第1章 5 角平分线&问题解决策略：反思-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∠PDE=90°，∴.PC2+CE =PE2=PD2+DE2,.22+ (4-x)2=12十x2,解得x= 即DE-号 19 11.解：(1)如图，连接AO. :AB,AC边的垂直平分线交 于点O, ..AO=BO=CO. .∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC. .∠BAC=∠OAB+∠OAC=a, ∴.∠OBA+∠OCA=a, ∴.∠OBC+∠OCB=180°-∠OBA-∠BAC- ∠OCA=180°-2a, ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-(180 -2a)=2a. (2)∠ABO+∠ACB为定值. 由(1)知，BO=CO,∴.∠OBC=∠OCB, .∠0BC=2(180°-2a)=90°-a :∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180°， ∴.∠AB0O+∠ACB=180°-∠BAC-∠OBC=180° -a-(90°-a)=90°. 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.3 3.解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F. ,BD为△ABC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥BC, .DE=DF. .AB=12,BC=8, ∴Sam:SAm=(2BC·DF）:(2AB·DE）= BC:AB=8:12=2:3, 即△CBD与△ABD的面积之比为2：3. (2),△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积 之比为2：3，.△ABD的面积为30. 1 又AB=12,心2X12·DE=30,DE=5. 4.D 5.证明：AD是△ABC的中线，.BD=CD. 又DF⊥AC,DE⊥AB, .∠BED=∠CFD=90° 在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, (BD=CD, .∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), .DE=DF,.AD平分∠BAC 6.4【解析】可供选择的地址有4处，该4处均为公路之 间所夹的角的平分线的交点，如图. 8 数学八年级BS版 7.C8.B9.3 2 10.解：(1)作图如图 (2)证明：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， (PO=PO. OE=OF. .Rt△OEP≌Rt△OFP(HL), ∴∠EOP=∠FOP, ∴.OP平分∠AOB. 11.解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F. ,AD是∠BAC的平分线，∴.DE =DF. 1 S△ABD= AB·DE AB .S ACD 1 AC·DF AC (2)证明：.BD=CD,∴.△ABD与△ACD等底同 高，易得S△Am=S△Acm.由(1)，得AB=AC, G3)△ABD与△ACD同高，a"=轮 又由.二-被-肥- 又：BC=BD+DC=6,.BD=6X写+4=3 510 第2课时三角形三条角平分线的性质 1.B2.B 3.A【解析】·点O为∠CAB 与∠ACB的平分线的交点， .点O在∠ABC的平分线 上，∴.点O到△ABC的三边 C 的距离相等，如图，过点O作 OP⊥AB于点P,连接OB,则S△AB=SAonC十S△aAB +Sa=20P·AC+20P·AB+20P·BC= OP.(AB+BC+AC).AC=5 em.BC=4 em, 1 1 ZB=90AB=3cm.SAAE=X3X4=2OP. (3+4+5),.OP=1cm. 4.C5.3:2:46.45 7.证明：(1)：AD=AE,AG⊥DE于点F, ∴.AF平分∠DAE,即AG平分∠BAC. (2)过点P作PH⊥AB于点H,PM ⊥AC于点M,如图. P/ ,DP平分∠BDE,EP平分∠CED. .PF=PH,PF=PM, ∴.PH=PM, ∴点P在∠BAC的平分线AG上 8.A【解析】如图，过点P分别作 BC,AC,AB的垂线，垂足分别为 D,E,F.AP,BP分别平分 D ∠BAC,∠ABC,.PE=PF,PD= PF,∴PD=PE,∴.CP是∠ACB 的平分线，∴∠PCD=45°，∴.△PCD是等腰直角三 角形，.PC=√CD+PD=2PD.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,∴AB=10.设PD 1 1 =PE=PF=a,…SAA=2AC·BC=2(AC+CB +BA)a,即号×8X6=号×(8+6+10a,解得。 =2,∴PC=2√2. 9.6【解析】如图，过点O作OE⊥AB 于点E.:BO平分∠ABC,OE⊥ AB,OH⊥BC,.OE=OH=3.又Eh CO平分∠ACB,∴.AO平分∠BAC, B ÷∠0AE=3∠BAC=30 .在Rt△AOE中，OA=2OE=6. 10.解：(1)证明：，AF是∠BAC的平分线，∠ACB= 90°，FG⊥AB, 1 ∴FC=FG,∠CAF=∠DAE=2∠BAC, ∠CAF+∠CFA=90°，∠DAE+∠AED=90°， .∠AED=∠AFC. ,∠AED=∠CEF, ∴.∠CEF=∠AFC, ∴.CE=CF, ..CE=FG. (2)CE=4, ∴.FG=CF=CE=4: .AC=12,AB=15, 1 SAAc=SAACF+Sar-=ZAC·CF+ZAB·FG =2×12×4+2×15×4=54, ∴.△ABC的面积为54. 11.解：(1)FE=FD.理由如下： 如图①，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点 N,则∠FME=∠FND=90°. :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∠ACB =90°，∠B=60°， :∠BAC=90°-∠B=30,∠ACE=号∠ACB =45°， ·∠BAD=2∠BAC=15°，∠FEM=∠BAC+ ∠ACE=30°+45°=75°， .∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15°=75°， ∴∠FEM=∠FDN. :∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F, FM⊥AB,FN⊥BC,∴.FM=FN, ∴.△FEM≌△FDN(AAS),∴.FE=FD 图① 图② (2)成立.理由如下： 如图②，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点 N,则∠FME=∠FND=90°，且由(1)可知，FM =FN. :∠FDN=∠B+∠BAD=60°+2∠BAC, ∠FEM=∠BAC+∠ACE=∠BAC+2(180° ∠B-∠BAC)=∠BAC+(180°-60-∠BAC) 1 =60+2∠BAC, ∴.∠FEM=∠FDN, △FEM≌△FDN(AAS),.FE=FD. ☆问题解决策略：反思 1.D2.C 3.①③【解析】.DE∥BC,∴.∠DFB=∠FBC, ∠EFC=∠FCB.·BF平分∠ABC,CF平分 ∠ACB,∴.∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB, ∴∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC,∴.△BDF, △CEF都是等腰三角形，∴结论①正确.，△ABC不 是等腰三角形，∴∠DFB≠∠EFC,∴.结论②错误. ∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC,DF=DB, FE=EC,∴.DE=DF+FE=DB+EC,∴.△ADE的 周长为AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB 十AC,∴.结论③正确.：△ABC不是等腰三角形， .∠ABC≠∠ACB,∴.∠FBC≠∠FCB,∴BF≠ CF,∴结论④错误.故正确的是①③. 4.AB=AC CM=BN 证明：：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ,CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线， .MB-TAB.CN-7AC,.MB-CN. ,BC=CB,.△MBC≌△NCB(SAS), 下册参考答案 9 .∴.CM=BN 5.解：CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,Sae=2AC· BE=号BC·AD,BE=AD=4.在R△ABE中， ∠AEB=90°，AB=5,BE=4,.AE=√52-4 =3. 6.∠A=60°（答案不唯一） 7.解：【问题】AB=BD,∠B=30°， ∠BAD=∠BDA=180°-30 2 =75°. EF垂直平分AC,.AF=CF,∴.∠CAF=∠C ∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°， .∴.∠AFB=180°-90°-30°=60° ∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴∠C=∠CAF =30°， ∴.∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45° 【探究】∠DAC的度数不会改变.理由如下： :AB=BD,·∠BAD=∠BDA=180∠B=9O 2 ∠B.EF垂直平分AC,∴AF=CF,∠CAF 1 =∠C.:∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF= 90°，∠AFB=90°-∠B.:∠AFB=∠C+∠CAF =2∠C∠C=∠CAF=46°-3∠B,∠CAD ∠ADB-∠C=90°-3∠B-(45°-2∠B)=45 【拓展】？&【解析J【拓展】：AB=BD,∴∠BAD ∠BDA-180∠B-0-7∠B. 2 .EF垂直平分AC,∴.AF=CF, .∠CAF=∠C. ∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=a, ∴.∠AFB=180°-a-∠B. ∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,∴.∠C=∠CAF= 90-0∠B. ∠CAD=∠ADB-∠C=90-∠B-(90-9 1 1 -2∠B)=2a. 8.解：(1)点D为BC的中点时，DE=DF,证明： 点D为BC的中点，.BD=CD. .AB=AC,.∠B=∠C .DE⊥AB,DF⊥AC,.∠DEB=∠DFC=90° I∠DEB=∠DFC, 在△BED和△CFD中，∠B=∠C, BD=CD. 10 数学八年级BS版 ∴.△BED≌△CFD(AAS),.DE=DF. (2)CG=DE+DF.证明： 如图①，连接AD.:S△ABc=S△ADB十 SAe号AB·CG=2AB·DE+ 1 AC·DF.:AB=AC,∴.CG=DEE B D +DF. 图① (3)7cm (4)等于等于 【解析】(3)如图②，连接PA,PB,PC, 过点C作AB边上的高CG.:S△Br 1 E 6P: +SANCP +SANCr SAAIC AB. .hh PD+2BC·PF+2AC·PE= 1 图② 2AB·CG.“△ABC是等边三角形，AB=BC= AC.2AB(PD+PE+PF)=专AB·CG. 1 .PD+PE+PF=CG=7 cm. 本章小结 1.C 2.5【解析】如图，过点A2作 13 A2B∥A1A.,则∠4=∠3， ∠CA,B=∠1.∠1-∠2 A2 =36°， ∠AA2B=36°.设正多边形 1 A。 A 的一个内角为x,则∠4=180°-x, x=36°+∠3，∠3=x-36°， 180°-x=x-36°，解得x=108°，.∠4=72°， ∴.这个正多边形的边数为360°÷72°=5，即n=5. 9 3.B4.C5.B6.4 7.D【解析】由作图方法可知，直线BD是线段EF的 垂直平分线，∴.BG⊥AC.又，△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，BG平分∠ABC,∴.∠ABG= 1 ∠ABC=30. 8.78°【解析】如图，过点O作射线 BP,设l1与AB交于点D,l2与 BC交于点E. ,线段AB,BC的垂直平分线 B 11,12相交于点O, E ∴.OA=OB,OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°， ,∴.∠DBO+∠BOD=90°，∠EBO+∠BOE=90°， .∴.∠DOE+∠ABC=180°. ∠D0E+∠1=180°，∴.∠ABC=∠1=39°. OA=OB=OC,∴.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C. :∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 要点提示 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的雕离相等， 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边雕离相等的，点在这个角的平分线上 O1固基础 知识点2角平分线的判定定理 4.已知点P在∠AOB的内部且点P到 知识点1角平分线的性质定理 ∠AOB两边的距离相等.若∠POB=45°， 1.(2025吉安青原区期中)如图，在Rt△ABC 则∠AOB等于 ) 中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED A.30° B.45° ⊥AB于点D.若ED=3,AE=5,则AC的 C.60° D.90° 长为 5.如下图，AD是△ABC的中线，DF⊥AC, A.4 B.6 C.8 D.10 DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE=CF.求 证：AD平分∠BAC. 4 第1题图 第2题图 2.如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD ⊥OA于点D,PD=3cm,OP=8cm.E是 射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm. 3.如下图，BD为△ABC的角平分线，DE⊥ AB,垂足为E,AB=12,BC=8. (1)求△CBD与△ABD的面积 之比 (2)若△ABC的面积为50，求 DE的长 ，易错点因考虑问题不全面而出错 6.(教材变式)如图，直线 11,l2,13表示三条两 两相互交叉的公路.要 第6题图 拟建一个货物中转站，使它到三条公路 的距离都相等，则可供选择的地址有 处 下册第 章 02提能力◆ (2)利用三角形全等证明她的猜想. 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BD 平分∠ABC,DC=专AD.则点D到AB的 距离为 ( A.4 B.3 C.2 D.1 第7题图 第8题图 8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点， O3拓思维◆ DM平分∠ADC,且∠ADC=110°，则 11.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平 ∠MAB的度数是 ) 分线 A.30° B.35° C.45° D.60° S△ABD_AB 9.如图，在四边形ABCD中，∠B (1)如图①，求证：SAcD-AC =90°，过点C作CE⊥AD于 (2)如图②，若BD=CD,求证：AB=AC 点E,连接AC.若AC恰好平 B (3)如图③，若AB=5,AC=4,BC=6,求 分∠BAD,∠BAD=60°，CE= BD的长。 第9题图 √3，则△ABC的面积为 D C B D CB D 图① 图② 10.(2025重庆，有改动)学习了角平分线和尺 图③ 规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现 了角平分线的另一种作法，并与她的同伴 进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她 的想法与思路，完成以下作图并证明. (1)构造角平分线。 小红在∠AOB的边OA上任取一点E,并 过点E作了OA的垂线（如下图）.请你利 用尺规作图，在OB边上截取OF=OE,过 点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于 点P,作射线OP,OP即为∠AOB的平分 线（不写作法，保留作图痕迹）. 数学八年级BS版 第2课时 三角形三条角平分线的性质 要点提示 三角形三条角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 O1固基础)之 。 知识点①三角形三条角平分线的性质 1.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 第4题图 第5题图 线相交于点O,连接OA,则∠1与∠2的大 5.如图，△ABC的三边AB,AC,BC的长分别 小关系是 ( 为6,4,8，其三条角平分线将△ABC分成3 A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 个三角形，则SAOAB:S△aAc：S△OBc= C.∠1<∠2 D.不能确定 6.如图，在△ABC中，△ABC 的三条角平分线相交于点 O,OM⊥AB于点M.若 第6题图 第1题图 第3题图 OM=4,S△ABC=90,则 △ABC的周长是 2.已知点P是三角形的两条角平分线的交点， 关于这个点，下列说法正确的是 7.如下图，点D,E分别在∠BAC的两边上且 ( A.到三角形的三个顶点的距离相等 AD=AE,AG是∠BAC内部的一条射线且 B.到三角形三边的距离相等 AG⊥DE于点F. (1)求证：AG平分∠BAC C.不一定在第三个角的平分线上 (2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相 D.与顶点的连线垂直于该顶点的对边 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是 交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线 ∠CAB,∠ACB的平分线的交点，且BC= AG上. 4cm,AC=5cm,则点O到边AB的距离为 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 知识点2三角形的角平分线的应用 4.如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草 坪上建一凉亭供大家休息.要使凉亭到草坪 三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三边的垂直平分线的交点处 C.△ABC三条角平分线的交点处 D.△ABC三条高所在直线的交点处 下册第一章 23 02提能力 …… O3拓思维 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 11.（教材变式)如图①，在Rt△ABC中， 6,AC=8,AP,BP分别平分∠BAC, ∠ACB=90°，∠B=60°，AD,CE分别是 ∠ABC,则PC的长为 ( ∠BAC,∠BCA的平分线，且AD,CE相 A.2√2B.42 C.4 D.2 交于点F B (1)请判断FE与FD之间的数量关系，并 说明理由。 (2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条 B HD 件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？请 第8题图 第9题图 说明理由。 9.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 线相交于点O,连接AO并延长交BC于点 D,过点O作OH⊥BC于点H.若∠BAC =60°，OH=3,则OA的长为 图② 10.(2025沈阳康平月考)如下图，CD为 Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线 分别交CD,BC于点E,F,FG⊥AB,垂足 为G. (1)求证：CE=FG. (2)若AC=12,AB=15,CE=4,求 △ABC的面积. 数学八年级BS版 ☆问题解决策略：反思 要点提示 问题解决策略：1.明确问题.2.理解问题.3.拟订计划.4.实施计划.5.回顾反思 O1固基础 4.小琳想要证明命题：等腰三角形两腰上的中 线相等.请你将该命题的已知与求证补充完 知识点 问题解决策略 整，并完成证明过程 1.(教材变式)如图，在△ABC中，AB=AC, 已知：如下图，在△ABC中， 给出的下列条件中，不能得到BD=CE的 CM,BN分别为AB边与AC边上的中线 是 ( 求证： A.BD,CE分别为AC,AB边上的高 B.BD,CE分别为AC,AB边上的中线 C∠ABD=S∠ABC,∠ACE=S∠ACB D.∠ABD=∠BCE 5.如下图，在△ABC中，CA=CB,AD⊥BC 第1题图 第2题图 于点D,BE⊥AC于点E.已知AB=5,AD 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD,CE分别 =4,求AE的长. 平分∠ABC和∠ACB.下列结论不一定正 确的是 ( ) A.BD=CE B.OB=OC C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE 3.(教材变式)如图，在△ABC (不是等腰三角形)中，BF, CF分别平分∠ABC和 ∠ACB,过点F作DE∥BC 第3题图 分别交AB,AC于点D,E.给出下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②∠DFB=∠EFC; ……之O2提能力之…… ③△ADE的周长等于AB与AC的长度和； ④BF=CF. 6.在△ABC中，AB=AC,请你再添加一个条 其中，正确的是 (填序号. 件使△ABC成为等边三角形，这个条件可 以是 (写出一个即可)， 下册第 章 7.【问题】 【问题解决】 如右图，在△ABC中，点D (1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF? 为BC边上一点，BD=BA, 请证明. EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于 (2)过点C作AB边上的高CG,试猜想 点F,连接AF,AD.当∠B=30°，∠BAF= DE,DF,CG的长度之间存在怎样的等量关 90时，求∠DAC的度数. 系？请证明你的结论 【探究】 【延伸设问】 如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉，其 (3)如图②，已知等边三角形ABC的高为 他条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？ 7cm,P为△ABC内一点，PD⊥AB于点 请说明理由。 D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则 【拓展】 PD+PE+PF= 若把【问题】中的条件“∠B=30”去掉，再将 【规律总结】 “∠BAF=90”改为“∠BAF=a”,其余条件 (4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距 离之和 一腰上的高 不变，则∠DAC= (用含a的代 等边三角形内一点到各边距离之和 数式表示). 任意一边上的高 图① 图② ……之O3拓思维 8.模型观念如图①，已知在△ABC中，AB= AC,D是BC边上任意一点，过点D分别向 AB,AC引垂线，垂足分别为E,F. 26 数学八年级BS版