第21章 21.2.1 平行四边形及其性质-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

21.2 平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 要点提示 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形ABCD记作“☐ABCD” 2.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相 平分 3.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上佳意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的 距离.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的照离处处相等 O1固基础 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对 …………… 角线AC与BD的交点，AB⊥AC.若AB= 知识点1平行四边形的定义 8,AC=12,则BD的长是 ( 1.如图，在▣ABCD中，EF∥ D H A.20 B.21 C.22 D.23 AB,GH∥AD,EF与GH /0 知识点4两条平行线之间的距离 交于点O,则图中平行四边 B 形的个数为 ( ) 第1題图 6.在同一平面内，已知a∥b∥c.若直线a,b之 间的距离为5cm,直线b,c之间的距离为 A.7 B.8 C.9 D.11 3cm,则直线a,c之间的距离为 () 知识点2平行四边形的边、角的特征 A.2cm或8cm B.2 cm 2.(2025赣州期中)如图，在□ABCD中，∠C= C.8 cm D.不确定 108°，BE平分∠ABC,则∠AEB等于( 7.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC A.18 B.36 C.72 D.108 与BD相交于点O.求证：S△AoB=S△coD, 第2题图 第3题图 3.如图，在□ABCD中，已知AC=4cm, △ACD的周长为13cm,则□ABCD的周 长为 () A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm 知识点3平行四边形的对角线的性质 4.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于 P易错点 不能正确地应用对角线的性 点O,则下列结论一定正确的是 质而出错 A.AB=BC B.AD=BC 8.在□ABCD中，对角线AC和BD交于 C.OA=OB D.AC⊥BD 点O.若AC=8,BD=10,则边AB长 的取值范围是 A.4≤AB≤5 B.2<AB<18 C.1<AB<9 D.1≤AB≤9 第4题图 第5题图 下册第二十 02提能力之 …… O3拓思维 9.如图，在□ABCD中，∠B D 13.推理能力如图①，在△ABC中，AB= =∠AEB,AE∥DF,DC是 AC,∠ABC=a,D是边BC上一点，以 ∠ADF的平分线.有下列B 第9题图 AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE 结论：①BE=CF;②AE是∠DAB的平分 +∠BAC=180°. 线：③∠DAE+∠DCF=120°.其中正确的 (1)∠ADE的度数为 (用 有 ( 含α的式子表示). A.0个B.1个C.2个D.3个 (2)以AB,AE为边作□ABFE. 10.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC,交 ①如图②，若点F恰好落在边DE上，求 AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点 证：BD=CD: E.若AB=6,EF=2,则BC的长为 ②如图③，若点F恰好落在边BC上，求 证：BD=CF 第10题图 第11题图 图① 图② 图③ 11.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点 P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,连 接AP.若S△APH=2,则S四边形PGCD= 12.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF ⊥BD,垂足分别为E,F.求证： (1)△AEO≌△CFO. (2)BE=DF. 数学八年级RJ版4.B5.D 6.C【解析】如图，根据“邻等四边形”以及格点的定义可 知，所有符合条件的点D共有3个，即图中的D1, D2,D3 B A D 7.B【解析】：∠A与∠C之和等于四边形外角和的一 半，四边形的外角和为360°， ∴.∠A+∠C=180°，∴.∠B+∠D=360°-（∠A+ ∠C)=180°.① ∠B比∠D大15°，∴.∠B-∠D=15°.② ①+②，得2∠B=195°，∴∠B=97.5 21.1.2多边形及其内角和 1.C2.B3.D4.275.A 6.A【解析】设原多边形的边数为n,则(n一2)×180°= 1620°，解得n=11,即原多边形是十一边形.按图示的 剪法剪去一个内角后，边数会增加1，所以新多边形的 边数为11+1=12. 7.290°【解析】如图，延长EA,令 ∠BAF为∠5. 5 :∠BAE+∠5=180°，∠BAE =110°， .∠5=70° .∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=360°-70° =290°」 8.41°【解析】如图，延长BA交 GE于点H,则∠GAH=∠1 =19°. :六边形ABCDEF的每个内角HFNE 人2 都相等，∴.其每个外角都相等， ∠AFH=∠FAH=36O 6 =60°，∴.∠AHF=180°- 60°-60°=60°..AGMN, ∴.∠2=∠AGH=∠AHF-∠GAH=41°. 9.解：(1)4个.三角形的个数与边数相等. (2)4个.三角形的个数比边数小1. (3)4个.三角形的个数比边数小2. 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 1.C2.B3.D4.B5.A6.A 7.证明：如图，过点A作AE⊥BC于点 E,过点D作DF⊥BC于点F. :AD∥BC,AE=DF.又·S△A =2BC·AE.Samc= BC·DF, 1 .S△ABe=SBc,,S△ABc-S△Oe=S△BDc-S△Boc' .S△A0B=S△coD· 8 数学八年级RJ版 8.C 9.D【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC,AD=BC.又AE∥DF,.四边形AEFD是平行 四边形，∴.EF=AD,AE=DF,BC=EF,.BE= CF,故结论①正确.：DC平分∠ADF,∴∠ADC= ∠FDC.又.'AD∥EF,∴.∠ADC=∠DCF,.∠DCF =∠FDC,DF=CF,.AE=CF=BE.∠B= ∠AEB,AB=AE=BE,∴.△ABE是等边三角形， ∴.∠BAE=∠B=60°.又AB∥DC,.∠DCF=∠B =60°，△CDF是等边三角形，∠DAE=∠F= 60°，∴AE是∠DAB的平分线，∠DAE+∠DCF= 120°，故结论②③正确.综上所述，其中正确的个数 是3. 10.10【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ..AD//BC,DC=AB=6,AD=BC, ∠AFB=∠FBC. :BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC, .∠ABF=∠AFB,.AF=AB=6, 同理可证DE=DC=6. .EF=AF+DE-AD=2.6+6-AD=2, ∴.AD=10,.BC=10. 11.8【解析】，EF∥BC,GH∥AB,四边形ABCD是平 行四边形， .四边形PGBE、四边形AEPH、四边形HPFD、四 边形PGCF都是平行四边形， .S△EBn=S△GBP,S△HPD=SAFPD. CG=2BG,∴DH=2AH.又：S△APH=2, .S△HPp=2 S AAPH=4,∴.S△FPD=4. 'S△EBP+SOAEPH+SAHPD=SAGBP十SOPCF+SAFPD SOAEPH=SOPGCF. 又：SOAEPH=2 SAAPH=4,∴.SOraE=4, .S四边形PGD=SoCr十S△FPD=8. 12.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO,BO=DO. :AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEO=∠CFO=90 又，∠AOE=∠COF, ∴.△AEO≌△CFO(AAS). (2).△AEO≌2△CFO,.OE=OF. .BO=DO...BO-OE=DO-OF,BE=DF. 13.解：(1)90°-a (2)证明：①：四边形ABFE为平行四边形， .AB∥DE,∴.∠EDC=∠ABC=a. 由(1)可知，∠ADE=90°-a, ,.∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°-a+a=90°， 即AD⊥BC. 又AB=AC,BD=CD ②，AB=AC,∠ABC=a, .∠ACB=∠ABC=a,∠BAC=180°-2a. ,四边形ABFE为平行四边形， ∴.AE∥BC,AE=BF,∴.∠EAC=∠ACB=a. 又.'∠DAE+∠BAC=180°，∴.∠DAE=2a, .∴.∠DAC=∠DAE-∠EAC=a, ∠DAC=∠ACB,∴.AD=CD. .AD=AE,AE=BF...BF=CD, ∴.BF-DF=CD-DF,即BD=CF 21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定(1)】 1.B 2.解：：AC⊥AD,∴∠CAD=90°.在Rt△ACD中，：AD =5,CD=13,∴AC=√CD-AD2=12.AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°.在Rt△ABC中，.AB=13,AC=12, ∴.BC=AB2-AC2=5,.AD=BC.又，AB=CD, ∴.四边形ABCD为平行四边形 3.B 4.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=∠BCD,AD∥BC. :AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD, ∠FAE=号∠DAB,∠ECF=∠BCD, ∴.∠FAE=∠ECF. AF∥EC, .∠FAE+∠AEC=180°，∠AFC+∠ECF=180°， ∴.∠AEC=∠AFC, ∴.四边形AFCE是平行四边形， 5.C 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥CB,.∠OED=∠OFB. O是BD的中点，∴OD=OB ∠OED=∠OFB 在△OED和△OFB中，∠DOE=∠BOF, OD=OB, ∴.△OED≌△OFB(AAS),∴.OE=OF ,OD=OB,.四边形BFDE是平行四边形. 7.D 8.D【解析】编号为②，③的两块碎玻璃的角的两边 互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点 就是平行四边形的顶点，∴.带编号为②，③的两块碎玻 璃就可以确定完整玻璃的大小. 9.①②【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD, OA=OC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. ①，'AQ=CN,AM=CP,∴.DQ=BN,BM=DP, △AMQ≌△CPN(SAS),∴.△BMN≌△DPQ(SAS), ∴.MQ=PN,MN=PQ, .四边形MNPQ是平行四边形， ∴.条件①能判定四边形MNPQ是平行四边形； ②，□ABCD的对角线交于点O,且MP,NQ均经过 点O, .易知OQ=ON,OP=OM,∴.四边形MNPQ是平行 四边形， ,',条件②能判定四边形MNPQ是平行四边形； ③.点M,P的位置未知，仅凭NQ经过点O,AQ= CN不能确定四边形MNPQ的形状， ∴.条件③不能判定四边形MNPQ是平行四边形. 综上所述，能判定四边形MNPQ是平行四边形的是① ②. 10.证明：DE∥BF,.∠EDO=∠FBO. O是BD的中点，.OD=OB ∠EDO=∠FBO, 在△DEO和△BFO中，OD=OB, ∠DOE=∠BOF, ∴.△DEO≌△BFO(ASA),.OE=OF. 又：AE=CF,.OA=OC, .四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OB=OD. DE-7 OD.BF-OB, 1 ∴.DE=BF,∴.DE+OD=BF+OB,即OE=OF, 四边形AFCE为平行四边形. (2)四边形AFCE是平行四边形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD. 1 DE=OD,BF=OB, ∴.DE=BF,∴.OE=OF, ∴四边形AFCE为平行四边形. 由此可得出结论：若DE=OD,BF=OB,则四边 形AFCE为平行四边形. (3)在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA, .∠DCA=∠DAC,.AD=CD OA=OC,.OE⊥AC, ∴.OE垂直平分AC,.AE=CE ,∠AEC=60°，∴.△ACE是等边三角形， ..AE=CE=AC=20A=10 cm, ∴.C四边形ArcE=2(AE+CE)=2×(10十10)=40(cm). 第2课时平行四边形的判定(2) 1.D2.B3.平行四边形 4.证明：AE∥DF,.∠A=∠D. ,AB=CD,∴.AB+BC=CD+BC,即AC=BD. 又，AE=DF,∴.△ACE≌△DBF(SAS), ∴.CE=BF,∠ACE=∠DBF, ∴.CE∥BF,∴四边形BFCE是平行四边形. 5.C6.(答案不唯一)FC=AE 7.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.BE∥DF. 又BE=DF,四边形DEBF是平行四边形， 下册参考答案