第21章 21.2.2 平行四边形的判定-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

∴.AE∥BC,AE=BF,∴.∠EAC=∠ACB=a. 又.'∠DAE+∠BAC=180°，∴.∠DAE=2a, .∴.∠DAC=∠DAE-∠EAC=a, ∠DAC=∠ACB,∴.AD=CD. .AD=AE,AE=BF...BF=CD, ∴.BF-DF=CD-DF,即BD=CF 21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1)】 1.B 2.解：：AC⊥AD,∴∠CAD=90°.在Rt△ACD中，：AD =5,CD=13,∴AC=√CD-AD2=12.AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°.在Rt△ABC中，.AB=13,AC=12, ∴.BC=AB2-AC2=5,.AD=BC.又，AB=CD, ∴.四边形ABCD为平行四边形 3.B 4.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=∠BCD,AD∥BC. :AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD, ∠FAE=号∠DAB,∠ECF=∠BCD, ∴.∠FAE=∠ECF. AF∥EC, .∠FAE+∠AEC=180°，∠AFC+∠ECF=180°， ∴.∠AEC=∠AFC, ∴.四边形AFCE是平行四边形， 5.C 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥CB,.∠OED=∠OFB. O是BD的中点，∴OD=OB ∠OED=∠OFB 在△OED和△OFB中，∠DOE=∠BOF, OD=OB, ∴.△OED≌△OFB(AAS),∴.OE=OF ,OD=OB,.四边形BFDE是平行四边形. 7.D 8.D【解析】编号为②，③的两块碎玻璃的角的两边 互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点 就是平行四边形的顶点，∴.带编号为②，③的两块碎玻 璃就可以确定完整玻璃的大小. 9.①②【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD, OA=OC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. ①，'AQ=CN,AM=CP,∴.DQ=BN,BM=DP, △AMQ≌△CPN(SAS),∴.△BMN≌△DPQ(SAS), ∴.MQ=PN,MN=PQ, .四边形MNPQ是平行四边形， ∴.条件①能判定四边形MNPQ是平行四边形； ②，□ABCD的对角线交于点O,且MP,NQ均经过 点O, .易知OQ=ON,OP=OM,∴.四边形MNPQ是平行 四边形， ,',条件②能判定四边形MNPQ是平行四边形； ③.点M,P的位置未知，仅凭NQ经过点O,AQ= CN不能确定四边形MNPQ的形状， ∴.条件③不能判定四边形MNPQ是平行四边形. 综上所述，能判定四边形MNPQ是平行四边形的是① ②. 10.证明：DE∥BF,.∠EDO=∠FBO. O是BD的中点，.OD=OB ∠EDO=∠FBO, 在△DEO和△BFO中，OD=OB, ∠DOE=∠BOF, ∴.△DEO≌△BFO(ASA),.OE=OF. 又：AE=CF,.OA=OC, .四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OB=OD. DE-7 OD.BF-OB, 1 ∴.DE=BF,∴.DE+OD=BF+OB,即OE=OF, 四边形AFCE为平行四边形. (2)四边形AFCE是平行四边形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD. 1 DE=OD,BF=OB, ∴.DE=BF,∴.OE=OF, ∴四边形AFCE为平行四边形. 由此可得出结论：若DE=OD,BF=OB,则四边 形AFCE为平行四边形. (3)在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA, .∠DCA=∠DAC,.AD=CD OA=OC,.OE⊥AC, ∴.OE垂直平分AC,.AE=CE ,∠AEC=60°，∴.△ACE是等边三角形， ..AE=CE=AC=20A=10 cm, ∴.C四边形ArcE=2(AE+CE)=2×(10十10)=40(cm). 第2课时平行四边形的判定(2) 1.D2.B3.平行四边形 4.证明：AE∥DF,.∠A=∠D. ,AB=CD,∴.AB+BC=CD+BC,即AC=BD. 又，AE=DF,∴.△ACE≌△DBF(SAS), ∴.CE=BF,∠ACE=∠DBF, ∴.CE∥BF,∴四边形BFCE是平行四边形. 5.C6.(答案不唯一)FC=AE 7.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.BE∥DF. 又BE=DF,四边形DEBF是平行四边形， 下册参考答案 .∴.DE∥BF,ED=BF ,M,V分别是DE,BF的中点，∴.ME=NF ,ME∥NF,∴.四边形MFNE是平行四边形， 8.C【解析】甲：由作图可知，BM=AB,DN=CD 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AB=CD,AD∥BC, ∴.BM=DN,CM∥AN,∴.BC-BM=AD-DN,即 CM=AN. 又，CM∥AN,.四边形AMCN是平行四边形. 乙：由作图可知，AM平分∠BAD,CN平分∠BCD, CBAM=∠DAM=Z∠BAD,∠BCN=∠ -号∠icn .·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ∴.∠DAM=∠BCN,∠DNC=∠BCN,AN∥MC, ∴.∠DAM=∠DNC,∴AM∥CN. 又：AN∥MC,∴.四边形AMCN是平行四边形. 综上，甲、乙两名同学的作法都对. 9.4【解析】如图①②③④，共能作出4个平行四边形. 图① 图② 图③ 图④ 10.解：AF∥BC, .∠AFC=∠FCD, E是AD的中点， ∴.AE=DE 在△AEF与△DEC中， (∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, AE=DE, ∴.△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=DC. D是BC的中点， ∴.BD=DC, ..AF=BD, .四边形AFBD是平行四边形， .S网边形AFBD=2S△ABD 又BD=DC, ∴.SAAB=2S△ABD, .S四边形AFBD=S△ABC· ∠BAC=90°，AB=4,AC=6 SAuNc3 2AB·AC—×4×6—12, ,∴.Sg边形AFBD=12。 11.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠AEB=∠CBE ,BE是∠ABC的平分线， 10 数学八年级RJ版 .∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,.AE =AB. .'AD=2AB=6 cm,.'AE=AB=3 cm. (2)存在.由(1)可知，AE=3cm, .∴.DE=AD-AE=3cm. 由题意可知，EM=tcm,CN=4tcm(0≤t≤3). AD∥BC,∴要使以M,E,B,N为顶点的四边形是 平行四边形，只要满足EM=BN即可. 分以下两种情况讨论： ①当点N在边BC上时，BN=BC-CN=(6-4t)cm, 1-6-红，解得1-日 ②当点N在边CB的延长线上时，BN=CN一BC=(4t -6)cm, ∴.t=4t一6，解得t=2 综上，当1的值为或2时，以M,E,B,N为顶点的 四边形是平行四边形. 21.2.3三角形的中位线 1.B2.D3.24.C5.C 6.23°【解析】M,N,P分别是AD,BC,BD的中点， MP为△ADB的中位线，NP为△BDC的中位线， .MP-AB.MP/AB.NP-CD.NP/CD, 1 ∴∠MPD=∠ABD=24°，∠BPN=∠BDC=70°， ∴.∠NPD=180°-∠BPN=180°-70°=110°， ∴.∠MPN=∠MPD+∠NPD=24°+110°=134. ,'AB=CD,∴.MP=NP, 六∠NMP=z×(180°-134)=23. 7.解：(1)证明：：E,F分别是BC,AC的中点， EF是△ABC的中位线， EF/AB且EF=AB. :AB=2AD,AD=号AB,AD∥EF且AD =EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形，∴.AF与DE互相 平分. (2)√2I【解析】(2)：在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=8,BC=12, .∴.AC=BC2-AB2=W122-82=45. ,F是AC的中点，∴.AF=CF. 由(1)知0A=0F,0A=4AC=5. :在△A0D中，∠DA0=90,AD=2AB=4,0A =√5， .D0=√AD+OA=√4+(W5)2=√2I. 8.C【解析】：D,E分别是AB,BC的中点，∴AC=21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1) 要点提示 平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；(2)两组对边分别相等的四边形 是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线五相平分的四边形是平行四边形. O1固基础心 知识点1两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 1.现有长为5,5,7的三根木棍，要想钉一个平 行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长 度应该为 ( ) A.5 B.7 C.2 D.12 2.如右图，在四边形ABCD中， D 知识点3对角线互相平分的四边形是平行 AB=CD=13,AD=5,ACL 四边形 BC,AC⊥AD.求BC的长，并 5.(2025赣州大余期末)如图，已知AB∥CD, 判断四边形ABCD是否为平行四边形. 增加下列条件可以使四边形ABCD成为平 行四边形的是 A.∠1=∠2 B.AD=BC C.OA=OC 第5题图 D.AD=AB 6.如下图，在□ABCD中，连接BD,取BD中 点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于 知识点2两组对角分别相等的四边形是平 点E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE 行四边形 是平行四边形 3.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B, ∠C,∠D的度数比.其中能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 ( A.4:3:2:1 B.3:2:3:2 C.3:32:2 D.3:2:2:1 4.(教材变式)如右图，在 ▣ABCD中，AE,CF分别 是∠DAB,∠BCD的平分线.求证：四边形 AFCE是平行四边形. 下册第二十一章 02提能力之 O3拓思维)◆ 7.如图所示，在□ABCD中，E,F分别是边 11.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 BC,AD上的点.若添加条件，使四边形 交于点O,OA=5cm,E,F为直线BD上 AECF一定是平行四边形，则添加的条件不 的两个点（点E,F始终在口ABCD的外 可以是 A.AE∥CF B.BE=DF 面).且DE=20D,BF=2OB,连接AE, C.∠BAE=∠DCF D.AE=CF CE,CF,AF. B (1)求证：四边形AFCE为平行四边形. ② ⑦ ③ (2)若DE=专OD,BF=3OB,则四边形 第7题图 第8题图 AFCE是平行四边形吗？请说明理由.由 8.如图，小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎 此你能得出什么结论？ 成四块.为了能配到一块与原来相同的平行 (3)若CA平分∠BCD,∠AEC=60°，求四 四边形玻璃，她带了两块碎玻璃去商店.这 边形AFCE的周长。 两块碎玻璃的编号应该是 ( A.①②B.①④ C.③④ D.②③ 9.如图，□ABCD的对角线 D 交于点O,M,N,P,Q分 别是口ABCD四条边上不 N 重合的点，有下列条件： 第9题图 ①AQ=CN,AM=CP;②MP,NQ均经过 点O;③NQ经过点O,AQ=CN.其中能判 定四边形MNPQ是平行四边形的是 (填序号) 10.如下图，在四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,O是BD的中点.点E,F 在对角线AC上，连接DE,BF,DE∥BF, AE=CF.求证：AB=CD. 数学八年级RJ版 第2课时平行四边形的判定（2) 要点提示 平行四边形的判定方法（补充）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 念O1固基础念 知识点2平行四边形的性质与判定的综合 运用 知识点1一组对边平行且相等的四边形是 5.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点 平行四边形 O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5, 1.（2025南昌期末)如图，请添加 100° 则四边形OCED的周长为 一个条件，使得四边形ABCD 80 B A.4 B.6 C.8 D.16 是平行四边形，则添加的条件可 第1题图 以是 ( A.AB=CD B.∠B=∠C C.∠C+∠D=180°D.AD=BC 第5题图 第6题图 2.如图，点A,B,C,D在同一平面内.有下列 6.如图，在口ABCD中，E,F分别是AB,DC 条件：①AB∥CD:②AB=CD:③BC∥AD: 上的点.请添加一个条件，使得四边形 ④BC=AD.从中任意选两个，能使四边形 EBFD为平行四边形，则添加的条件是 ABCD是平行四边形的选法有 ( A.3种 B.4种C.5种 D.6种 7.如下图，在□ABCD中，BE=DF,M,N分 D iA' 别是DE,BF的中点.求证：四边形MFNE 是平行四边形. B 第2题图 第3题图 3.如图，把线段AB向右平移3个单位长度， 移动前后的线段和对应端点的连线所组成 的图形是 4.如下图，点A,B,C,D在同一条直线上，点 E,F分别在直线AD的两侧，且AE=DF, AE∥DF,AB=DC.求证：四边形BFCE是 平行四边形. 下册第二十一章 02提能力 03拓思维 8.现有一张平行四边形纸片 ABCD，AD> 11.几何直观如下图，在 $$\parallelogram A B C D$$ 中， AD= AB， ，要求用尺规作图的方法在边 BC，AD 2AB=6cm，BE 是 ∠ABC 的平分线，点M 上分别找点M，N，使得四边形 AMCN 为平 从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度 行四边形，甲、乙两名同学的作法如图所示. 向点D运动，点N从点C出发，沿射线 下列判断正确的是 () CB方向以4cm/s的速度运动.当点M运 甲 A L D 乙 A N D 动到点D时，点N随之停止运动，设运动 时间为ts. B M C B M C (1)求AE的长. 第8题图 (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边 A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 形是平行四边形?若存在，请求出t的值； C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 若不存在，请说明理由. 9.如图所示的是由边长为2 A E M D 的小等边三角形构成的 B N C “草莓”形状网格，每个小 等边三角形的顶点均为格 A 点.线段AB的端点都在 B 第9题图 格点上.若以AB为边画 一个平行四边形，且另外两个顶点都在格点 上，则最多可画个平行四边形. 10.如下图，在 △ABC 中， $$\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } ， A B =$$ 4，AC=6，D，E 分别是 BC，AD 的中点， AF//BC 交CE的延长线于点F.求四边形 AFBD 的面积. F A E B D C 32 数学八年级RJ版