第2章 2 一元一次不等式-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∴.∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C =2×39°=78°. 9.解：(1)∠B=∠D.理由如下： .∠BAD=∠CAE,,∴.∠BAD-∠CAD=∠CAE -∠CAD, ∴.∠BAC=∠DAE. 又.AB=AD,AC=AE, .△ACB≌△AED(SAS),∴∠B=∠D. (2)80°【解析】(2)：点C在线段AB的垂直平分 线上， .AC=BC,.∠BAC=∠B=36°， .∠BAF=∠BAC+∠CAF=36°+44°=80°， ∠BFA=180°-∠BAF-∠B=180°-80°-36 =64°， ∠DFG=∠BFA=64°. 由(1)知，∠D=∠B=36°， .∠DGF=180°-∠DFG-∠D=180°-64°-36 =80° 10.C 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 1.C2.D 3.1)x>0(2)2x<4x(3)x+2≥y-4 (4)3x-7≤y2 4.A5.A 6.解：(1)根据题意，得500x十80×(10一x)≥3600. (2)根据题意，得10x+4×(10一x)≤65. 第2课时不等式的解集 1.A2.(1)1,2(2)-3,-2,-1 3.x≤1（答案不唯一） 4.解：这句话不正确.理由：一个含有未知数的不等式 的所有解，组成这个不等式的解集.不等式x+2<5 的解集是x<3,而x<0只包含不等式x十2<5的部 分解.例如，x=2是不等式x十2<5的解，但并不在x <0的范围内，.这句话不正确. 5.D 6.A【解析】由x△≥2，得3x-k≥2，则x≥十2 3 由数轴，得不等式的解集为x≥一1， :十2=一1，解得=一5 3 7.(1)3(2)3≤a<4 8.6075【解析】根据题意，得m=3,n=2025,∴.mn的 值为6075， 9.解：(1)，a⊕b=a·(a-b)-1, .(-1)①(-2)=-1×(-1+2)-1=-1×1-1= -2. (2),a①b=a·(a-b)-1, ∴.(-1)⊕x=-1X(-1-x)-1=x. (-1)①x的值大于-2， ∴x>-2. 如图. 321012 第3课时不等式的基本性质 1.C2.A 3.(1)<(2)>(3)<(4)≥ 4.A5.错误6.D 7.B【解析】由左图可知，■+■>●十■，得■>●： 由右图可知，●十●十■=●十▲，得●十■=▲，即 ▲>■.故这三种物体按质量从重到轻的顺序排列应 为▲>■>●. 8.<【解析】由图可知，b>c, ∴.-b<-c,.a-b<a-c. 9.解：，a,b,c为直角三角形的三边，c为斜边， ∴.a2+b2=c2,a+b>c. c2+2(c-a)-(a2+b2+2b)=c2+2c-2a-a2- b2-2b=(c2-a2-b2)+2(c-a-b)=2(c-a-b) <0, ∴.c2+2(c-a)<a2+b2+2b. 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.A2.2 3.C【解析】将x=2代入不等式，得2×3一a一3<0， 解得a>3,,∴.a可取的最小正整数为4. 4.1,2,3,4【解析】去分母，得-3x十5>-10，移项、合 并同类项，得-3x>-15,系数化为1，得x<5,.该 不等式的正整数解为1,2,3,4. 5.解：(1)去括号，得2x十4≥3x, 移项、合并同类项，得一x≥一4， 系数化为1，得x≤4. (2)去括号，得3.x+4<5.x+10, 移项、合并同类项，得-2x<6, 系数化为1，得x>一3. (3)去括号，得3x-6≤4x-2, 移项、合并同类项，得一x≤4， 系数化为1，得x≥-4. (4)去分母，得2x+1<3x一3， 移项、合并同类项，得一x<一4， 系数化为1，得x>4. 6解3< 去分母，得3(3x-1)≤2(2x+1), 下册参考答案 去括号，得9x-3≤4x+2, 移项、合并同类项，得5x≤5 两边都除以5，得x≤1， ∴.原不等式的解集为x≤1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， -3-2-10123一 2 7.解：(1)k> (2)4x+y=4x26-1+-4k+31 4 2 21 (3)存在.由4x≤1，得4×26-1≤1，解得≤1 4 2k-1 m=2x-3y=2X 4 -3×二4块+3=7k-5. 2 k≤1，.m=7k-5≤2. 又：m为正整数，.m的值为1或2. =26-1 4 【解析】(1)解方程组，得 -4k十3 y=- 2 ·2x≥y,2×4>二4十3 2 ,解得> 3 8.C9.A 10.21【解析】若x为偶数，则根据题意，得4x十13> .87 100,解得x>4,此时最小正整数x为22；若x为奇 数，则根据题意，得5.x>100,解得x>20,此时最小 正整数x为21.综上所述，输入的最小正整数x 是21. 11.解：(1)去分母，得x+5一2<3x十2， 移项、合并同类项，得一2x<一1 1 系数化为1，得x>2 解集表示在数轴上如图所示. 寸出之 (2)去分母，得4(2x-1)≤3(3x+2)-12, 去括号，得8x-4≤9x十6-12， 移项、合并同类项，得一x≤一2 系数化为1，得x≥2.解集表示在数轴上如图所示. 12.解：(1)，a@b=a十2b,3@x<7, .3十2x<7,解得x<2. x为正整数，x=1. (2)解不等式3(x+1)<8-x,得x<号 解不等式x@a≤5，即x+2a≤5，得x≤5-2a ,关于x的不等式3(x十1)≤8-x的解集和x@a 数学八年级BS版 ≤5的解集相同∴-5-2a解得a-号 13.解：(1)②③ (2)解不等式x+2m≥0，得x≥-2m. 解不等式2x-3<x十m,得x<m+3 ·关于x的不等式x+2m≥0不是2x一3<x+m 的“云不等式”， .-2m≥m+3,解得m≤-1. 故m的取值范围是m≤一1. (3)解不等式x+3≥a,得x≥a-3. 解不等式ax-1<a-x,得(a+1)x<a+1. ①当a+1>0,即a>-1时，x<1. 依题意，得a-3<1,即a<4,∴.-1<a<4. ②当a十1<0，即a<一1时，x>1(符合题意)，∴.a <-1. 综上，a的取值范围为a<一1或一1<a<4. 第2课时一元一次不等式的应用 1.A2.14 3.八【解析】设该衬衫打x折. 根据题意，得550×0.1x一400≥400×10%， 解得x≥8. 故该衬衫至多打八折. 4.解：(1)50元、30元 (2)设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗(1000 一a)棵. 根据题意，得50a十30(1000-a)≤38000， 解得a≤400. 故最多可以购买脐橙树苗400棵. 【解析】(1)设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为 x元、y元· 根据题意，得：十2=10，解得=50， 2.x+3y=190, y=30 故脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元、 30元. 5.解：(1)设A型汽车的进价为x万元/辆，B型汽车的 进价为y万元/辆.依题意，得 3x十4y=115·解 4x+2y=120, 得/25， y=10. 故A型汽车的进价为25万元/辆，B型汽车的进价为 10万元/辆， (2)设采购A型汽车m辆，则采购B型汽车 200一25m=(20-号m）辆.依题意，得20-2m> 5 5 10 40 5 m,解得m<7又”m,20-2m均为正整数心m= 5 2或m=4.当m=2时，20-2m=15;当m=4时，20 、5 2m=10.故该公司有两种采购方案，方案1：采购 A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：采购A型汽车 4辆，B型汽车10辆. 6.C7.A8.33 9.66【解析】设还可以购买B种海报的张数为x. 依题意，得10×60+12x<140,解得x<200 x为整数，x的最大值为66， .最多还可以购买B种海报的张数为66. 10.解：设从普通人工检票口进入的旅客有x人. 12 由题意，得4×3x十x≥1000，解得x≥7613： x为正整数，∴.x的最小值为77， ∴.从普通人工检票口进入的旅客至少有77人 11.解：(1)设每个排球x元，每个篮球y元 3x+2y=310, 依题意，得 x+5y=500, 解得/=50， y=80. 故每个排球50元，每个篮球80元. (2)设购买a个篮球，则购买(60一a)个排球. 依题意，得80a+50×(60-a)≤4000， 解得u≤333 ,a为正整数，∴.a的最大值为33. 故最多可以购买33个篮球. (3)设购买排球m个，购买篮球n个. 依题意，得50m+80n=1000, m-20-9 ,m,n均为正整数， .∴.n=5或n=10. 故共有两种购买方案，方案一：购买排球12个、篮球 5个；方案二：购买排球4个、篮球10个. 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系 1.A2.A3.x≥1 4.一4<x<-1【解析】如图，设直=-3xy↑ 线y=ax十4交x轴于点B. :函数y=一3x的图象过点 A(m,3), /p .∴.-3m=3, 解得m=-1 ..A(-1,3). 将A(-1,3)代入y=ax十4，得-a+4=3, 解得a=1, ∴.y=x十4. 令y=0,则x=-4, .B(-4,0), .0<ax十4<一3x的解集为一4<x<-1. 5.解：(1)把P(n,-2)代入y1=-2x+3,得-2n+3= -2,解得m=号∴P(号-2） 把P(受，-2)代人⅓-立+m,得-+ 4十m= -2,解得m=- (2)x72 (3)令x=0,则=3=-号A(0,30.B(0 AB8-(-）-5 1155_75 Saa=2XX2-16 6.一1<x<2【解析】观察图可知，不等式-2<kx十b <1的解集就是线段AB(不包含端点)所对应的自变 量x的取值范围，即-1<x<2. 7.A 8.D【解析】：正比例函数y1=ax的图象经过第二、四 象限a<0,放结论①正确：”一次两数，=宁十 b的图象与y轴正半轴相交，∴.b>0,故结论②错误； 1 由图可知，不等式ax>2x+b的解集是x<-2,故 结论③正确；当x>0时，y1<0,y2>0,y1y2<0,故 结论④错误.综上所述，其中正确的是①③. 9.解：(1)x>-2 (2)①：点A(0,4),C(-2,0)在一次函数y1=kx十b b=4, k=2, 的图象上，. 解得 ∴.y1=2x+4. -2k+b=0, b=4. :不等式kx十b>-4x十a的解集是x>1, .点B的横坐标是1. 当x=1时，y1=2×1+4=6, .点B的坐标是(1,6). ②：点B(1,6)在函数y2=-4x十a的图象上， ∴.6=-4×1十a,解得a=10. 10.解：(1)12 (2)函数图象如图所示， -5-4-3-2-10123x (3)②③④ (4)x<-3或x>1 下册参考答案2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 要点提示 一元一次不等式的概念：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的决数都是1，像这样的 不等式，叫作一元一决不等式 解一元一次不等式的一般步骤： (1)去分母：两边同乘分母的最小公倍数.(2)去括号：依照去括号法则去括号，注意括号里各项的符号是否需要 改变.(3)移项：把含未知数的项移到不等号的一边，常数项移到不等号的另一边.(4)合并同类项：合并含未知 数的项和常数项.(5)系数化为1：两边同除以未知数的系数. ……念O1固基础之 42x+1x-1. 3 知识点1一元一次不等式的概念 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( A.2x-1>0 B.-1<2 C.x-2y≤-1 D.y2+3>5 6解不等式8“2<2并把解架表示在 3 2.若xm-1一1≥2是关于x的一元一次不等 数轴上. 式，则m的值为 知识点2一元一次不等式的解法 32古0123 3.若x=2是不等式3x一a-3<0的一个解， 则a可取的最小正整数为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 3 4.(教材变式)不等式一5x十1>一2的正整 2x-y=3k-2, 7.关于x,y的方程组 2x+y=-k十1 k为 数解为 5.解下列不等式： 常数). (1)2(x+2)≥3x. (1)若2x>y,则k的取值范围为 (2)求4x+y的值 (3)若4x≤1，是否存在正整数m,满足m= (2)3x+4<5(x+2). 2x一3y?若存在，求出m的值；若不存在， 请说明理由. (3)3(x-2)≤4x-2. 数学八年级BS版 02提能力之 12.定义关于@的一种运算：a@b=a+2b,如 2@3=2+6=8. 8.已知关于x的方程2x十4=m一x的解为负 (1)若3@x<7,且x为正整数，求x的值. 数，则m的取值范围是 ( (2)若关于x的不等式3(x+1)≤8一x的 Am<号 3 B.m74 解集和x@a≤5的解集相同，求a的值. C.m<4 D.m>4 ?若代数式Cx一3)一5x。一4的值始终不大月 3 一1，则x的取值范围是 A.x≥-2 B.x≥-10 C.x≥-7 D.x≤-2 10.如图，要使输出的值y大于100，则输入的 最小正整数x是 O3拓思维] 输入正整数x 13.抽象能力我们定义：如果两个一元一次不 奇数 偶数 等式有公共解，那么称这两个不等式互为 ×4 “云不等式”，其中一个不等式是另一个不 +13 输出y 等式的“云不等式” 第10题图 (1)在不等式①2x-1<0;②x≤2；③x- 11.解下列不等式，并把解集表示在数轴上 (3x-1)<-5中，不等式x≥2的“云不等 w-1 式”是 (填序号). (2)若关于x的不等式x十2m≥0不是2x 一3<x+m的“云不等式”，求m的取值 范围 (3)若a≠-1，关于x的不等式x十3≥a 与不等式a.x-l<a-x互为“云不等式”， 求a的取值范围 （2)2-1≤3x+2-1. 34 下册第二章 33 第2课时一元一次不等式的应用 要点提示 列一元一次不等式解应用题的一般步骤： (1)审：分清已知量与未知量及其关系，找到题中的不等关系，要抓住题中的“大于”“不大于”“至少”“不超过”等 关键词并理解其含义.(2)设：设出适当的未知数，分直接设和间接设两种，设时要带有单位.(3)列：根据题中的 不等关系，列出不等式.(4)解：解出所列的不等式的解集，并检验是否符合题意.(5)答：写出答案. 之O1固基础之 知识点1一元一次不等式的简单应用 1.(2025宿州灵璧月考)小茗要从天府七中到 兴隆湖，两地相距5.7km,已知他步行的平 知识点《2利用一元一次不等式设计方案 均速度为90m/min,跑步的平均速度为 5.某环卫公司计划采购一批A,B两种型号的 210m/min.若他要在不超过52min的时间 新能源汽车.据了解，3辆A型汽车和4辆 内到达，则他至少需要跑步多少分钟？设他 B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽 跑步的时间为xmin,则列不等式为( 车和2辆B型汽车的进价共计120万元. A.210x+90(52-x)≥5700 (1)求A,B两种型号的汽车每辆的进价. B.210x+90(52-x)≤5700 (2)该公司计划恰好用200万元采购以上两 C.210.x+90(52-x)≥5.7 种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购 D.210x+90(52-x)≤5.7 买)，并使得采购的B型汽车的数量多于A 2.(教材变式)某次知识竞赛有20道题，评分 型汽车的数量.请写出该公司所有可能的采 标准是每道题答对记5分，不答记0分，答 购方案 错扣2分.小明有3道题没答，但成绩超过 60分，则小明至少答对了 道题 3.某种衬衫的进价为400元，出售时标价为 550元.由于换季降价，但要保持利润不低于 10%,那么至多打 折。 4.某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增 收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金 贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和 3棵黄金贡柚树苗共需190元. (1)脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为 (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗 共1000棵，总费用不超过38000元.最多可 以购买脐橙树苗多少棵？ 数学八年级BS版 02提能力 少有多少人（假设这个时间段各检票口检 票没有间断)？ 6.一个纸箱的质量为1kg,放入一些苹果后， 纸箱和苹果的总质量不能超过9kg.若每个 苹果的质量为0.3kg,则这个纸箱内能装苹 果 A.最多27个 B.最少27个 C.最多26个 D.最少26个 7.九年级几名同学拍了一张合影.已知冲一张 ……之O3拓思维) 底片需要20元，洗一张相片需要5元.在每 11.抽象能力某学校为加强学生的体育锻炼， 名同学得到一张相片、共用一张底片的前提 准备购买若干个单价相同的排球和单价相 下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参 同的篮球.已知购买3个排球和2个篮球 加合影的同学人数 ( 共需310元，购买2个排球和5个篮球共 A.至少为20 B.至多为20 需500元. C.至少为19 D.至多为19 (1)每个排球和每个篮球各是多少元？ 8.世纪公园的门票是每人5元，一次购买门票 (2)根据学校的实际情况，需一次性购买排 满40张，每张门票可少1元.若少于40人 球和篮球共60个，要求购买排球和篮球的 时，一个团队至少要有 人进公 总费用不超过4000元，那么最多可以购买 园，购买40张门票反而合算 多少个篮球？ 9.为进一步做好预防学生溺 (3)郑老师准备用1000元购买这两种型号 水工作，维护学生生命安 的排球和篮球（两种都买），在钱刚好用完 全，某街道办事处准备用 的条件下，他有哪几种购买方案？ 1400元购买如图所示的 第9题图 A,B两种海报进行预防学生溺水宣传.已 知每张A种海报10元，每张B种海报12 元，该街道办事处买了60张A种海报，那么 最多还可以购买B种海报的张数为 10.应用意识人脸识别验票系统(“刷脸”进 站)开启了铁路检票服务的新时代.据统 计，“刷脸”进站口平均每通过3个人，普通 人工检票口才通过1个人.若某高铁站开 放了4个“刷脸”进站口和1个普通人工检 票口，某一时间段检票通过的人数不少于 1000,则从普通人工检票口进入的旅客至 下册第二章 35