第1章 5 第2课时 仰角、角及坡度问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

.0.31x+0.5x=405,解得x=500, :BE=5×500=2505(m. 2 CF=0.95×500=475(m), ∴.AB=AE+BE=CF+BE=(475+250√3)m. 5.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB的延 长线于点G,交DE的延长线于点H, :∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， 160cm .GH=CD=120 cm,DH=CG,H= 120cm 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°，AB D =30cm, 图① .AG=15cm,BG=15√3cm, ∴.AH=120-15=105(cm). AE⊥AB,.∠EAH=30 又.∠H=90°，.EH=AH·tan30°=353cm, .DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+15√3-353≈ 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在Rt△BCD中， BD=BC+CD=200 cm, s1-器-0.6 160cm ∴.∠1≈36.9° 120cm 在Rt△BAD中，AB=30cm. D(E) ∴sm∠2-部0=015. 图② .∠2≈8.6°， ∠3≈90°-8.6°=81.4°， a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7° 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25tan60°=25√3 (m), 在Rt△BOC中，BC=OC·tan∠BOC=25tan30°= 25√3 3 (m), ·AB=AC-BC=503 3 m ÷小汽车从A到B的速度为505÷3-1005(m/s. 32 9 3.D变式题(23十1) 4.解：(1)如图，过点A作AD⊥纪念广场 D 纪念馆 BC于点D. B 由题意，得AB=100m, 渡口 ∠BAD=70°， .AD=c0s70°·AB≈0.34×100=34(m) 故渡口A与步道BC的距离为34m. (2)由题意可得∠DAC=65°， .CD=tan65°·AD≈2.14×34≈73(m) 又.BD=AB·sin70°≈100×0.94=94(m), ∴.BC=BD+CD=94+73=167(m), 故步道BC的长为167m. 5.D 6.解：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥ 431443 156 九年级数学BS版 AE于点F,则CF=DE 根据题意可知，AE=5 n mile,∠BAE =22°，，.BE=AE·tan22°≈5X A ,东 0.404=2.02(n mile), 2 ..DE=BD-BE=6-2.02= 3.98(n mile),.'.CF=3.98 n mile. 海岸 B E D 在Rt△AFC中，∠CAF=67°， ac=器3ame 故此时观测塔A与C处的距离约为4.3 n mile. 7.解：(1)如图，过点D作DF⊥FP EA的延长线，垂足为F. 45e 东 易得四边形ABCF是矩形， ∴.AF=BC=10km. 60° 在Rt△ADF中，∠DAF=45°， AD=AE=0≈14km, c0s45° .AD的长度约为14km. (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km, ∴.DF=AF=10km. 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°，AB=CF=DF+ CD=24km.AE=AB·lan30°=24×5=85(km, ..EB=2AE=2X8√3=16√3(km) 按路线①A一D一C一B走的路程为AD十DC+CB=14+14 +10=38(km), 按路线②A一E-B走的路程为AE+EB=8√3十16V3≈24 ×1.73=41.52(km). 38km<41.52km,∴小明应该选择线路①. 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A2.3 3.解：如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E, 则∠AED=∠BED=90°. 8y 由题意可知，BC=78m,∠ADE=48°， D ∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°， .四边形BCDE为矩形， ..DE=BC=78 m,DC=EB AB 在Rt△ABC中，tan∠ACB=BC, .AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125(m). 在R△AED中，a∠ADE-是， .AE=DE·tan48°≈78×1.11≈87(m), .∴.DC=EB=AB-AE=125-87=38(m) 故甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约 为38m. 4.B 5.解：由题意可知，DF=AE. 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=6Em, 则AE=AB,inB=62×9=6(m)DF=6m 2 背水坡CD的坡度i=1:3,.FC=6√3m, .CD=DF+FC=/62+(6√3)2=12(m) 6.9.67.B8.(30-53)9.60√5 10.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN⊥ED,垂足 为V. CB∥ED,AB⊥BC, .∠AME=90°. 又CN⊥ED, B 水坡 迎水坡 .四边形BCVM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. 背水坡坡比为1： 号设CN=rm,则DN= 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根据勾殿定理，得+（停） =62 解得x1=33,x2=-3√5（不合题意，舍去）， .BM=CN=3√3m,DN=3m ED=275 m,.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， .AM-tanE.EM-x288-96/5(m), 3 .AB=AM-BM=96√3-33≈158(m). 故扬中塔AB的高度为158m. 6利用三角函数测高 1.D 2.解：(1)如图，过点E作EM⊥AB,垂足为M, 00 0 00 00…42 2 设AB=xm. 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， .△ABF为等腰直角三角形，.BF=AB=xm, .'BC=BF++FC=(x+13)m. 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE= (x-2)m,EM=BC=(x+13)m, m22=品号12 故教学楼AB的高度约为12m. (2)由(1)可得ME=BC=25m. 在R△AME中，o2-, AE=ME≈25≈27(m. cos22≈1 6 故点A,E之间的距离约为27m. 3.(300+100√2)m4.255.696.B7.110 8.解：(1)76 (2)3.8 (3)如图，延长AE交PB的延长线于点K 由(2)可知，KE=3.8m. 设AE=xm,则AK=(x+3.8)m. ∠P=45°，.PK=AK. PQ=4, ∴.KQ=x十3.8-4=(x-0.2)m. m∠AQK=胎=an60=F, 品，解得 .8+合5 ≈5.7(m). √/5-1 故旗杆AE的高度约为5.7m. 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. :AM⊥CD,∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， .四边形OQMP是矩形，.QM=OP :OC=0D=10dm,∠COD=60°， .△COD是等边三角形. :OP1cD.∠cop=∠c0D=30, .QM=OP=OC·cos30°=5√3dm. .∠AOC=∠QOP=90°， '.∠AOC-∠COQ=∠QOP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP=30°， AQ=20A=5dm,∴AM=AQ+MQ=5+55≈13.7(dm. 故点A离地面的距离AM约为13.7dm. B B M C D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J 由(1)，得△COD是等边三角形，.∠ODC=60° OB∥CD,∠BOD=∠ODC=60. 在Rt△OFK中，OK=OF·cos60°=2dm,FK=OF·sin60 =2√/3dm. 在Rt△FKE中，EK=√EF2-FK=√/62-(2√3)2=2√6 (dm),.BE=OB-OK-KE=10-2-2√6=(8-2/6)dm. 在Rt△OFJ中，OJ=OF·cos60°=2dm,FJ=OF·sin60 =2√3dm. 在R△FJE中，EJ=√EF-F=√62-(2√3)2=2√6 (dm),.B'E'=OB'-(EJ-OJ)=10-(2√6-2)=(12 2√6)dm,∴.B'E'-BE=12-2√6-(8-26)=4(dm). 故B'E'一BE的值为4dm 2.解：(1)由题意可知，AN⊥BC,点B到地面的距离即为MN 的长度 .AB=AC,:.BM=BC=1m,:.MN=AN-AM=AN- 2 BM.an30°=2.2-1×5≈1.62(m. 3 故点B到地面的距离约为1.62m. (2)如图，过点A,B分别作地面的垂线， 垂足分别为Q,T,延长CA,TB交于点S, 则ST∥AQ∥HN. 设HN交AC于点P. :∠AOH=30°，∴∠OAQ=30. .∠ABC=30°，AO⊥BC, .∠BAO=90°-∠ABC=60°， .∠BAQ=∠BAO-∠OAQ=30°， .∠ABS=30 ∠S=∠BMA, 在△ABS和△ABM中，∠ABS=∠ABM, AB-AB. △ABS≌△ABM(AAS),.BS=BM=1m. 下册参考答案 157第2课时仰角 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点①仰角、俯角问题 1.如图，小明站在某山顶A处看到了山脚下B 处的公园，俯角为α.若小明所处位置的高度 AC为1540m,则B,C之间的距离为( A.1540 m B.1 540tana m tang C.1 540sing m D.1 540cosa m A 53o B D45° 第1题图 第2题图 2.(教材第20页题1变式)如图，建筑物BC上 有一根旗杆AB.从与BC水平相距10m的D 处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底 部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m(结果取整数，参考数据：sin53 ≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33) 3.如右图，甲、乙两座建筑物的 487 水平距离为78m,从甲的顶部 A处测得乙的顶部D处的俯 角为48°，底部C处的俯角为 58°.求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果 取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈ 1.60). 16 九年级数学BS版 俯角及坡度问题 知识点②坡度、坡角问题 4.爬坡时坡面与水平面夹角 为a,则每爬1m耗能 30° (1.025-cosa)J.若某人爬 第4题图 了1000m,该坡角为30°，则他耗能（参考数 据：√3≈1.732，√2≈1.414) () A.58JB.159JC.1025JD.1732J 5.如下图，某拦水大坝的横断面为梯形AB CD,AE,DF为梯形的高，其中迎水坡AB的 坡角a=45°，坡长AB=6√2m,背水坡CD 的坡度i=1:.求CD的坡长. i=1:V3 知识点③三角函数的其他应用 6.桔槔，亦称“桔皋”，是我国 桔槔 古代的汲水工具.如图，它 A 是在竹梯上架设一竹竿 AB,竹竿一端A处系绳 B 子，绳子另一端悬绑汲器， 竹竿另一端B处绑石块等 第6题图 重物.若竹竿A,B两处的距离为12m,当汲 器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平 面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，则绑 重物的B端到悬绑汲器的绳子的距离是 m(结果精确到0.1m,参考数 据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3). 课外拓展提高 7.小明和好朋友一起去某地旅游，他们租住的 酒店AB坐落在坡度i=1：2.4的斜坡BD 上，酒店AB高129m(如图).某天，小明在 酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒 店前有一座雕像C(雕像的高度忽略不计). 已知雕像C与海岸线上的点D的距离CD 为260m,雕像C与酒店AB的水平距离为 36m.他站在A处还看到远处海面上一艘即 将靠岸的轮船E,此时俯角为27°，则轮船E 与海岸线上的点D的距离ED约为（参考数 据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.5) () A.262mB.212mC.244mD.276m 45y个义30 尚 美 楼 ED 第7题图 第8题图 8.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行 测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A 处竖直上升30m到达B处，测得博雅楼顶 部E处的俯角为45°，尚美楼顶部F处的俯 角为30°.已知博雅楼高度CE为15m,则尚 美楼高度DF为 m. 9.某户外遮阳棚如图①所示，其截面结构示意 图如图②所示.支撑柱AB垂直于地面，AB =120√5cm,P是支撑柱AB上一动点，伞 杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP= 40√/15cm,斜拉杆AE可绕点A旋转，AE =CP.若∠APE=30,则BP的长度为 cm. ANE B 地面 图① 图② 第9题图 已综合能力提升 10.（2024镇江二模) 扬中塔又称扬中 背水坡/ 迎水坡 新广播电视发射 D 塔，位于扬中市滨江公园内.如上图，扬中 塔AB建在背水坡拔比为1：怎坂长CD =6m,塔底B距离点C10m的环岛江堤 上，小明在距离点D275m的点E处测得 塔顶A的仰角为30°.已知堤坝顶部BC与 地面DE平行，求扬中塔AB的高度（结果 保留整数，参考数据：√3≈1.7). 知识要点归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意画出几何图形，建立数学模型；(2)将 条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关 系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； (3)根据直角三角形（或通过添加辅助线构造的直 角三角形)各元素（边、角）之间的关系选择合适的 关系式，使运算简便、结果准确；(4)得出数学问题 的答案，并检验答素是否符合实际意义，从而得到 实际问题的解。 17 下册第一章