第1章 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

本章小结 大单元思维导图 三角形内 角和定理 三角形三个内角的和等于180 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形内角和 定理的推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 内角和：n边形的内角和等于(n-2)180° 多边形的内角 和与外角和 外角和：多边形的外角和等于360° 等边对等角 等腰三角形 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 等角对等边 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有 反证法定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立 三个角都相等的三角形是等边三角形 三角形 等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形 勾股定理及其逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题 逆命题：互逆命题中的一个命题称为另一个命题的逆命题 三角形的证 逆命题 与逆定理 原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题 明及其应用 任何命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理 直角三角形全等的判定H皿 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端，点的距离相等 线段的垂 到一条线段两个端点距离相等的，点，在 直平分线 这条线段的垂直平分线上 特殊线 角平分线上的，点到这个角的两边的距离相等 角平分线 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上 大单元考点训练 考点①多边形内角和与外角和的计算 A.216° B.180° C.144° D.1209 1.（2025眉山)如图，直线1与 A 2.如图，正n边形A1A2A3… 正五边形ABCDE的边AB,BM A.（每条边相等，每个内角 DE分别交于点M,N,则∠1 都相等)竖立于地面，一边 D +∠2的度数为 () 第1题图 与地面重合，一束太阳光平 A A 第2题图 下册第 章 行照射在正n边形上.若∠1一∠2=36°，则 交于点D,连接BD,交AC于点G,则 n= ∠ABG的度数为 ( 考点2等腰三角形的性质与判定 A.15° B.20° C.25° D.30° 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，以 8.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相 点B为圆心，BC的长为半径的圆弧交AC于 交于点O.若∠1=39°，则∠AOC= 点D,连接BD.∠ABD的度数为() A.30° B.45 C.60 D.90 第8题图 第3题图 第4题图 9.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C= =∠CAE. 30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于 (1)如图①，∠B与∠D相等吗？请说明 点E,连接BE,交AD于点F,则图中的等 理由 腰三角形有 ( (2)如图②，延长BC交AD于点F,交DE A.2个B.3个 C.4个 D.5个 于点G.若∠B=36°，∠CAF=44°，点C在 考点3直角三角形的性质与判定 线段AB的垂直平分线上，则∠DGF的度 5.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形 数为 的是 A.AB=15,BC=25,AC=20 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 图② C.AB:BC AC=3:4:5 D.(BC+AC)(BC-AC)=AB2 6.如图，在△ABC中，AB=5,AC =3,BC=4,D是BC上一点， 连接AD,把△ABC沿AD折B 叠，使AB与AC重合，点B落 在点E处，则重叠部分（阴影部 第6题图 考点⑤角平分线的性质与判定 分)的面积是 10.如图，三条角平分线将 考点4线段垂直平分线的性质与判定 △ABC分为三个三角形， 7.如图，△ABC是等边三角形. 且S△ABO:S△BcO:SACAO C 以点B为圆心，适当长为半 =6:7:8,则AB:BC: 第10题图 径画弧，交AC于点E,F,再 CA等于 分别以E,F为圆心，大于 第7题图 A.1:1:1 B.1:2:3 )EF的长为半径画弧，两弧 C.6:7:8 D.3:7:4 数学八年级BS版.∴.CM=BN 5.解：CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,Sae=2AC· BE=号BC·AD,BE=AD=4.在R△ABE中， ∠AEB=90°，AB=5,BE=4,.AE=√52-4 =3. 6.∠A=60°（答案不唯一） 7.解：【问题】AB=BD,∠B=30°， ∠BAD=∠BDA=180°-30 2 =75°. EF垂直平分AC,.AF=CF,∴.∠CAF=∠C ∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°， .∴.∠AFB=180°-90°-30°=60° ∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=∠CAF =30°， ∴.∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45° 【探究】∠DAC的度数不会改变.理由如下： :AB=BD,·∠BAD=∠BDA=180∠B=9O 2 ∠B.EF垂直平分AC,∴AF=CF,∠CAF 1 =∠C.:∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF= 90°，∠AFB=90°-∠B.:∠AFB=∠C+∠CAF =2∠C∠C=∠CAF=46°-3∠B,∠CAD ∠ADB-∠C=90°-3∠B-(45°-2∠B)=45 【拓展】？&【解析J【拓展】：AB=BD,∴∠BAD ∠BDA-180∠B-0-7∠B. 2 .EF垂直平分AC,∴.AF=CF, .∠CAF=∠C. ∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=a, ∴.∠AFB=180°-a-∠B. ∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴.∠C=∠CAF= 90-0∠B. ∠CAD=∠ADB-∠C=90-∠B-(90-9 1 1 -2∠B)=2a. 8.解：(1)点D为BC的中点时，DE=DF,证明： 点D为BC的中点，.BD=CD. .AB=AC,.∠B=∠C .DE⊥AB,DF⊥AC,.∠DEB=∠DFC=90° I∠DEB=∠DFC, 在△BED和△CFD中，∠B=∠C, BD=CD. 10 数学八年级BS版 ∴.△BED≌△CFD(AAS),.DE=DF. (2)CG=DE+DF.证明： 如图①，连接AD.:S△ABc=S△ADB十 SAe号AB·CG=2AB·DE+ 1 AC·DF.:AB=AC,∴.CG=DEE B D +DF. 图① (3)7cm (4)等于等于 【解析】(3)如图②，连接PA,PB,PC, 过点C作AB边上的高CG.:S△Br 1 E 6P: +SANCP +SANCr SAAIC AB. .hh PD+2BC·PF+2AC·PE= 1 图② 2AB·CG.“△ABC是等边三角形，AB=BC= AC.2AB(PD+PE+PF)=专AB·CG. 1 .PD+PE+PF=CG=7 cm. 本章小结 1.C 2.5【解析】如图，过点A2作 13 A2B∥A1A.,则∠4=∠3， ∠CA,B=∠1.∠1-∠2 A2 =36°， ∠AA2B=36°.设正多边形 1 A。 A 的一个内角为x,则∠4=180°-x, x=36°+∠3，∠3=x-36°， 180°-x=x-36°，解得x=108°，.∠4=72°， ∴.这个正多边形的边数为360°÷72°=5，即n=5. 9 3.B4.C5.B6.4 7.D【解析】由作图方法可知，直线BD是线段EF的 垂直平分线，∴.BG⊥AC.又，△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，BG平分∠ABC,∴.∠ABG= 1 ∠ABC=30. 8.78°【解析】如图，过点O作射线 BP,设l1与AB交于点D,l2与 BC交于点E. ,线段AB,BC的垂直平分线 B 11,12相交于点O, E ∴.OA=OB,OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°， ,∴.∠DBO+∠BOD=90°，∠EBO+∠BOE=90°， .∴.∠DOE+∠ABC=180°. ∠D0E+∠1=180°，∴.∠ABC=∠1=39°. OA=OB=OC,∴.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C. :∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC, ∴.∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C =2×39°=78°. 9.解：(1)∠B=∠D.理由如下： .∠BAD=∠CAE,,∴.∠BAD-∠CAD=∠CAE -∠CAD, ∴.∠BAC=∠DAE. 又.AB=AD,AC=AE, .△ACB≌△AED(SAS),∴∠B=∠D. (2)80°【解析】(2)：点C在线段AB的垂直平分 线上， .AC=BC,.∠BAC=∠B=36°， .∠BAF=∠BAC+∠CAF=36°+44°=80°， ∠BFA=180°-∠BAF-∠B=180°-80°-36 =64°， ∠DFG=∠BFA=64°. 由(1)知，∠D=∠B=36°， .∠DGF=180°-∠DFG-∠D=180°-64°-36 =80° 10.C 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 1.C2.D 3.1)x>0(2)2x<4x(3)x+2≥y-4 (4)3x-7≤y2 4.A5.A 6.解：(1)根据题意，得500x十80×(10一x)≥3600. (2)根据题意，得10x+4×(10一x)≤65. 第2课时不等式的解集 1.A2.(1)1,2(2)-3,-2,-1 3.x≤1（答案不唯一） 4.解：这句话不正确.理由：一个含有未知数的不等式 的所有解，组成这个不等式的解集.不等式x+2<5 的解集是x<3,而x<0只包含不等式x十2<5的部 分解.例如，x=2是不等式x十2<5的解，但并不在x <0的范围内，.这句话不正确. 5.D 6.A【解析】由x△≥2，得3x-k≥2，则x≥十2 3 由数轴，得不等式的解集为x≥一1， :十2=一1，解得=一5 3 7.(1)3(2)3≤a<4 8.6075【解析】根据题意，得m=3,n=2025,∴.mn的 值为6075， 9.解：(1)，a⊕b=a·(a-b)-1, .(-1)①(-2)=-1×(-1+2)-1=-1×1-1= -2. (2),a①b=a·(a-b)-1, ∴.(-1)⊕x=-1X(-1-x)-1=x. (-1)①x的值大于-2， ∴x>-2. 如图. 321012 第3课时不等式的基本性质 1.C2.A 3.(1)<(2)>(3)<(4)≥ 4.A5.错误6.D 7.B【解析】由左图可知，■+■>●十■，得■>●： 由右图可知，●十●十■=●十▲，得●十■=▲，即 ▲>■.故这三种物体按质量从重到轻的顺序排列应 为▲>■>●. 8.<【解析】由图可知，b>c, ∴.-b<-c,.a-b<a-c. 9.解：，a,b,c为直角三角形的三边，c为斜边， ∴.a2+b2=c2,a+b>c. c2+2(c-a)-(a2+b2+2b)=c2+2c-2a-a2- b2-2b=(c2-a2-b2)+2(c-a-b)=2(c-a-b) <0, ∴.c2+2(c-a)<a2+b2+2b. 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.A2.2 3.C【解析】将x=2代入不等式，得2×3一a一3<0， 解得a>3,,∴.a可取的最小正整数为4. 4.1,2,3,4【解析】去分母，得-3x十5>-10，移项、合 并同类项，得-3x>-15,系数化为1，得x<5,.该 不等式的正整数解为1,2,3,4. 5.解：(1)去括号，得2x十4≥3x, 移项、合并同类项，得一x≥一4， 系数化为1，得x≤4. (2)去括号，得3.x+4<5.x+10, 移项、合并同类项，得-2x<6, 系数化为1，得x>一3. (3)去括号，得3x-6≤4x-2, 移项、合并同类项，得一x≤4， 系数化为1，得x≥-4. (4)去分母，得2x+1<3x一3， 移项、合并同类项，得一x<一4， 系数化为1，得x>4. 6解3< 去分母，得3(3x-1)≤2(2x+1), 下册参考答案