第1章 4 线段的垂直平分线-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 要点提示 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平兮线上的点到这条线段两个铭点的距离相等， 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的，点，在这条线段的垂直平分孩上， O1固基础 。。。。 知识点2线段垂直平分线的判定定理 4.如图，AC=AD,BC=BD,则有 知识点1线段垂直平分线的性质定理 A.AB垂直平分CD 1.(教材变式)如图，在四边形ABCD中，AC B.CD垂直平分AB 垂直平分BD,垂足为E.下列结论不一定成 C.AB与CD互相垂直平分 立的是 ( D.CD平分∠ACB 第4题图 A.AB=AD B.CA平分∠BCD 5.已知线段AB,在平面上找到三个点D,E, C.AB=BD D.△BEC≌△DEC F,使DA=DB,EA=EB,FA=FB,这样 的点有 个 6.如下图，在四边形ABCD中，AB=AD,边 BC的垂直平分线MN经过点A.求证：点 A在CD的垂直平分线上. 第1题图 第2题图 2.(2025达州)如图，在△ABC中，AB=AC=8, BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E, 交AC于点D,则△BDC的周长为( A.21 B.14C.13 D.9 3.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线 DE是线段AB的垂直平分线，连接BE. (1)若∠A=35°，则∠CBE的度数为 (2)若∠A=30°，△BCE的周长为15+ 5√3，求△ABC的面积. 02提能力 7.如图，AD⊥BC,AB=AC,点 C在线段AE的垂直平分线上 且点B,C,E三点共线.若AB 第7题图 =3,BC=4,则线段DE的长度为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 下册第一章 8.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC=7, (2)若∠ACP=m°，∠ABP=n°，求m,n AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, 满足的关系式。 E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 F,G,则△AEG的周长为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 E G E ……念O3拓思维之 …… 第8题图 第9题图 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平 3,AC=4.若AB的垂直平分线DE交BC 分线交AB于点N,交BC的延长线于点M. 的延长线于点E,交AB于点D,则DE的 (1)如图①，若∠A=40°，求∠BMN的 度数. 长为 (2)若∠A=70°，如图②，其余条件不变，求 10.如图，OE,OF分别垂直平 ∠BMN的度数. 分AC,BD,垂足分别为 (3)你发现了什么样的规律？请证明你发 E,F,且AB=CD,A 0 现的规律。 ∠ABD=120°，∠CDB= 第10题图 38°，连接OB.∠OBD的度数为 11.如下图，在△ABC中，∠A=60°，D是边 图① 图② BC的中点，DE⊥BC交AC于点E,交BC 于点D,∠ABC的平分线BF在△ABC内 交DE于点P,交AC于点F,连接PC (1)若∠ACP=24°，求∠ABP的度数. 数学八年级BS版 第2课时尺规作图和三角形三边垂直平分线的性质 要点提示 三角形三边垂直平分线的性质定理：(1)定理内容.三角形三条边的垂直平分孩相交于一，点，并且这一点到三个 顶点的距离相等.(2)三种三角形三边垂直平分线交点的位置不同.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角 形内；直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中，点上：钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外 O1固基础之 知识点2与垂直平分线有关的作图 4.在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆 知识点1三角形三边垂直平分线的性质 规在边AB上确定一点D,使∠ADC= 1.如果三角形三边垂直平分线的交点在某一 2∠B,则符合要求的作图痕迹是 边上，那么这个三角形是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 2.如图，点O为△ABC三边垂直平分线的交 点，点O到顶点A的距离为6cm,则AO+ BO+CO= cm. 5.如图，在△ABC中，AB= 第2题图 3.如下图，在△ABC中，CA,CB的垂直平分 AC,分别以点B和点C为B 线l,m的交点P在第三边上.求证：△ABC 圆心，大于2BC的长为半 第5题图 是直角三角形. 径画弧，两弧交于点D,作直线AD交BC 于点E.若∠BAC=110°，则∠BAE的度数 为 6.(教材变式)如右图，在△ABC中， AB=AC=10,BC=8.用尺规作 BC边上的垂直平分线AD,点D 在BC上（保留作图痕迹，不要求写 作法)，并求线段AD的长 下册第一章 19 02提能力 (2)若AC=3,BC=4,PA=1,求线段DE 的长 7.情境应用某镇三个村庄A, B,C的位置如图所示，镇政府 联合企业对三个村庄展开安 B■C 置房修建工作.由于施工需要 第7题图 大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时 避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备 打井供给施工用水.若想使水井到三个村庄 的距离相等，则适合挖井的点是( A.点DB.点EC.点FD.点G 8.(2025沈阳康平月考)如图，在△ABC中，分别 以顶点A,B为圆心，大于2AB的长为半径画 …… O3拓思维 8…… 弧，两弧相交于点M,N,连接MN,分别与边 AB,BC相交于点D,E.若AD=4,△AEC的 11.如下图，在锐角三角形ABC中，AB,AC 周长为17，则△ABC的周长为 边的垂直平分线交于点O: A.20 B.21 C.25 D.30 (1)若∠A=a(0°<a< 90),求∠BOC的度数. (2)在(1)的条件下，试判 B 断∠ABO+∠ACB是否为定值.若是，求 NA NC 出定值；若不是，请说明理由， 第8题图 第9题图 9.如图，已知A(0,3),B(2,1),C(2,一3).若 点P到A,B,C三点的距离相等，则点P的 坐标为 10.如右图，在△ABC中， ∠C=90°，点P在AC 上运动，点D在AB上 运动，PD始终保持与 PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E, 交BD于点F,连接DE. (1)判断DE与PD的位置关系，并说明 理由. 20 数学八年级BS版∴.CD=AC-AD=2-3. ②证明：如图，过点C作CG⊥AB, D 垂足为G. E 1 1 :SAAx=zAB·CG= AC. BD.AC=AB. .BD=CG. .BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CGF(HL), .∠F=∠DEB ∠A=2∠CBD,∠CBD=∠ABE, ,∴.∠DEB=∠A+∠ABE=2∠CBD+∠CBD= 3∠CBD, .∠F=3∠CBD 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.C2.C 3.解：(1)20 (2).∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=60°. DE是线段AB的垂直平分线，∴.EB=EA, ∴.∠ABE=∠A=30°，.∠CBE=30°， BE=2CE.设CE=x,则BE=2x,∴.BC= √/BE2-CE=5x,∴.3x+√5x=15+5√5，x=5, .CE=5,BC=5√3，EA=EB=10,.AC=CE+EA =15.△ABC的面积=AC·BC=75,日 1 2 4.A5.无数 6.证明：如图，连接AC. ,MN垂直平分BC,∴.AB=AC. :AB=AD,∴.AC=AD, 点A在CD的垂直平分线上 7.B8.C9.3 10 10.41°【解析】如图，连接OA,OC, OD.:OE,OF分别垂直平分 AC,BD,..OA OC,OB =OD, ∴.∠OBD=∠ODB.在△ABO和A △CDO中， (OA=OC. ROB=OD, AB=CD. .△ABO≌△CDO(SSS),∴.∠ABO=∠CDO.设 ∠OBD=∠ODB=a,∠ABO=∠CDO=B,则 ∠ABD=a+B=120°，∠CDB=3-a=38°，∴.a= 41°，即∠OBD=41°. 11.解：(1)：D是边BC的中点，DE⊥BC, ∴.PB=PC,.∠PBC=∠PCB. :BP平分∠ABC,∴∠PBC=∠ABP, .∠PBC=∠PCB=∠ABP. ∠A=60°，∠ACP=24°， .∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP =180°-60°-24°=96°， 即3∠ABP=96°，∴∠ABP=32°. (2)由(1)知∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°. ∠A=60°，∠ACP=m°， ∴.∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP =180°-60°-m°，即3n°=(120-m)°，.m+3n =120. 12.解：1)：AB=AC,∠A=40,∠B=2(180°- ∠A)=70°.又：MN垂直平分AB,.∠BMN=90 -70°=20°. (2)由(1)可知，∠B=号(180°-∠A)=55 又：MN垂直平分AB,∴.∠BMN=90°-55°=35°. (3)规律是∠BMN=号∠A.证明：设∠A=a,则有 ∠B-z180-a.∠BMN=90-2180-） 1 =2 第2课时尺规作图和三角形三边垂直 平分线的性质 1.C2.18 3.证明：如图，连接CP l是CA的垂直平分线，∴AP=CP ∴∠A=∠ACP. 同理，得∠B=∠PCB. :∠A+∠ACP+∠B+∠PCB =180°， .∠ACP+∠PCB=90°， 即∠ACB=90°，.△ABC是直角三角形. 4.B5.55° 6.解：如图所示. 由题意，得AD⊥BC,BD=CD= ×8=4,AB=10,∴.AD=√AB2-BD √102-4=22I. 7.A8.C9.(-2,-1) 10.解：(1)DE⊥PD.理由如下：PD=PA,.∠A= ∠PDA.:EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED, ∠B=∠EDB.∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°， ∠PDA+∠EDB=90°，.∠PDE=180°-90°= 90°，.DE⊥PD. (2)连接PE,如图. .AC=3,PA=1,..PC=2,PD=PA=1. 设DE=x,则BE=DE=x,CE=4-x.∠C= 下册参考答案 ∠PDE=90°，∴.PC2+CE =PE2=PD2+DE2,.22+ (4-x)2=12十x2,解得x= 即DE-号 19 11.解：(1)如图，连接AO. :AB,AC边的垂直平分线交 于点O, ..AO=BO=CO. .∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC. .∠BAC=∠OAB+∠OAC=a, ∴.∠OBA+∠OCA=a, ∴.∠OBC+∠OCB=180°-∠OBA-∠BAC- ∠OCA=180°-2a, ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-(180 -2a)=2a. (2)∠ABO+∠ACB为定值. 由(1)知，BO=CO,∴.∠OBC=∠OCB, .∠0BC=2(180°-2a)=90°-a :∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180°， ∴.∠AB0O+∠ACB=180°-∠BAC-∠OBC=180° -a-(90°-a)=90°. 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.3 3.解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F. ,BD为△ABC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥BC, .DE=DF. .AB=12,BC=8, ∴Sam:SAm=(2BC·DF）:(2AB·DE）= BC:AB=8:12=2:3, 即△CBD与△ABD的面积之比为2：3. (2),△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积 之比为2：3，.△ABD的面积为30. 1 又AB=12,心2X12·DE=30,DE=5. 4.D 5.证明：AD是△ABC的中线，.BD=CD. 又DF⊥AC,DE⊥AB, .∠BED=∠CFD=90° 在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, (BD=CD, .∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), .DE=DF,.AD平分∠BAC 6.4【解析】可供选择的地址有4处，该4处均为公路之 间所夹的角的平分线的交点，如图. 8 数学八年级BS版 7.C8.B9.3 2 10.解：(1)作图如图 (2)证明：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， (PO=PO. OE=OF. .Rt△OEP≌Rt△OFP(HL), ∴∠EOP=∠FOP, ∴.OP平分∠AOB. 11.解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F. ,AD是∠BAC的平分线，∴.DE =DF. 1 S△ABD= AB·DE AB .S ACD 1 AC·DF AC (2)证明：.BD=CD,∴.△ABD与△ACD等底同 高，易得S△Am=S△Acm.由(1)，得AB=AC, G3)△ABD与△ACD同高，a"=轮 又由.二-被-肥- 又：BC=BD+DC=6,.BD=6X写+4=3 510 第2课时三角形三条角平分线的性质 1.B2.B 3.A【解析】·点O为∠CAB 与∠ACB的平分线的交点， .点O在∠ABC的平分线 上，∴.点O到△ABC的三边 C 的距离相等，如图，过点O作 OP⊥AB于点P,连接OB,则S△AB=SAonC十S△aAB +Sa=20P·AC+20P·AB+20P·BC= OP.(AB+BC+AC).AC=5 em.BC=4 em, 1 1 ZB=90AB=3cm.SAAE=X3X4=2OP. (3+4+5),.OP=1cm. 4.C5.3:2:46.45 7.证明：(1)：AD=AE,AG⊥DE于点F, ∴.AF平分∠DAE,即AG平分∠BAC.