF+ CD=24km.AE=AB·lan30°=24×5=85(km, ..EB=2AE=2X8√3=16√3(km) 按路线①A一D一C一B走的路程为AD十DC+CB=14+14 +10=38(km), 按路线②A一E-B走的路程为AE+EB=8√3十16V3≈24 ×1.73=41.52(km). 38km<41.52km,∴小明应该选择线路①. 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A2.3 3.解：如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E, 则∠AED=∠BED=90°. 8y 由题意可知，BC=78m,∠ADE=48°， D ∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°， .四边形BCDE为矩形， ..DE=BC=78 m,DC=EB AB 在Rt△ABC中，tan∠ACB=BC, .AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125(m). 在R△AED中，a∠ADE-是， .AE=DE·tan48°≈78×1.11≈87(m), .∴.DC=EB=AB-AE=125-87=38(m) 故甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约 为38m. 4.B 5.解：由题意可知，DF=AE. 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=6Em, 则AE=AB,inB=62×9=6(m)DF=6m 2 背水坡CD的坡度i=1:3,.FC=6√3m, .CD=DF+FC=/62+(6√3)2=12(m) 6.9.67.B8.(30-53)9.60√5 10.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN⊥ED,垂足 为V.