第19章 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

本章小结 大单元思维导图心 概念R 一般地，形如Va(a≥0)的式子叫作二次根式 二次根式 及其性质 Va≥0(a≥0) 性质 (Va)2=a(a≥0) (Va)=a(a≥0) 二次根式的乘法法则Va·Vb=Vab(a≥0，b≥0) 逆用RVab=Va.V6(a≥0，b≥0) 二次根式 二次根式的 二次根式的除法法则 语-层a=0.0 乘法与除法 a=Va(a≥0，b>0) 逆用 b 被开方数不含分母 最简二次根式《 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 先将二次根式化简，再将被开方数相同的二 二次根式的加减 次根式合并 二次根式的 加法与减法 二次根式的混合运算 整式的乘法法则和乘法公式仍然适用 大单元考点训练 考点①二次根式的概念与性质 4.若√(5一a)2=a一5，则a的取值范围是 1.(2025吉安青原区模拟)下列各式一定是二 次根式的是 A.a=5 B.a>5 A.√x-2B.√-7C.5 D.√-3 C.a≥5 D.a≤5 2.若式子a+6在实数范围内有意义，则a,6 5.若1<x<3,则|x-4|+√(x-1)的值为 的取值范围分别是 ( () A.a=0,b>0 B.a≥0，b≠0 A.2x-5 B.-3 C.a>0,b>0 D.a>0,b≠0 C.5-2x D.3 3.(2025新余期末)下列二次根式中，是最简二 6.若√/10-a是整数，写出一个满足条件的正 次根式的是 整数a的值： A.√16a B.√a2+b 7.已知x,y是实数，且满足y=√x一2026十 C.da D.J45 √2026-x,则x的值为 下册第十九章 8.已知-4<x<1,化简：√x2十8x十16 了黄金分割数.设a=5-1 2h521记 2x2-2x+1. S1= 1 S:=a2+2ab+ 1 十 一，S3= a a2b2 (a+b)3 a6,….依此规律，S。的值为 () A.5√5 B.25 C.65 D.125 14.阅读材料，理解并运用材料提供的方法解 考点2二次根式的有关计算 答问题 9.下列各式中，计算结果正确的是 ( 我们将(a十√石)，（√a一√石）称为一对“对 A.5+√2=7 B.45-25=2 偶式”.因为（√a+√6）(a-√b)=(a) C.√6×3=18 D.6√3÷23=3 一（√石）2=a一b,所以构造“对偶式”再将其 10.如图，在长方形ABCD中 相乘可以有效地将（√a十√6）和（√a一石） 不重叠地放人面积分别为 12 cm 16 cm2 3+√3 12cm2和16cm2的两张正 中的根号去掉.例如： 3-3 方形纸片，则图中空白部分 第10题图 (3+√3)(3+√3)(3+√3)212+6√3 的面积为 ( ) (3-√3)(3+√3)32-（√3）2 6 A.(8√3-12)cm2B.(16-8√5)cm2 =2十√3.像这样，通过分子、分母同乘一个 C.(8-4√3)cm2 D.(4-2√3)cm2 式子把分母中的根号化去，叫作分母有 11.用※定义一种新运算：对于任意实数m和 理化 n,规定m※n=m2n一mn一3n.例如1※2 (1)分母有理化 2+1 的值为 =12×2-1×2-3×2=-6,则(-2)※√3 2-1 的结果为 ( A.35B.-23C.32D.23 (2)如下图，数轴上1，√2对应的点分别为 12.跨物理学科电流通过导线时会产生热量， A,B,点B关于点A对称的点为C.设点C 电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：2)、通 2 表示的数为x,求x十二的值. 电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位： J)满足Q=IRt.已知导线的电阻为82， C A B 0x1V2 通电2s后，导线产生了72J的热量，则I 为 A. 13.吉代数学文化人们把(5 0.618)这个数叫作黄金分割数，著名数学 家华罗庚的优选法中的“0.618法”就应用 数学八年级RJ版y=27时，原式=√合×27=9号 当x=3 2 15.解：(1)(a-√8)2≥0，b-5≥0，lc-3√2|≥0，且 (a-√8)2+√b-5+|c-3√2|=0， .a-√8=0，b-5=0,c-3√2=0， ∴.a=√8=2√2，b=5,c=3√2. (2)能.理由如下： a<c<b,a+c=2√2+3√2=5√2,5√2>5， ∴能构成三角形. 其周长为a+b+c=5√2+5. 16.解：(1)根据题意，知3+x=2,5-√2+y=2, .x=-1,y=-3十√2. (2)不是.理由：①当m和n均为有理数时， m+2n-2√3-√3m=0, .∴.m十2n=0,-2-m=0, 解得m=-2,n=1. 当m=-2,n=1时，m十√3+5n-√3=-2+3+5 一√3=3≠2， ∴.m+√3与5n一√3不是关于1的“平衡数” ②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，有 m+√3+5n-√3=m+5n, 而此时m十5n为无理数， 故m+5n≠2， ∴.m十3与5n一√3不是关于1的“平衡数”. 综上，m十√3和5n一√3不是关于1的“平衡数”. 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.A 3.解：(1)原式=(5√2-3√2)÷√2=22÷√2=2. (2)原式=(43+125-20√5)÷5-2=-4√5÷ √3-2=-4-2=-6. 4.C5.-22 6.解：(1)原式=2√8-3√4=4√2-6. (2)原式=⑧+丽-4×=45+82-2,2 43+2. (3)原式=（√2+√3）2-（√6）2=5+2√6-6=2√6 -1. (④)原式=25-(-2)+13+45=25 10+6+13+4√3=9+63. 7.解：不正确.正确的解答过程如下： 原式=厅÷（传）=语=12 8.D9.B10.D 11.√10-3【解析】原式=（√10-3）5·（√/10-3）· (√/10+3)2025=[（√/10-3）（√/10+3）]25·（√/10 -3)=√/10-3. 12.-5-2√6【解析】由V3(x+1)=√2(x-1),得(W3 -√2)x=-√3-√2， “x=-B+2 (5+√2)2 =-(3+ √3-√2(3-√2)(5+√2) √2)2=-(5+2√6)=-5-2√6. 13.2【解析】，1<√2<2， .1<3-√2<2， .a=1,b=3-√2-1=2-√2， ∴.(2+√2a)b=(2+√2)(2-√2)=2. 14.解：x=1-√2，y=1+√2，∴.x-y=(1-2)-(1 +√2)=-2√2，xy=(1-√2)(1+√2)=1-2=-1. 原式=x2+y2-2xy-2x+2y+xy=(x-y)2-2(x -y)+xy=(x-y)(x-y-2)+xy=(-2√2)X (-2√2-2)-1=8+4V2-1=7+4√2. 6移项得+号-9 15.解：1)a=5-1 两边平方得。+a+}号。+a=1 (2)a2+a=1,a2-1=-a, .a3-2a+2026=a3-a-a+2026=a(a2-1)-a +2026=a·(-a)-a+2026=-a2-a+2026= -(a2+a)+2026=-1+2026=2025. 16.解：(1)原式=-3×(-3十7)-1=-13. (2)示例：对于任意实数a,b,都有ab=ab十2025. (3-2√2)￥(3十22)=(3-22)×(3+2√2)+ 2025=32-(2√2)2+2025=9-8+2025=2026. 本章小结 1.C2.B3.B4.C5.D6.9(答案不唯一) 7.1【解析】根据题意，得一2026≥0， 解得x=2026, 2026-x≥0， 则y=0,x=2026°=1. 8.解：原式=√(x+4)7-2√(x-1)7=|x+4|-2引x-1. -4<x<1, .x+4>0,x-1<0, .原式=x十4十2x-2=3x+2. 9.D10.A11.A12.3y2 2 2,6=6+1 13.D【解标】：4=5-1.6 21 b-5号×1-1+6-6号+5出 2 2 =5. :s,=1+=+-=5, a b ab S,=a+2ab+62_a+b) a2b2 a'6=(W5)2=5, 下册参考答案 S,=(a+b) =(5)3=5√5， asb S。=a+b)0 =(5)°=125. abs 14.解：(1)3+2√2 (2):点B关于点A对称的点为C, ∴.x=1-(W2-1)=2-2, :x+2=2-2+。2 2-√2 =2-√2+ 2(2+√2) 【2-22+@2=2++322-2+2+D 2 =4. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.C2.93.6 4.解：(1)：∠B=90°，a=5,b=13, ∴.c2=b2-a2=132-52=144,.c=12. (2)∠B=90°，a=8,c=15, .b2=a2+c2=82+152=289.∴.b=17. 5.3 6.证明：：AC=BD,CB=DE,AB=BE, ∴.△ACB≌△BDE(SSS), ∴.∠BAC=∠EBD :∠C=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90, .∠ABC+∠EBD=90°， ,∴.∠ABE=90°. :S AABC十S ABDE十S AABE=S#形ACDE, a6+2+0=2a+6 1 1 1 ∴.2ab+c2=a2+2ab+b2, .∴.a2+b2=c2. 7.C 8.D【解析】AB=AC=10,BC=16,D为BC的中 点，∴ADLBC,且BD=CD=BC=8.在R△ABD 中，根据勾股定理得AD=√AB2一BD=√102一8 -6.SAm =BD AD =AB DE,8x6= 2 2 2 10·DE 2 ,解得DE=4.8. 9.B【解析】由题意，知S1=AB2,S =BC2,S =CD2,S=AD*. S2 如图，连接BD. 在Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾 股定理，得BD2=AB2十AD2=CD2十BC2, 即S1+S4=S3+S2,∴.S4=135-48=87. 数学八年级RJ版 10.6【解析】由题意，得阴影部分的面积=以AC为直 径的半圆面积十以BC为直径的半圆面积十S△A 以AB为直径的半圆面积.在Rt△ACB中，由勾股定 理，得AB=√AC+BC=√32十4=5，∴.S關影= 日x(2)广+x×()+号x3x4-日x× ()=6. 11.14或4【解析】分以下两种情况讨论： ①如图①.在Rt△ACD中，AC=13,AD=12, .CD=√AC-AD=√13-12=5.在Rt△ABD 中，AB=15,AD=12,∴.BD=VAB-AD= 15-12=9,∴.BC=BD+DC=9+5=14; ②如图②..在Rt△ACD中，AC=13,AD=12, ∴.CD=√AC2-AD=√132-12=5.在Rt△ABD 中，AB=15,AD=12,.BD=√AB2-AD= √15-12=9，∴.BC=DB-DC=9-5=4. 综上所述，BC的长为14或4. 图① 图② 12.解：.CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BCD中，BD=√BC2-CD=6. 设AC=AB=x,则AD=x一6. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 即r=(-6)+8,解得=空AC=写 3 13.解：(1)在Rt△ACB中，AB=10,BC=6, ∴.AC=√AB2-BC=√102-6=8. 由题意，得PA=PB=t,则PC=8一t. 在Rt△PCB中，由勾股定理，得PC2+BC2=PB, 即(8-t)2+62=t2, 解得(-空放：的值为5 (2)如图，过点P作PE⊥AB于点E,A PC=t-8,PB=BC-PC=14-t. :AP平分∠BAC,且PC⊥AC, PE=PC.又AP=AP, ,.Rt△PAC≌Rt△PAE(HL), ..AE=AC=8, ∴.BE=AB-AE=2 在Rt△PEB中，由勾股定理，得PE+EB=PB2, 即(t-8)2+22=(14-t)2, 解得-积 故：的值为号